第三講極限與連續

極限與連續第二章§1從阿基里斯追趕烏龜談起

——數列極限

公元前五世紀,以詭辯著稱的古希臘哲學家芝諾(Zeno)用他的無窮、連續以及部分和的知識,引發出以下著名的悖論：

如果讓阿基里斯(Achilles,古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜之間舉行一場賽跑,讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始,假定阿基里斯的速度是烏龜的10倍,也永遠也追不上烏龜.芝諾的理論依據是：當比賽開始的時候,阿基里斯跑了1000米,此時烏龜仍然前于他100米；當阿基里斯跑了下一個100米時,烏龜仍然前于他10米,…,

如此分析下去,顯然阿基里斯離烏龜越來越近,但卻是永遠也追不上烏龜的.這個結論顯然是錯誤的,但奇怪的是,這種推理在邏輯上卻沒有任何毛病.那么,問題究竟出在哪兒呢？

如果我們從級數的角度來分析這個問題,芝諾的這個悖論就會不攻自破.

我國古代數學家劉徽在《九章算術注》利用圓內接正多邊形計算圓面積的方法--割圓術，就是極限思想在幾何上的應用。一、數列概念割圓術

“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——(魏晉)劉徽割圓術正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積說明：劉徽從圓內接正六邊形，逐次邊數加倍到正3072邊形得到圓周率的近似值為3.1416數列的定義例如稱為無窮數列,簡稱數列.

說明：1.數列對應著數軸上一個點列.可看作一動點在數軸上依次取2.數列是整標函數截杖問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”數列極限的定性描述Definition

如果n無限增大時，數列{an}的通項an無限接近于常數a，則稱該數列以a為極限，記做或如果數列沒有極限,就說數列是發散的.上例中，以0為極限的變量稱為無窮小量. 如每一項均為常數的數列稱為常數列. 常數列的極限仍是該常數. 如數列{1,1,1,…}為常數列，且絕對值無限變大的變量稱為無窮大量，或稱其收斂于∞，或－∞. 如2n,-2n均為無窮大量，且為n→∞時的無窮小量播放數列極限的定量描述如果數列沒有極限,就說數列是發散的.注意：定義總存在正數N,

不等式記為或幾何解釋:其中二、數列極限的性質及收斂準則定理1(唯一性定理)若數列{an}收斂,則其極限值必唯一．定理2(有界性定理)若數列{an}收斂，則{an}必是有界數列．定理3(保序性定理)設{an},{bn}的極限存在,且,則存在正整數N,當n＞N時,有an＞bn.推論1(保號性定理)設{an}的極限存在，且(或),則存在正整數N,當n＞N時,有an＞0(或an＜0)．推論2設{an},{bn}的極限存在,若an≤bn(當n＞N時),則．特別地,若an≥0(或an≤0),則[或].定理4(夾逼定理)設數列{xn},{yn},{zn}滿足xn≤yn≤zn(當n＞N時)，且,則．定理5(單調有界數列收斂準則)單調遞增且有上界的數列必有極限；單調遞減且有下界的數列必有極限．即單調有界數列必有極限．§2函數極限一、自變量在有限點處的極限3.幾何解釋:說明：單側極限：左極限：右極限：解左右極限存在且相等,例4左右極限存在但不相等,例12證幻燈片33二、自變量趨于無窮大時函數的極限通過上面演示實驗的觀察:問題:如何用數學語言刻劃函數“無限接近”？例5證幾何解釋:例7解例6解xy三、極限存在的函數的基本性質性質1函數極限的唯一性性質2有極限函數的局部有界性推論1性質3有極限函數的局部保號性注意推論2定理一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限三、數列的極限三、數列的極限三、數列的極限三、數列的極限三、數列的極限三、數列的極限三、數列的極限三、數列的極限三、數列的極限三、數列的極限三、數列的極限三、數列的極限三、數列的極限§3 無窮小(量)定義以零為極限的函數(或數列)稱為無窮小(量).例如,注:1.無窮小是變量,不能與很小的數混為一談;3.零是唯一可以作為無窮小的數.2.稱一個函數是無窮小，必須指明自變量的變化趨勢.無窮小和極限的關系:定理

變量u以A為極限的充分必要條件是：變量u可以表示為A與一個無窮小量的和。即limu=Au=A+a，其中a是無窮小

。證略.定理表明：

極限概念可以用無窮小量概念來描述.無窮小量的性質：

1°

有限多個無窮小量之和仍是無窮小量；

定理2°

無窮小量與有界變量之積仍是無窮小量；

3°

有限多個無窮小量之積仍是無窮小量；

4°

無窮小量除以極限不為零的變量，其商仍為無窮小量。

例1解無窮大(量)定義

如果變量u在其變化過程中|u|無限增大，則稱u為無窮大(量)，記作

精確定義：1.無窮大量是一個變量，不可與很大很大的數混為一談；2.稱函數是無窮大量，必須指明其自變量的變化趨勢。注:證

得證.

xoy例2無窮大量與無界變量的關系(1)無窮大量顯然是無界變量；

(2)但無界變量不一定是無窮大量。例如數列

無窮大量與無窮小量的關系意義

關于無窮大的討論,都可歸結為關于無窮小的討論.例3無窮小量的比較例如,

比值極限不同,反映了兩者趨向于零的“快慢”程度不同.觀察各極限定義：說明: