第五章-大數定律-中心極限定理

第五章大數定律及中心極限定理§1大數定律§2中心極限定理第五章大數定律及中心極限定理問題1擲一顆均勻的正六面體的骰子,出現幺點的概率是1/6,在擲的次數比較少時,出現幺點的頻率可能與1/6相差得很大.但是在擲的次數很多時,出現幺點的頻率接近1/6幾乎是必然的.§1大數定律第五章大數定律及中心極限定理即大量測量值的算術平均值具有穩定性。這就是大數定律所闡述的內容。測量的經驗就是：問題2：測量一個工件時，由于測量具有誤差，為什么以各次的平均值來作為測量的結果？而且只要測量的次數足夠多，總可以達到要求的精度？這兩個例子說明：

在大量隨機現象中,不僅看到了隨機事件的頻率具有穩定性,而且還看到大量測量值的平均結果也具有穩定性。這種穩定性就是本章所要討論的大數定律的客觀背景。即,無論個別隨機現象的結果如何,或者它們在進行過程中的個別特征如何,大量隨機現象的平均結果實際上與每一個別隨機現象的特征無關,并且幾乎不再是隨機的了。

大數定律以確切的數學形式表達了這種規律性,并論證了它成立的條件,即從理論上闡述了這種大量的、在一定條件下的、重復的隨機現象呈現的規律性即穩定性.第五章大數定律及中心極限定理§1大數定律（Lawof

BigNumbers）大數定律的定義切比雪夫大數定律伯努利大數定律辛欽定律§1大數定律第五章大數定律及中心極限定理定義1a是一個常數；若對任意想想：數列的收斂性定義，比較數列與隨機變量序列

收斂性的區別。一、定義意思是:,當而意思是:當a時,Yn落在內的概率越來越大.§1大數定律第五章大數定律及中心極限定理定理0依概率收斂的性質：第五章大數定律及中心極限定理定義2§1大數定律定理1(切比雪夫大數定律)設X1,X2…是相互獨立的隨機變量序列,各有數學期望E(X1),E(X2),…及方差D(X1),D(X2),…并且對于所有k=1,2,…都有D(Xk)<ι,其中ι是與k無關的常數,則任給ε>0,有隨機變量的算術平均值隨機變量期望的算術平均值將比較密地聚集在它的數學期望的附近.它與數學期望之差,當時n→∞,依概率收斂到0.這就是大數定律.切比雪夫定理為這一定律作出了精確的數學公式.切比雪夫定理說明:在定理的條件下,當n充分大時,n個獨立隨機變量的平均數這個隨機變量的離散程度是很小的.這意味,經過算術平均后得到的隨機變量§1大數定律第五章大數定律及中心極限定理定理2（切比雪夫Chebyshev大數定律的特殊情形）

且具有相同的數學期望及方差，這說明：在定理成立的條件下，n個隨機變量的算術平均值，當n無限增加時，將幾乎變成一個常數。§1大數定律第五章大數定律及中心極限定理由切比雪夫不等式得：證：第五章大數定律及中心極限定理定理3（伯努利Bernoulli大數定律）證：令§1大數定律即，當試驗次數n無限增加時,事件A的頻率依概率收斂于它的概率P(A).切比雪夫定理的一個推論：第五章大數定律及中心極限定理由定理2有該定理給出了頻率的穩定性的嚴格的數學意義。§1大數定律§1大數定律第五章大數定律及中心極限定理注：伯努利大數定律是辛欽大數定律的特殊情況。定理4（辛欽大數定律）且具有數學期望比較辛欽大數定律與切比雪夫大數定律條件的差別及強弱。是不完全相同的.這些結果可以看作是服從同一分布并且期望值為μ的n個相互獨立的隨機變量X1,X2…Xn的試驗數值。由定理4可知,當n充分大時,取這一定理使算術平均值的法則有了理論依據.假使要測量某一個物理量μ,在不變的條件下重復測量n次,得到的觀測值作為的μ近似值,可以認為所發生的誤差是很小的,即對于同一個隨機變量X進行n次獨立觀察,則所有觀察結果的算術平均數依概率收斂于隨機變量的期望值.大數定律告訴我們兩個結論:對于同一隨機變量X的隨機變量序列1.隨機變量的算術平均值2.隨機事件的頻率第五章大數定律及中心極限定理§2中心極限定理獨立同分布的中心極限定理李雅普諾夫定理棣莫佛-拉普拉斯定理用頻率估計概率時誤差的估計第五章大數定律及中心極限定理在實際中有許多隨機變量，它們是由大量的相互獨立的隨機因素的綜合影響所形成的。而其中每一個別因素在總的影響中所起的作用都是微小的。這種隨機變量往往近似地服從正態分布。這種現象就是中心極限定理的客觀背景。正態分布在隨機變量的各種分布中,占有特別重要的地位.在某些條件下,即使原來并不服從正態分布的一些獨立的隨機變量,它們的和的分布,當隨機變量的個數無限增加時,也是趨于正態分布的.中心極限定理是討論隨機變量序列部分和的分布漸近于正態分布的一類定理。§2中心極限定理第五章大數定律及中心極限定理一、定義§2中心極限定理第五章大數定律及中心極限定理定理1（獨立同分布的中心極限定理(Levy-Lindeberg)）中心極限定理說明了正態分布的重要地位，它也是統計學中處理大樣本時的重要工具。二、中心極限定理（CentralLimitTheorem）在一般情況下,很難求出n個隨機變量之和的分布函數，根據中心極限定理，當n充分大時，可以通過正態分布給出其近似的分布。§2中心極限定理第五章大數定律及中心極限定理§2中心極限定理第五章大數定律及中心極限定理定理2（李雅普諾夫定理）(Liapunov定理)則服從中心極限定理，即：

