第二章機器人靜力分析與動力學

2.3機器人動力學方程

機器人動力學的研究有多種方法。如：牛頓-歐拉方程（Newton-Euler)法、拉格朗日方程（Langrange)、高斯法（Gauss)、凱恩法(Kane)及羅伯遜-魏登堡法(Roberon-Wittenburg)等。主要介紹常用的牛頓-歐拉方程和拉格朗日方程。

第6次2.3.1歐拉方程即牛頓-歐拉方程：研究構件質心的運動使用牛頓方程，研究相對于構件質心的轉動使用歐拉方程。歐拉方程表征了力、力矩、慣性張量和加速度之間的關系。質量為m、質心在C點的剛體，作用在其質心的力F的大小與質心加速度aC的關系為

F

=maC

式中：F

、aC

為三維矢量。上式稱為牛頓方程。欲使剛體得到角速度為ω、角加速度為ε的轉動，則作用在剛體上力矩M的大小為

M=CIε+ω×CIω

式中：M、ε、ω均為三維矢量；CI為剛體相對于原點通過質心C并與剛體固結的剛體坐標系的慣性張量。上式即為歐拉方程。

在三維空間運動的任一剛體，其慣性張量CI可用質量慣性矩IXX、IYY、IZZ和慣性積IXY、IYZ、IZX為元素的3×3階矩陣或4×4階齊次坐標矩陣來表示。通常將描述慣性張量的參考坐標系固定在剛體上，以方便剛體運動的分析。這種坐標系稱為剛體坐標系(簡稱體坐標系)。2.3.2拉格朗日方程主要應用拉格朗日方程建立起機器人的動力學方程。可直接表示為系統控制輸入的函數，若采用齊次坐標，遞推的拉格朗日方程也可建立比較方便而有效的動力學方程。對于任何機械系統，拉格朗日函數L定義為系統總動能Ek與總勢能Ep之差，即

L=Ek–Ep由拉格朗日函數L所描述的系統動力學狀態的拉格朗日方程為式中：L為拉格朗日函數；n為連桿數目；qi為系統選定的廣義坐標，單位為m或rad；為廣義速度，單位為m/s或rad/s；Fi為作用在第i個坐標上的廣義力或力矩，單位為N或N·m。考慮式(2.24)中不顯含，上式可寫成應用時應注意：

1)系統的勢能Ep僅是廣義坐標qi的函數，而動能Ek是qi、及時間t的函數，因此拉格朗日函數可以寫成

L=L

(qi，，t)。

2)若是線位移，則是線速度，對應的廣義力Fi就是力；若qi是角位移，則是角速度，對應的廣義力Fi是力矩。2.3.3平面關節機器人動力學分析機器人是一個非線性的復雜動力學系統。動力學問題的求解比較困難，而且需要較長的運算時間，因此，簡化解的過程，最大限度地減少工業機器人動力學在線計算的時間是一個受到關注的研究課題。機器人動力學問題有兩類：

1)給出已知的軌跡點上的、及，即機器人關節位置、速度和加速度，求相應的關節力矩向量τ。

2)給出關節力矩向量τ，求機器人所產生的運動、及。，機器人動力學方程的推導過程機器人是結構復雜的連桿系統，一般采用齊次變換的方法，用拉格朗日方程建立其系統動力學方程，對其位姿和運動狀態進行描述。機器人動力學方程的具體推導過程如下：

1)

選取坐標系，選定完全而且獨立的廣義關節變量qi，i=1,2,…,n。

2)

選定相應關節上的廣義力Fi。當qi是位移變量時，Fi為力；當qi是角度變量時，Fi為力矩。

3)求出機器人各構件的動能和勢能，構造拉格朗日函數。

4)

代入拉格朗日方程求得機器人系統的動力學方程。，[例]圖示的二自由度機器人，機器人動力學方程的推導過程。

1）選定廣義關節變量及廣義力選取笛卡兒坐標系。連桿1和連桿2的關節變量分別是轉角θ1和θ2，關節1和關節2相應的力矩是τ1和τ2。連桿1和連桿2的質量分別是m1和m2，桿長分別為l1和l2，質心分別在k1和k2處，離關節中心的距離分別為p1和p2。桿1質心k1的位置坐標為桿1質心k1速度的平方為桿2質心k2的位置坐標為桿2質心k2速度的平方為2）系統動能i=1，23）系統勢能i=1，2

Ep1=m1gp1(1–

c1)

Ep2=m2gl1(1–

c1)+m2gp2(1–

c12)4）拉格朗日函數5）系統動力學方程根據拉格朗日方程式計算各關節上的力矩，得到系統動力學方程。①計算關節1上的力矩τ1

②

計算關節2上的力矩τ2

τ1

、

τ2分別表示了關節驅動力矩與關節位移、速度、加速度之間的關系，即力和運動之間的關系稱為機器人的動力學方程。說明：從上面推導可以看出，很簡單的二自由度平面關節型機器人的動力學方程已經很復雜，包含了很多因素，這些因素都在影響機器人的動力學特性。對于比較復雜的多自由度機器人，其動力學方程更龐雜，推導過程更為復雜，不利于機器人的實時控制。

故進行動力學分析時，通常進行下列簡化：

1)當桿件長度不太長，重量很輕時，重力矩項可以省略。

2)當關節速度不太大，機器人不是高速機器人時，含有、及的項可以省略。

3)當關節加速度不太大，即關節電動機的升、降速比較平穩時，含有、的項有時可以省略。。

關節空間和操作空間動力學

1）關節空間和操作空間

n個自由度操作臂的末端位姿X由n個關節變量所決定，這n個關節變量也叫做關節矢量q，所有關節矢量q構成了關節空間。末端執行器的作業是在直角坐標空間中進行的，即操作臂末端位姿X是在直角坐標空間中描述的，因此把這個空間叫做操作空間。運動學方程X=X(q)就是關節空間向操作空間的映射；而運動學逆解則是由映射求其在關節空間中的原象。在關節空間和操作空間動力學方程有不同的表示形式，并且兩者之間存在著一定的對應關系。

；；關節空間和操作空間動力學2）關節空間的動力學方程將例子中運動方程寫成矩陣形式

式中：

上式就是操作臂在關節空間的動力學方程的一般結構形式。對于n個關節的操作臂，D(q)是n×n的正定對稱矩陣，是q的函數，稱為操作臂的慣性矩陣；是n×1的離心力和科氏力矢量；G(q)是n×1的重力矢量，與操作臂的形位q有關。

3）操作空間動力學方程與關節空間動力學方程相對應，在操作空間中可以用直角坐標變量即末端操作器位姿的矢量X表示機器人動力學方程。因此，操作力F與末端加速度之間的關系可表示為

式中：、、分別為操作空間慣性矩陣、離心力和科氏力矢量、重力矢量，它們都是在操作空間中表示的；F是廣義操作力矢量。

、關節空間動力學方程和操作空間動力學方程之間的對應關系可以通過廣義操作力F與廣義關節力τ之間的關系和操作空間與關節空間之間的速度、加速度的關系式求出。、2.4機械手動態特性

動態特性指：工作精度、重復能力、穩定性、空間分辨率1）穩定性穩定性指系統、裝置或工具運動過程中，無振蕩問題。對機械系統主要有系統的自激振動；對電子系統，主要指其自激振蕩；對機器人系統，除上述兩者外，還有其機電耦合振蕩。如機械手的抖動。2）空間分辨率空間分辨率是描述機器人工具末端運動所達到的最小運動增量。3）精度用下列三個因素的集合來描述精度1）各控制部件的分辨率；2）各機械部件的偏差；3）最近