大學物理學-第五章機械波

§5.1波的產生和傳播§5.2平面簡諧波的波動方程§5.3波的能量與能流聲壓與聲強

§5.4波的衍射現象惠更斯原理§5.5波的疊加與干涉駐波§5.6多普勒效應

第5章波動作業：4、5、6、7、8、9、10、12、13、14、15、16、17、1§1波的產生和傳播1.

機械波的產生產生條件:波源彈性媒(介)質振動的傳播過程稱為波動，簡稱波。機械振動在彈性媒質（各質元間以彈性力相聯系）中的傳播稱為機械波，如聲波、水波、地震波等；交變的電磁場通過本身的相互激發在空間傳播，形成電磁波，如無線電波、光波、X射線等。近代物理的研究表明，微觀粒子也具有波動性，稱為物質波。波動是物質的一種常見的運動形式，具有一定傳播速度，并伴隨有能量的傳播，能產生干涉和衍射現象等。本篇主要討論機械波的規律。緒言2橫波：質點的振動方向與波的傳播方向垂直縱波：質點的振動方向與波的傳播方向平行波動現象是媒質中各質點運動狀態的集體表現，各質點仍在其各自平衡位置附近作振動。2.橫波和縱波3軟繩軟彈簧波的傳播方向質點振動方向波的傳播方向質點振動方向在機械波中，橫波只能在固體中出現；縱波可在氣體、液體和固體中出現。空氣中的聲波是縱波。液體表面的波動情況較復雜，不是單純的縱波或橫波。4結論：(1)質元并未“隨波逐流”波的傳播不是媒質質元的傳播(2)“上游”的質元依次帶動“下游”的質元振動(3)某時刻某質元的振動狀態將在較晚時刻于“下游”某處出現---波是振動狀態的傳播(4)

同相點----質元的振動狀態相同波長相位差2相鄰波是相位的傳播沿波的傳播方向,各質元的相位依次落后。b點比a點的相位落后：abxx傳播方向重要結論！5波線：沿波的傳播方向作的一些帶箭頭的線。波線的指向表示波的傳播方向。波陣面：在波動過程中，把振動相位相同的點連成的面(簡稱波面)。波前：在任何時刻，波面有無數多個，最前方的波面即是波前。波前只有一個。平面波：波面為平面球面波：波面為球面3.波陣面和波射線平面波波線波陣面球面波波陣面波線6波的特征量1.波長：兩相鄰同相點間的距離,或一個振動周期內波傳過的距離。2.波的頻率:媒質質點(元)的振動頻率即單位時間傳過媒質中某點的波的個數。3.波速u:波速是振動狀態的傳播速度，數值上等于單位時間內振動狀態傳播的距離。波速u主要決定于媒質的性質和波的類型(橫波、縱波)當波長遠大于介質分子間的距離時，宏觀上介質可視為是連續的；若波長小到分子間距尺度時，介質不再具備連續性，此時不能傳播彈性波。彈性波在介質中傳播時存在一個頻率上限。74.波的傳播速度波速u

—振動狀態(位相)的傳播速度，又稱相速。波速完全由媒質的性質(彈性和慣性)來確定。如液體、氣體中的縱波，波速：容變彈性模量質量密度(慣性)固體中的橫波，波速：切變彈性模量縱波，波速：楊氏彈性模量柔繩中的橫波，波速：繩中的張力質量線密度8一列平面簡諧波（假定是橫波）坐標原點任設（不必設在波源處）波沿X

軸正向傳播

若波沿+x向傳播，空間任一點

p(x,y,z)的振動相位只和x與t有關，而和其它空間坐標無關——平面簡諧波。

§5.2平面簡諧波的波動方程如何描述任意時刻t、波線上距原點為x

的任一點P

的振動規律？取任意一條波線為x軸注意：P點振動相位落后0點設O點振動方程：uXY0P91.平面簡諧波的波動表式平面簡諧波的波動表式波源帶動彈性媒質中與其相鄰的質點發生振動，振動相繼傳播到后面各相鄰質點，其振動時間和相位依次落后。10沿x

