第27章-相似三角形總復習課

第27章相似總復習課1.形狀相同的圖形①表象：大小不等，形狀相同.②實質：各對應角相等、各對應邊成比例.2.相似多邊形各對應角相等、各對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應邊的比叫做相似比(相似比與敘述的順序有關).3.相似多邊形性質：①相似多邊形的對應角相等,對應邊成比例.②相似多邊形周長的比等于相似比.③相似多邊形面積的比等于相似比的平方.一、相似圖形的定義、實質、及性質4.相似三角形三個對應角相等、三條對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.相似三角形對應邊的比叫做相似比(相似比與敘述的順序有關).5.相似三角形性質：①相似三角形的對應角相等,對應邊成比例.②相似三角形對應中線的比,對應角平分線的比，對應高的比,對應周長的比都等于相似比.③相似三角形面積的比等于相似比的平方.6.相似三角形與全等三角形的關系：相似比等于1的兩個三角形全等.7.兩個極具代表性的益智“模型”：“A”型和“X”型相似三角形.ABCDEABCDEEDCBAAEDBC1.預備定理平行于三角形一邊直線截其它兩邊(或其延長線),所截得的三角形與原三角形相似;二、三角形相似的判定方法有哪些?2.定理三邊對應成比例的兩個三角形相似.3.定理兩邊對應成比例,且夾角相等的兩個三角形相似;4.定理有兩個角對應相等的兩個三角形相似基本圖形ABCDEABCDABCDEEDCBAAEDBC三、相似圖形的特例圖形的位似1.如果兩個圖形不僅相似,而且每組對應頂點所在的直線都經過同一個點,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,這個點叫做位似中心,這時的相似比又稱為位似比.2.性質：位似圖形上的任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比.DEFAOBCDEFAOBC3.如何作位似圖形(放大).5.體會位似圖形何時為正像何時為倒像.4.如何作位似圖形(縮小).OPABGCEDF●PB′A′C′D′E′F′G′A′B′C′D′E′F′G′ABGCEDF●P1,如圖,添加一個條件,使則△ABC∽△AED,則這條件可以是

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AEDCB練習2．下列說法正確的是（）A所有的等腰三角形都相似B所有的直角三角形都相似C所有的等腰直角三角形都相似D有一個角相等的兩個等腰三角形都相似2、在△ABC中，若點D、E分別是AB、AC的中點，則各對相似三角形的相似比分別是多少？面積的比呢？DCBOAE3、兩個相似三角形的面積比是9：25，那么它們的相似比是_______對應邊上的高的比是_________，周長之比是___________。3：53：53：54、如圖，△ABC,DE//BC，且△ADE的面積等于梯形BCED的面積，則△ADE與△ABC的相似比是_______1：√2BADEC5.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面積分別為4和9，求△ABC的面積。6.如圖，ABCD是面積為a2的任意四邊形，順次連接各邊中點得四邊形A1B1C1D1，再順次連接A1B1C1D1得到四邊形A2B2C2D2，重復同樣的方法直到得到四邊形AnBnCnDn，則四邊形AnBnCnDn的面積為

。練習7.在AB=20米,AD=30米的矩形ABCD的花壇四周修筑小路:(1)如果四周的小路的寬均相等,那么小路四所圍成的矩形和矩形ABCD相似嗎?請說明理由(2)如果相對兩條小路的寬均相等,試問小路的寬x與y的比值為多少時,能使小路四周所圍成矩形和矩形ABCD相似?請說明理由.CBD1FEGH23A10.如圖，這是由三個全等的正方形組成的廣告牌。你能從中找出一對相似三角形嗎？說明理由（全等三角形除外）∠1+∠2+∠3＝

度11、Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D。（1）寫出圖中所有的相似三角形，并選擇其中一對說明理由。（2）若AD＝1cm,BD＝4cm,請你求出CD的長度。∟∟BDAC范例例2如圖，已知EMAM，交AC于D，CE=DE，求證：2EDDM=ADCD。分析：ECDMAECDMAFG∽∽例3.如圖：在⊿ABC中，

