應力與應變第六章

第六章應力狀態與應變狀態分析材料力學第六章應力狀態與應變狀態分析

§6–1應力狀態的概念§6–2平面應力狀態分析——解析法§6–3平面應力狀態分析——圖解法§6–4

梁的主應力及其主應力跡線§6–5

三向應力狀態研究——應力圓法§6–6

平面內的應變分析§6–7

復雜應力狀態下的應力--應變關系

——（廣義虎克定律）§6–8

復雜應力狀態下的變形比能§6–１應力狀態的概念應力狀態與應變狀態一、引言1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗現象是怎樣產生的？M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？MP四、普遍狀態下的應力表示

三、單元體：

單元體——構件內的點的代表物，是包圍被研究 點的無限小的幾何體，常用的是正六面體。單元體的性質——a、平行面上，應力均布；

b、平行面上，應力相等。二、一點的應力狀態：

過一點有無數方位的截面，這一點的各個截面上應力情況的集合，稱為這點的應力狀態（StateofStressataGivenPoint）。xyzs

xsz

s

y應力狀態與應變狀態txytzx由受力構件中取原始單元體（已知單元體）：例

畫出下列圖中的A、B、C點的已知單元體。

應力狀態與應變狀態PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx四、主單元體、主平面、主應力：主單元體(Principalbidy)：

各側面上切應力均為零的單元體。主平面(PrincipalPlane)：切應力為零的面。主應力(PrincipalStress

）：

主平面上的正應力。主應力排列規定：按代數值大小，應力狀態與應變狀態s1s2s3xyzsxsysz單向應力狀態（UnidirectionalStateofStress）

一個主應力不為零的應力狀態。

二向應力狀態（PlaneStateofStress）：

一個主應力為零的應力狀態。應力狀態與應變狀態三向應力狀態（Three—DimensionalStateof

Stress）：

三個主應力都不為零的應力狀態。AsxsxtzxsxsxBtxz平面應力狀態空間應力狀態tzxsxsxBtxzsxsxA§6–2

平面應力狀態分析——解析法應力狀態與應變狀態sxtxysyxyzxysxtxysyO規定：

:與截面外法線同向為正；

ta：繞研究對象順時針轉為正；

a：x轉到n逆時針為正。naa設：斜截面面積dA，由分離體平衡得：一、任意斜截面上的應力應力狀態與應變狀態考慮切應力互等和三角變換：得:sytyxsxsataaxyOtnatxy同理：sytyxsxsataatnatxy二、應力極值′′應力狀態與應變狀態§6–3

平面應力狀態分析——圖解法對上述方程消去參數（2），得：一、應力圓（StressCircle）應力狀態與應變狀態xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn此方程曲線為圓—應力圓（或莫爾圓，由德國工程師：OttoMohr引入）RC建立應力坐標系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應力圓的畫法在坐標系內畫出點A(x，xy)和B(y，yx)

AB與sa

軸的交點C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應力圓；應力狀態與應變狀態sxtxysyxyOnsataaOstCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)應力狀態與應變狀態sxtxysyxyOnsataaOstCA(sx,txy)B(sy,tyx)2anD(sa,

ta)三、單元體與應力圓的對應關系面上的應力(，)

應力圓上一點(，)面的法線應力圓的半徑兩面夾角兩半徑夾角2

；且轉向一致。點面對應;夾角兩倍,轉向一致x四、在應力圓上標出極值應力應力狀態與應變狀態OCstA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3★切應力最大與最小的截面上，正應力一般不為零,且大小相等。★兩互相垂直的截面上，正應力之和為常數;★主平面上，主應力取得極大或極小。性質：OCstA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3例：分別用解析法和圖解法求圖示單元體的

(1)指定斜截面上的正應力和切應力; (2)主應力值及主方向，并畫在單元體上；

(3)最大切應力值。單位：MPa解：(一)使用解析法求解101.96MPa21.96MPa84.85MPa64.85104.85σ1=104.85MPa，σ2=0，σ3=-64.85MPa。

(二)使用圖解法求解

作應力圓，從應力圓上量出：C（20，0），R=84.85MPa，σ1=104.85MPa，σ2=0MPa，σ3=-64.85MPa，τmax=84.85MPatan2α0=1，2α0=45°σ1=104.85MPa，σ2=0MPa，σ3=-64.85MPa，τmax=84.85MPa，α0=22.5°104.8564.85例：試用應力圓法計算圖示單元體e--f截面上的應力。圖中應力的單位為MPa。例

用應力圓求解圖示單元體解：（1）作應力圓C主應力、主平面，C（45，0），σ1=87.72MPa，σ2=0MPa，σ3=-2.27MPa，τmax=42.72MPa低碳鋼鑄鐵例：討論圓軸扭轉時的應力狀態，并分析低碳鋼、鑄鐵試件受扭時的破壞現象。解：低碳鋼剪斷；鑄鐵拉斷。§6–4

梁的主應力及其主應力跡線應力狀態與應變狀態12345P1P2q如圖，已知梁發生剪切彎曲（橫力彎曲），其上M、Q>0，試確定截面上各點主應力大小及主平面位置。單元體：應力狀態與應變狀態21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2D1CD1O2a0=–90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1O拉力壓力主應力跡線（StressTrajectories)：

主應力方向線的包絡線——曲線上每一點的切線都指示著該點的拉主應力方位（或壓主應力方位）。實線表示拉主應力跡線；虛線表示壓主應力跡線。應力狀態與應變狀態1313§6–5

三向應力狀態研究——應力圓法應力狀態與應變狀態s2s1xyzs31、空間應力狀態2、三向應力分析彈性理論證明，圖a單元體內任意一點任意截面上的應力都對應著圖b的應力圓上或陰影區內的一點。圖a圖b整個單元體內的最大剪應力為：tmax應力狀態與應變狀態s2s1xyzs3§6–6廣義胡克定律應力狀態與應變狀態一.基本變形時的胡克定律y