浙江省溫州市林垟中學2022高二數學理月考試題含解析

浙江省溫州市林垟中學2022高二數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.圓的圓心的極坐標是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A略2.下列命題中是假命題的是（）A．若a＞0，則2a＞1B．若x2+y2=0，則x=y=0C．若b2=ac，則a，b，c成等比數列D．若a+c=2b，則a，b，c成等差數列參考答案：C【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】A，由指數函數y=2x可得，當a＞0，2a＞1；B，∵x2≥，y2≥0對任意實數恒成立，∴當x2+y2=0時，一定有x=y=0；C，當b2=ac時，a，b，c可能同時為0，此時a，b，c不是等比數列；D，當a+c=2b，一定有b﹣a=c﹣b，則a，b，c一定成等差數列．【解答】解：對于A，由指數函數y=2x可得，當a＞0，2a＞1，故正確；對于B，∵x2≥，y2≥0對任意實數恒成立，∴當x2+y2=0時，一定有x=y=0，故正確；對于C，當b2=ac時，a，b，c可能同時為0，此時a，b，c不是等比數列，故錯；對于D，當a+c=2b，一定有b﹣a=c﹣b，則a，b，c一定成等差數列，故正確．故選：C．3.用數學歸納法證明“”時，由n=k的假設證明n=k+1時，如果從等式左邊證明右邊，則必須證得右邊為（）A． B．C． D．參考答案：D【考點】數學歸納法．【分析】當n=k+1時，右邊=，由此可得結論．【解答】解：由所證明的等式，當n=k+1時，右邊==故選D．4.如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中，正確的個數為（

）．（1） （2）截面 （3） （4）異面直線PM與BD所成的角為45° A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C∵，∴面，又∵平面平面，∴，∴截面．②正確；同理可得，故．①正確，又，，∴異面直線與所成的角為，故④正確．根據已知條件無法得到、長度之間的關系，故③錯誤．故選．5.已知an=log（n+1）（n+2）（n∈N*）．我們把使乘積a1?a2?a3?…?an為整數的數n叫做“優數”，則在區間（1，2004）內的所有優數的和為（）A．1024 B．2003 C．2026 D．2048參考答案：C【考點】對數的運算性質．【分析】根據換底公式，把an=log（n+1）（n+2）代入a1?a2…an并且化簡，轉化為log2（n+2），由log2（n+2）為整數，即n+2=2m，m∈N*，令m=1，2，3，…，10，可求得區間[1，2004]內的所有優數的和．【解答】解：由換底公式：．∴a1?a2?a3?…?an=log23?log34…log（n+1）（n+2）===log2（n+2），∵log2（n+2）為整數，∴n+2=2m，m∈N*．n分別可取22﹣2，23﹣2，24﹣2，最大值2m﹣2≤2004，m最大可取10，故和為22+23++210﹣18=2026．故選：C．6.已知，焦點在x軸上的橢圓的上下頂點分別為B2、B1，經過點B2的直線l與以橢圓的中心為頂點、以B2為焦點的拋物線交于A、B兩點，直線l與橢圓交于B2、C兩點，且||=2||．直線l1過點B1且垂直于y軸，線段AB的中點M到直線l1的距離為．設=λ，則實數λ的取值范圍是（）A．（0，3） B．（﹣，2） C．（﹣，4） D．（﹣，3）參考答案：D【考點】橢圓的簡單性質．【分析】根據拋物線的性質求得丨AB丨=2×=，丨BB2丨=丨AB丨=，丨AB2丨=丨AB丨=3，丨BB2丨=2，即可求得b的值，將直線方程代入拋物線方程，由韋達定理及拋物線的焦點弦公式，即可求得m的值，求得直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量的坐標運算，求得λ的表達式，由a的取值范圍，即可求得實數λ的取值范圍．【解答】解：如圖，由題意可知：設橢圓的標準方程為：（a＞b＞0），線段AB的中點M到直線l1的距離為，∴由拋物線的定義可知：丨AB丨=2×=，由||=2||，∴丨BB2丨=丨AB丨=，丨AB2丨=丨AB丨=3，由三角形的相似關系求得丨BB2丨=2，∴2b=2，b=1，．拋物線方程為x2=4y，設直線AB的方程為：x=m（y﹣1），由，代入整理得：m2y2﹣2（m2+2）y+m2=0，由韋達定理可知：yA+yB=，由拋物線的焦點弦公式可知：丨AB丨=yA+yB+p=+2=，解得：m=±2，∴直線AB的方程為：x=±2（y﹣1），∴，整理得：（8+a2）y2﹣16y+8﹣a2=0，由韋達定理可知：yC+=，∴yC=﹣1=，=λ，yB﹣yC=λ（﹣yB），由拋物線的性質可知：yB=丨BB2丨﹣b，=b，∴﹣yC=λ，整理得：λ==3﹣，由a2＞b2=1，∴﹣＜λ＜3，∴實數λ的取值范圍（﹣，3），故選D．7.如圖，在△ABC中，點D、E是線段BC上兩個動點，且，則的最小值為（

）A. B.2 C. D.參考答案：D【分析】根據題意求出x,y滿足的等式，然后利用基本不等式中“1”的代換，求解最小值【詳解】如圖可知x，y均為正，設，共線，，，則，，則的最小值為，故選D.【點睛】平面向量與基本不等式的綜合題目，考察基本不等式中“1”的代換，求解代數式最值問題8.已知等比數列中，，數列是等差數列，且，則等于A．16

B.8

C.4

D.2參考答案：B略9.已知復數滿足，則的實部

（

）A.不小于

B.不大于

C.大于

D.小于參考答案：B10.用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60度”時，反設正確的是（

）A.假設三內角都大于60度

B．假設三內角都不大于60度

C.假設三內角至多有一個大于60度

D．假設三內角至多有兩個大于60度參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數

則_____________參考答案：略12.(5分)已知，存在，使對任意，都有整除，則的最大值為______________.