∠C=90°,BC=8,AC=6.點P從點B出發，沿著BC向點C以2cm/秒的速度移動;點Q從點C出發，沿著CA向點A以1cm/秒的速度移動。如果P、Q分別從B、C同時出發，問：①經過多少秒時⊿CPQ∽⊿CBA;AQPCBAQPCB②經過多少秒時以C、P、Q為頂點的三角形恰好與⊿ABC相似？例4：陽光明媚的一天,數學興趣小組的同學們去測量一棵樹的高度(這棵樹底部可以到達,頂部不易到達),他們帶了以下測量工具:皮尺、標尺、一副三角板、小平面鏡。請你在他們提供的測量工具中選出工具，設計一種測量方案)（1）所需的測量工具是：——；（2）請在下圖中畫出測量示意圖；（3）設樹高AB的長度為x，請用所測數據（用小寫字母表示）求出x范例分析：CDABE的兩個根，求DE的長和的值。例5如圖，△ABC中，C=90°，AC=10，BC=24，點D在AC上運動（不運動至點A），過點D作DEAB，設AD=x，AE=y。（1）求y關于x的函數關系式和自變量的取值范圍；（2）若點D運動到AC上有某個位置時，AD、AE的長恰好是一元二次方程(1)由題意知，易得ABC∽ADE,得y與x的函數關系式。∽現有一塊三角形余料ABC，它的一邊BC=12cm，高線AD=8cm.E為AB上一動點(E不與A、B重合)，且EF∥BC交AC于點F，以EF為邊向下做一個正方形EFGH，設正方形EFGH與三角形ABC的重合部分面積為y,EF=x.求(1)當HG落在BC上時,求x議一議(2)當HG不落在BC邊上時,求y關于x的關系式有一批形狀相同的不銹鋼片，呈直角三角形，如圖（1）所示，已知∠A=90°，AB=8cm，BC=10cm，用這批不銹鋼片裁出面積最大的正方形不銹鋼片，如圖，甲、乙各設計一種方案，你覺得哪種方案更好，為什么？如圖（1）甲乙變一變MN拓展ACPBOxyACPBOxyACPBOxyRT例2在方格紙中，每個小格的頂點稱為格點，以格點的連線為邊的三角形稱為格點三角形，如圖所示的5×5的方格紙中，如果想作格點ΔABC與ΔOAB相似(相似比不能為1)，則C點坐標為____________．OxAByOxABy12C1(5，2)5C2(4，4)例3、在直徑為AB的半圓內，劃出一個三角形區域，使三角形的一邊為AB，頂點C在半圓周上，現要建造一個內接于三角形ABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，如圖設計方案是使AC=8，BC=6，求(1)三角形AB邊上的高線CH。(2)設DN=x,NF=y,求y關于x的函數解析式。(3)當x為何值時，水池DEFN的面積最大，最大為多少？HG練習（2003，濰坊）在Rt⊿ABC中，∠C=90。，AC=4，BC=3，（1）如圖1，四邊形DEFG為⊿ABC的內接正方形，求正方形的邊長。CEDBAFG練習（2003，濰坊）在Rt⊿ABC中，∠C=90。，AC=4，BC=3，（2）如圖2，三角形內有并排的兩個相等的正方形，它們組成的矩形內接與⊿ABC，求正方形的邊長（1）如圖1，四邊形DEFG為⊿ABC的內接正方形，求正方形的邊長。CEDBAFGCEDBAFGKH練習（2003，濰坊）在Rt⊿ABC中，∠C=90。，AC=4，BC=3，（3）如圖3，三角形內有并排的三個相等的正方形，它們組成的矩形內接于⊿ABC，求正方形的邊長。（2）如圖2，三角形內有并排的兩個相等的正方形，它們組成的矩形內接與⊿ABC，求正方形的邊長（1）如圖1，四邊形DEFG為⊿ABC的內接正方形，求正方形的邊長。CEDBAFGCEDBAFGKHCBA練習（2003，濰坊）在Rt⊿ABC中，∠C=90。，AC=4，BC=3，（4）如圖4，三角形內有并排的個正方形，它們組成的矩形內節于⊿ABC，請寫出正方形的邊長。CEDBAFGCEDBAF