實變函數教案

實變函數教案第一頁，共二十三頁，2022年，8月28日1不可數集的存在性(區間[0,1]是不可數集)[][][]01/32/31證明：假設［0,1］是可數集,則[0,1]可以寫成一個無窮序列的形式：第二頁，共二十三頁，2022年，8月28日[][][]01/32/31第三頁，共二十三頁，2022年，8月28日數的進位制簡介十進制小數相應于對[0,1]十等分二進制小數相應于對[0,1]二等分三進制小數相應于對[0,1]三等分說明：對應[0,1]十等分的端點有兩種表示，如0.2000000…0.1999999…（十進制小數）第一次十等分確定第一位小數第二次十等分確定第二位小數第四頁，共二十三頁，2022年，8月28日不可數集的存在性的另一種證明證明：假設（0,1）是可數集,則（0,1）可以寫成一個無窮序列的形式：把每個數寫成正規小數（不能以0為循環節）令x=0.a1a2a3a4…其中則得到矛盾，所以

(0,1)是不可數集。第五頁，共二十三頁，2022年，8月28日定義：與[0,1]區間對等的集合稱為連續勢集，其勢記為，顯然：例：1）R~(0,1)~[0,1]~[0,1)~R+~<a,b>(a<b)2連續勢集的定義2）無理數集為連續勢集（無理數要比有理數多得多，同理超越數要比代數數多得多）第六頁，共二十三頁，2022年，8月28日3連續勢集的性質（卡氏積）（1）有限個、可數個連續勢的卡氏積仍為連續勢集第七頁，共二十三頁，2022年，8月28日第八頁，共二十三頁，2022年，8月28日1874年Cantor考慮R與Rn的對應關系，并企圖證明這兩個集合不可能構成一一對應，過了三年，他證明了一一對應關系是存在的，從而說明Rn具有連續基數，他當初寫信給Dedekind說：“我看到了它，但我簡直不能相信它”.推論平面與直線有“相同多”的點第九頁，共二十三頁，2022年，8月28日

連續勢集的性質（并集）連續勢集的（有限個，可數個，連續勢個）并仍為連續勢集(](](]012n-1n(](](]012n-1ny第十頁，共二十三頁，2022年，8月28日4無最大勢定理從而說明無限也是分很多層次，且不存在最大的集合.第十一頁，共二十三頁，2022年，8月28日此證為對角線方法，與(0,1)是不可數集的證明比較。第十二頁，共二十三頁，2022年，8月28日

盡管Cantor在1883年就證明了這個定理，但直到1899年Cantor才發現，這個定理本身與他給出的集合的定義有矛盾，即所謂的Cantor的最大基數悖論.

因此Cantor在1899年給Dedekind的一封信中曾指出,人們要想不陷于矛盾的話,就不能談論由一切集合所組成的集合.集合悖論第十三頁，共二十三頁，2022年，8月28日證明：由于N的子集全體與特征函數全體存在一一對應關系，故2N

與{0,1}N對等；下證：說明：相當于把對應到一個三進制小數5可數勢與連續勢思考：為什么不用二進制。N上的特征函數全體第十四頁，共二十三頁，2022年，8月28日第十五頁，共二十三頁，2022年，8月28日

Hilbert在1900年第二屆國際數學家大會上將它列為二十三個難題的第一個問題。注記：從前面我們已經看到：Cantor認為在之間不存在別的基數，即不存在這樣的集合A,使得但Cantor證明不了,這就是著名的Cantor連續統假設。連續統假設第十六頁，共二十三頁，2022年，8月28日

在Zermelo-Frankel公理集合論體系下參見：《數學與哲學》張景中，《數理邏輯概貌》莫紹揆ZF公理集合論體系下的連續統假設1940年Godel證明了連續統假設的相容性（即不能證明它不真）；1962年Stanford大學的證明了它的獨立性（即不能用其他公理證明它真）；第十七頁，共二十三頁，2022年，8月28日6基數的運算第十八頁，共二十三頁，2022年，8月28日對一些記號的說明思考：如何推廣不可數個集合的卡氏積？第十九頁，共二十三頁，2022年，8月28日第五節半序集第一章集合第二十頁，共二十三頁，2022年，8月28日1半序集數學三大母結構（Bourbaki學派觀點）：拓撲結構（鄰近關系），代數結構（運算關系），序結構（順序關系）（測度（長度、面積、體積））例：對實數集R有遠近關系，四則運算，大小順序，區間有長度第二十一頁，共二十三頁，2022年，8月28日半序集定義⑴自反性:

⑵反對稱性:

⑶傳遞性:

則稱A按成一半序集（