軸負方向傳播的平面簡諧波的表達式O

點簡諧運動方程：由P

點的振動得到波動表示式：同一時刻，沿

x

軸正向，波線上各質點的振動時間和相位依次超前。yxo11例:已知求：平面簡諧波的表達式解：SoxPb點比a點的相位落后：重要結論！12例:已知

解：sxoP求：平面簡諧波的表達式133.波動表式的物理意義（1）給定x，波動表式給出該處質元的振動方程。（2）給定t，波動表式給出該時刻各質元離開平衡位置位移的分布情況，即該時刻的波形圖。波形曲線(波形圖)反映某時刻t各質元位移在空間的分布情況。

(

t時刻用照相機為所有質元拍的團體照)oxut

y14x=u

tt

時刻波形t+t

時刻波形不同時刻對應有不同的波形曲線（3）t

和

x

都變，波動表式給出任意質元在任意時刻t

的位移。即給出波形隨時間而變化的情況。（1）給定x，波動表式給出該處質元的振動方程。（2）給定t，波動表式給出該時刻各質元離開平衡位置位移的分布情況，即該時刻的波形圖。15（1）A點的速度大于零；（2）B點靜止不動；（3）C點向下運動；（4）D點的振動速度小于零。請指出你認為是對的答案

以波速

u沿

X

軸逆向傳播的簡諧波

t

時刻的波形如下圖隨堂小議OXYuABCDA點向下運動，y<0；速度小于零。D點向下運動，y<0；速度小于零。ABCD16解:(1)平面簡諧波的表達式例：已知：x0=/2處求:(1)平面簡諧波的表達式，

(2)t

=

0及t

=T/4時的波形P(x)xo距離o點x處取P點17(2)t

=

0及t

=T/4時的波形t=0時刻波形t=T/4時刻波形18解：例:已知：u=20m?s-1,

沿X軸負向傳播,

t

=

0

的波形如圖所示。求：振幅，波長，波的周期、波動表式。o設0點振動方程：v0019彈性波傳播到介質中的某處，該處將具有動能和勢能。在波的傳播過程中，能量從波源向外傳播。考慮棒中的體積V，其質量為m

(m=V)。當波動傳播到該體積元時，將具有動能Wk和彈性勢能Wp。平面簡諧波可以證明§3波的能量與能流聲壓與聲強

1.波的能量體積元的總機械能20⑴由動能、勢能公式來看，波在傳播過程中任一質元的動能和勢能都隨時間變化，且在同一時刻，位相相同，大小相等。即動能達到最大值時，勢能也達到最大；動能為零時，勢能也為零。a點：位移最大處，動能為零；沒有形變，形變勢能為零。b點：位移為零處，動能最大；形變最大，形變勢能最大。討論:介質質元（m

=

V）的機械能21因為彈簧振子是保守孤立系統，質元卻與周圍介質有相互作用。⑵質元機械能不是常量，而是隨時間作周期性變化，這與彈簧振子總的機械能是一常數不同。整個過程，介質不積累能量。所以波的傳播過程也是能量的傳播過程。⑶質元能量由0

逐漸增加為m2A2，表明該質元從外部吸收能量；由m2A2逐漸減少為0，表明該質元向外部輸出能量。體積元的總機械能22能量密度：2.

能量密度（單位體積媒質中波的能量）T平均能量密度：23能流在介質中垂直于波速方向取一面積S

，在單位時間內通過S

的能量。平均能流：平均能流密度(波的強度)

通過與波傳播方向垂直的單位面積的平均能流，用I

來表示，即3.波的強度24介質的特性阻抗

z

=

u,

I的單位:瓦特/米2(W.m-2)平面余弦行波振幅不變的意義:對于球面波,若介質不吸收能量通過兩球面的總能流相等球面波表達式：式中a為波在離原點單位距離處振幅的數值。254.聲波按頻率范圍劃分：次聲波f<20Hz

