數(shù)值分析第二章第三節(jié)

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院1§3

Hermite插值一、問題的提法二、Hermite插值公式

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2一、問題的提法前面提到的插值，僅要求插值多項(xiàng)式p(x)與被插值函數(shù)f(x)在插值點(diǎn)處有相同的值，這種多項(xiàng)式往往不能反映插值函數(shù)的變化趨勢(shì).現(xiàn)在提出一個(gè)新的插值問題：

要求構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式H(x)，使它與函數(shù)f(x)在插值點(diǎn)處不僅有相同的函數(shù)值，

而且還有相同的導(dǎo)數(shù)值.這種帶導(dǎo)數(shù)的插值叫做Hermite插值.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院3是n+1個(gè)不相同的節(jié)點(diǎn)，其中插值問題：設(shè)求作次數(shù)不超過2n+1次的代數(shù)多項(xiàng)式H(x)，使它滿足插值條件：湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院4二、Hermite插值公式

本節(jié)主要討論兩點(diǎn)Hermite插值，即n=1的情形.插值問題變?yōu)椋呵鬂M足(3.2)下面構(gòu)造性地給出兩點(diǎn)Hermite插值問題:1、適定性證明2、相應(yīng)的插值公式湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院5定理3.1

兩點(diǎn)Hermite插值問題的解存在且唯一。證明首先證明存在性.在標(biāo)準(zhǔn)單元[0,1]上構(gòu)造兩個(gè)特殊的三次代數(shù)多項(xiàng)式滿足插值條件容易求得

(3.3)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院6若令即滿足：則其中湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院7同樣若令即滿足：則湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院8類似地若令則

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院9綜合為(3.3)則且滿足(3.4)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院10利用(3.4)式，容易驗(yàn)證滿足插值條件(3.2)，從而存在性得證.(3.5)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院11現(xiàn)在證明唯一性.假設(shè)另有一個(gè)三次數(shù)多項(xiàng)式G(x)滿足插值條件(3.2)R(x)是次數(shù)小于等于3的代數(shù)多項(xiàng)式,而上式表明，它有2個(gè)重根，令R(x)=H3(x)–G(x),則由(3.2)有即：除非湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院12(3.5)稱(3.5)式為兩點(diǎn)Hermite插值公式，為兩點(diǎn)Hermite插值多項(xiàng)式；相應(yīng)的而被稱為關(guān)于的兩點(diǎn)Hermite插值問題的基函數(shù).

是一個(gè)非常重要的Hermite插值多項(xiàng)式，在點(diǎn)和處它所刻畫的曲線與不僅有相同的函數(shù)值，而且有相同的斜率.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院13兩點(diǎn)Hermite插值問題解的誤差分析

定理3.2若在存在，兩點(diǎn)Hermite插值問題解的誤差為則對(duì)(3.6)且依賴于其中證明（略）湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院14例1

已知f(x)=x1/2及其一階導(dǎo)數(shù)的數(shù)據(jù)見下表,用Hermite插值公式計(jì)算1251/2的近似值.x121144f(x)1112f'(x)1/221/24解湘