參考答案：6413.橢圓（a＞b＞0）)的左、右焦點分別為F1，F2，過F2作x軸的垂線與橢圓的一個交點為P，若∠F1PF2＝45°，則橢圓的離心率e＝__________．參考答案：略14.已知扇形的圓心角為（定值），半徑為（定值），分別按圖一、二作扇形的內接矩形，若按圖一作出的矩形面積的最大值為，則按圖二作出的矩形面積的最大值為

▲

．參考答案：15.從0，2，4，6，8中任取2個數字，從1，3，5，7中任取2個數字，組成沒有重復的四位數，其中能被5整除的四位數共有______個用數字作答參考答案：300【分析】根據題意，分三種情況進行討論，四位數中包含5和0的情況，四位數中包含5，不含0的情況，四位數中包含0，不含5的情況，再由分步計數原理，即可求解．【詳解】根據題意，分三種情況進行討論，（1）四位數中包含5和0的情況，共有個；（2）四位數中包含5，不含0的情況，共有個；（3）四位數中包含0，不含5的情況，共有個，再由分類計數原理，可得個．【點睛】本題主要考查了排列、組合的綜合應用，其中解答中認真審題，以及被5整除的數的特點，合理分類討論是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．16.已知函數f（x）=﹣x2+2x+b2﹣b+1（b∈R），若當x∈時，f（x）＞0恒成立，則b的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【考點】一元二次不等式的解法．【專題】不等式的解法及應用．【分析】考查函數f（x）的圖象與性質，得出函數f（x）在上是單調增函數，由f（x）min＞0求出b的取值范圍即可．【解答】解：∵函數f（x）=﹣x2+2x+b2﹣b+1的對稱軸為x=1，且開口向下，∴函數f（x）在上是單調遞增函數，而f（x）＞0恒成立，∴f（x）min=f（﹣1）=﹣1﹣2+b2﹣b+1＞0，解得b＜﹣1或b＞2，∴b的取值范圍是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故答案為：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【點評】本題考查了利用函數的圖象與性質求不等式的解集的問題，解題時應熟記基本初等函數的圖象與性質，是基礎題．17.已知點，直線l過點且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：A略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設集合A=＜，集合B=＞，若，求實數的取值范圍.參考答案：解：由＜1得＜＜

＜＜

………………4分

由＞0

得＜＜1或＞2

＜＜1或＞

……8分

或

解得或

的取值范圍為

………………13分19.（12分）如圖，四棱錐的底面為直角梯形，其中，，，底面，是的中點。（1）求證：平面；（2）若，求證：平面。參考答案：（1）取中點，連結，。∵是中點，∴中，且∴四邊形為平行四邊形。∴，又平面，平面∴平面。（2）由（1），∵，，∴平面，從而，即。在Rt中，∵，為中點，∴。又，∴平面，又，∴平面。20.設：實數滿足，其中；：實數滿足.（1）若，且為真，求實數的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.參考答案：(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0，又a>0，所以a<x<3a，當a＝1時，1<x<3，即p為真時，實數x的范圍是1<x<3…………2分由q為真時，實數x的范圍是x3，………4分若p∧q為真，則p真且q真，所以實數x的取值范圍是(1,3)．……5分(2)：x≤a或x≥3a，

：x<-2或x>3，由是的充分不必要條件，有……………………8分得0<a≤1，顯然此時，即a的取值范圍為(0,1]．………10分21.已知函數，曲線的圖象在點處的切線方程為.（1）求a，并證明；（2）若對任意的恒成立，求實數k的取值范圍.參考答案：（1）見解析；（2）.【分析】（1）由導數的幾何意義，求得，得到函數的解析式，構造新函數，利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解；（2）把對任意的恒成立等價于對任意的恒成立，令，利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解．【詳解】（1）根據題意，函數，則，則，由切線方程可得切點坐標為，將其代入，解得，故，則，則，得，，函數單調遞減；，函數單調遞增；所以，所以．（2）由對任意的恒成立等價于對任意的恒成立，令，得，由（1）可知，當時，恒成立，令，得；，得，所以的單調增區間為，單調減區間為，故，所以.所以實數的取值范圍為.【點睛】本題主要考查導數在函數中的綜合應用，以及不等式關系的證明和恒成立問題的求解，著重考查了轉化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．22.為了保護環境，某工廠在政府部門的支持下，進行技術改進：把二氧化碳轉化為某種化工產品，經測算，該處理成本y（萬元）與處理量x（噸）之間的函數關系可近似地表示為：，且每處理一噸二氧化碳可得價值為20萬元的某種化工產品．（Ⅰ）當x∈[30，50]時，判斷該技術改進能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，則國家至少需要補貼多少萬元，該工廠才不虧損？（Ⅱ）當處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少．參考答案：【考點】函數最值的應用．【分析】（Ⅰ）利用每處理一噸二氧化碳可得價值為20萬元的某種化工產品，及處理成本y（萬元）與處理量x（噸）之間的函數關系，可得利潤函數，利用配方法，即可求得結論；（Ⅱ）求得二氧化碳的每噸平均處理成本函數是分段函數，再分段求出函數的最值，比較其大小，即可求得結論．【解答】解：（Ⅰ）當x∈[30，50]時，設該工廠獲利為S，則S=20x﹣（x2﹣40x+1600）=﹣（x﹣30）2﹣700所以當x∈[30，50]時，S＜0，因此，該工廠不會獲利，所以國家至少需要補貼700萬元，才能使工廠不虧損