聲波20<f<20000Hz超聲波f>20000Hz聲強是聲波的平均能流密度，即單位時間內通過垂直于聲波傳播方向的單位面積的聲能量。痛覺閾：恰好能引起痛覺的最低聲強。聽覺閾：恰好能引起聽覺的最低聲強。聲強的上下限值隨頻率而異。在1000Hz時，正常人聽覺的最高聲強為1W/m2,最低聲強為10-12W/m2。將I0=10-12W/m2作為測定聲強的標準。聲強級單位為貝爾（bel）若采用分貝（dB），幾種典型聲音的聲強級：細語—10dB炮聲的聲強級—110dB聚焦超聲波的聲強級—210dB26聲波在理想氣體中的傳播速度：氣體的摩爾質量：氣體的比熱容比T：氣體的溫度（K）R：氣體常量

對同種氣體、在同一狀態下，各種不同頻率的聲波傳播速度相同。標準狀態下空氣中的聲速常溫下（20℃)

空氣中的聲速常溫下某些媒質中的聲速鉛1300

海水1510鐵5000玻璃6000(m·s–1)媒質聲速聲波在媒質中傳播的速度。聲速與媒質的特性和媒質的溫度有關。聲速27例:用聚焦超聲波的方式，可以在液體中產生強度達120kW/cm2的大振幅超聲波。設波源作簡諧振動，頻率為500kHz，液體的密度為1g/cm3，聲速為1500m/s，求這時液體質點振動的振幅。解因I=uA22/2，所以可見液體中聲振動的振幅實際上是極小的。28波在彈性介質中運動時,任一點P的振動,將會引起鄰近質點的振動。就此特征而言，振動著的P點與波源相比，除了在時間上有延遲外，并無其他區別。因此，P

可視為一個新的波源。1678年，惠更斯總結出了以其名字命名的惠更斯原理：介質中任一波面上的各點，都可看成是產生球面子波的波源；在其后的任一時刻，這些子波的包絡面構成新的波面。惠更斯§5.4波的衍射現象惠更斯原理1.惠更斯原理29障礙物的小孔成為新的波源原波陣面新波陣面S1S2t時刻t+Dt時刻uDt30當波在傳播過程中遇到障礙物時，其傳播方向繞過障礙物發生偏折的現象，稱為波的衍射。波在窄縫的衍射效應2.波的衍射315.5波的疊加與干涉駐波前面我們僅討論了一列波在介質傳播的情況，如果有幾列波同時在同一介質中傳播時而又相遇會怎么樣？波的獨立傳播定律當幾列波同時在同一介質中傳播時，它們是各自獨立地進行的，與其它波的存在與否無關。如樂隊合奏、二重唱，空中無線電波很多(仍能分別接收各個電臺)

。如果這幾列波在空間某點處相遇，那么每一列波都將獨立地保持自己原有的特性(頻率、波長、振動方向等)傳播。1.波的疊加32水滴圓起獨立傳播春意盈盈，細雨綿綿。33在幾列波相遇處，質元的位移等于各列波單獨傳播時在該處引起的位移的矢量和。這種波動傳播過程中出現的各分振動獨立地參與疊加的事實稱為波的疊加原理。2.波的干涉相干條件：振動方向相同頻率相同相位相同或相位差恒定相干波：滿足相干條件的幾列波稱為相干波。相干波源：能發出相干波的波源稱為相干波源。