這個定理的實際意義是:如果一個隨機現象由眾多的隨機因素所引起,每一因素在總的變化里起著不顯著的作用,就可以推斷,描述這個隨機現象的隨機變量近似的服從正態分布.由于這些情況很普遍,所以有相當多一類隨機變量遵從正態分布,從而正態分布成為概率統計中最重要的分布.這個定理對離散的和連續的隨機變量都適用.§2中心極限定理第五章大數定律及中心極限定理定理2表明，在定理的條件下，隨機變量第五章大數定律及中心極限定理由定理1有結論成立。定理3（棣莫佛-拉普拉斯定理）(DeMoivre--Laplace)證明：由二項分布和兩點分布的關系知其中相互獨立且都服從于兩點分布，且§2中心極限定理§2中心極限定理第五章大數定律及中心極限定理推論：說明：這個公式給出了n較大時二項分布的概率

計算方法。定理（拉普拉斯定理）（1）局部極限定理：當n→∞時（2）(積分極限定理)：當n→∞時二項分布的近似分布§2中心極限定理第五章大數定律及中心極限定理例1車間有200臺車床，它們獨立地工作著，開工率為0.6,開工時耗電各為1千瓦，問供電所至少要供給這個車間多少電力才能以99.9%的概率保證這個車間正常生產。設至少要供給這個車間r千瓦電才能以99.9%的概率保證這個車間正常生產。由題意有解：記某時刻工作著的車床數為X，則X~B(200,0.6).第五章大數定律及中心極限定理即供給141千瓦電就能以99.9%的概率保證這個車間正常生產。§2中心極限定理§2中心極限定理第五章大數定律及中心極限定理用頻率估計概率時誤差的估計：由棣莫佛-拉普拉斯定理知§2中心極限定理第五章大數定律及中心極限定理第一類問題是第二類問題是問最少應做多少次試驗？這時只需求滿足下式的最小的n,第三類問題是用這個關系式可解決許多計算問題。§2中心極限定理第五章大數定律及中心極限定理例2今從良種率為1/6的種子中任取6000粒，問能以0.99的概率保證在這6000粒種子中良種所占的比例與1/6的差的絕對值不超過多少？相應的良種粒數在哪個范圍內？解：由棣莫佛-拉普拉斯定理（第三類問題）第五章大數定律及中心極限定理故近似地有§2中心極限定理§2中心極限定理第五章大數定律及中心極限定理良種粒數X的范圍為§2中心極限定理第五章大數定律及中心極限定理例3系統由100個相互獨立起作用的部件組成，每個部件的損壞率為0.1。系統要正常工作，至少有85個部件正常工作，求系統正常工作的概率。解：由棣莫佛-拉普拉斯定理有則X~B(100,0.1)。則整個系統能正常工作當且僅當設X是損壞的部件數，一生產線生產的產品成箱包裝，每箱的重量是隨機的。假設每箱平均重50千克，標準差為5千克。若用最大載重量為5噸的汽車承運，試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977。例5解：設最多可裝n箱，保障不超載的概率大于0.977。由中心極限定理有第五章大數定律及中心極限定理§2中心極限定理因此最多可裝98

箱，保障不超載的概率大于0.977。第五章大數定律及中心極限定理§2中心極限定理例.將一顆骰子連擲100次，則點數之和不少于500的概率是多少？解:設 ξk為第k次擲出的點數,k=1,2,…,100,則ξ1,…,ξ100獨立同分布.由中心極限定理標準化變換(1)直接計算:(2)的計算結果與(1)的相差較大,這是由于n不夠大.一般要求n至少為50,有時也放寬到n≥30使用.例10部機器獨立工作,每部停機的概率為0.2.求3部機器同時停機的概率解10部機器中同時停機的數目(2)若用局部極限定理近似計算:解：例設電站供電網有10000盞電燈,夜晚每一盞電燈開燈的概率都是0.7,而假定開關時間彼此獨立,估計夜晚同時開著的燈數在6800與7200之間的概率.解10000件產品中的廢品數ξ服從二項分布,例產品為廢品的概率為P=0.005,求10000件產品中廢品數不大于70的概率正態分布和Poisson分布雖然都是二項分布的極限分布,但Poisson分布以n→∞,同時p→0,np→λ為條件,而正態分布則只要求n→∞這一條件.一般說來,對于n很大,p(或q)很小的二項分布(np≤5)用正態分布來近似計算不如用Poisson分布計算精確.解設ξ為500發炮彈命中飛機的炮彈數目(1)用二項分布公式計算:例每顆炮彈命中飛機的概率為0.01,求500發炮彈命中5發的概率(2)用Poisson公式計算,直接查附表一可得:P5(5)≈0.175467(3)用拉普拉斯局部極限定理計算:下面用三種方法計算并加以比較:例在一家保險公司里有10000個人參加壽命保險，每人每年付12元保險費。在一年內一個人死亡的概率為0.6%，死亡時其家屬可向保險公司領得1000元，問：(1)保險公司虧本的概率有多大？(2)其他條件不變，為使保險公司一年的利潤不少于60000元，賠償金至多可設為多少？于是由中心極限定理(1)P{η<0}=P{1000012-1000ξ<0}解：設ξ表示一年內死亡的人數，則ξ~B(n,p),其中n=10000，p=0.6%，設η表示保險公司一年的利潤，

η=1000012-1000ξ=1P{ξ120}1

(7.75)=0;=P{ξ≥120}P{η>60000}=P{1000012-aξ>60000}=P{ξ60000/a}0.9;（2）設賠償金為a元，則令由中心極限定理,上式等價于小結