波疊加時在空間出現穩定的振動加強和減弱的分布。34A2()A1()A()Pr1r221ss強弱分布規律兩個相干波源波源S1和S2的振動方程分別為：S1和

S2單獨存在時,在P點引起的振動的方程為:35P點的合振動方程為:振幅A和相位f0對于P點

為恒量，因此A也是恒量，并與

P點空間位置密切相關。36（合振幅最大）（合振幅最小）若10=20，上述條件簡化為：（合振幅最大）（合振幅最小）波程差37兩列相干波源為同相位時，在兩列波的疊加的區域內，在波程差等于零或等于波長的整數倍的各點，振幅最大；在波程差等于半波長的奇數倍的各點，振幅最小。因若I1=I2，疊加后波的強度：38同頻率、同方向、相位差恒定的兩列波,在相遇區域內,某些點處振動始終加強,另一些點處的振動始終減弱,這一現象稱為波的干涉。干涉現象的強度分布39同頻率、同方向、相位差恒定的兩列波,在相遇區域內,某些點處振動始終加強,另一些點處的振動始終減弱,這一現象稱為波的干涉。40例5.4位于兩點的兩個波源，振幅相等，頻率都是100赫茲，相差為，其相距30米，波速為400米/秒，求:A,B連線之間因相干涉而靜止的各點的位置。解：x41因干涉而靜止的點滿足：因為：42駐波的形成駐波是兩列振幅相同的相干波在同一條直線上沿相反方向傳播時疊加而成的。3.駐波43沿x軸的正、負方向傳播的行波合成波駐波方程振幅分布因子它的絕對值表示位于坐標x處的振動質點的振幅。即描述振幅沿X軸的分布規律。駐波中各質點均以同一頻率作簡諧振動。諧振動因子44波節位置相鄰兩個波腹(節)間的距離為/2。波腹位置合成波的振幅與位置x

有關。OXY2l2l波節波腹45OACEFGHBD波節：OBDFH

波腹：ACEG

46弦線長度等于半波長的整數倍時形成駐波。——駐波條件兩端固定一端固定4.弦線上的駐波47能量分布5.駐波能量分布與相位分布波節體積元不動，動能Ek=0。（1）其它各質點同時到達最大位移時：波腹及其它質點的動能Ek=0，波節處形變最大勢能EP最大。波腹附近各點速度最大Ek最大，波節及其它點無形變EP=0。（2）其它各質點同時通過平衡位置時：駐波的能量不作定向傳播，其能量轉移過程是動能與勢能的相互轉移以及波腹與波節之間的能量轉移。也可從能流密度證明：因為能流密度等于平均能量密度乘波速，左行波與右行波能流密度之和為零。48相位分布同一時刻，相鄰兩波節之間的各質點的振動相位相同；波節兩側的各質點的振動相位相反。駐波不是振動相位的傳播過程，駐波的波形不發生定向傳播。“駐”字的三層含義：（1）駐波波形不傳播（2）駐波相位不傳播（3）駐波不傳播能量49駐波駐波入射波入射波反射波反射波波疏媒質波密媒質XOY由波密媒質入射在波疏媒質界面上反射，在界面處，形成駐波時，總是出現波腹。反射波的振動相位總是與入射波的振動相位相同。波阻：介質的密度和波速的乘積稱為波阻。波阻較大的介質稱為波密介質；波阻較小的介質稱為波疏介質。6.半波損失50入射波入射波駐波駐波反射波反射波波密媒質波疏媒質2l2lXYO由波疏媒質入射在波密媒質界面上反射，在界面處，形成駐波時，總是出現波節。反射波的振動相位總是與入射波的振動相位相反，即差了。半波損失折合成波程差51例5.5一平面簡諧波沿正向傳播，已知其所引起的坐標原點處質元的振動方程為：在離坐標原點為處3遇一波疏/波密媒質的分界面發生反射，求：（1）反射波方程（2）駐波方程XO波疏波密52XO波疏波密解：（1）PR53（2）波腹波節54例2：如圖所示，一平面簡諧波沿X軸正方向傳播，BC為波密媒質的反射面。波由P點反射，OP

=

3/4，DP

=

/6。在t=0時，O處質點的合振動是經過平衡位置向負方向運動。求D點處入射波與反射波的合振動方程。（設入射波與反射波的振幅皆為A，頻率為

。）oxDP入反波疏波密55當觀察者與波源之間有相對運動時，觀察者所測得的頻率不同于波源頻率的現象，稱為多普勒效應。以機械波為例，在靜止媒質中：設觀察者和波源在同一直線上運動–––波源