高中數學人教A版2第二章推理與證明 獲獎作品

第二章2.2.一、選擇題(每小題5分，共20分)1．關于反證法的說法正確的有()①反證法的應用需要逆向思維；②反證法是一種間接證明方法，否定結論時，一定要全面否定；③反證法推出的矛盾不能與已知相矛盾；④使用反證法必須先否定結論，當結論的反面出現多種可能時，論證一種即可．A．①② B．①③C．②③ D．③④解析：容易判斷①②是正確的；反證法推出的矛盾可以與已知相矛盾，故③錯誤；當結論的反面出現多種可能時，應對這幾種可能全部進行論證，故④錯誤．故選A.答案：A2．用反證法證明命題：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”時，假設的內容應為()A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除解析：“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，即“a，b都不能被5整除”．答案：B3．否定“自然數a，b，c中恰有一個偶數”時，正確的假設為()A．a，b，c都是奇數B．a，b，c都是偶數C．a，b，c中至少有兩個偶數D．a，b，c中都是奇數或至少有兩個偶數解析：“恰有一個偶數”的反面是“沒有偶數或至少有2個偶數”．故選D.答案：D4．對于定義在實數集R上的函數f(x)，如果存在實數x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫作函數f(x)的一個好點．已知函數f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好點，那么a的取值范圍是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：假設f(x)＝x2＋2ax＋1存在好點，亦即方程f(x)＝x有實數根，所以x2＋(2a－1)x則Δ＝(2a－1)2－4＝4a2－4a解得a≤－eq\f(1,2)或a≥eq\f(3,2)，故當f(x)不存在好點時，a的取值范圍是－eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2)，故選A.答案：A二、填空題(每小題5分，共10分)5．(2023·衡水中學高二檢測)命題“a，b是實數，若|a－1|＋|b－1|＝0，則a＝1，b＝1”，用反證法證明時應假設為________________解析：“a＝1，b＝1”的反面是“a，b不都等于1”，即“a，b中至多有一個等于答案：a，b中至多有一個等于16．在用反證法證明“已知p3＋q3＝2，求證：p＋q≤2”時的反設為________，得出的矛盾為________________解析：假設p＋q>2，則p>2－q.∴p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3，將p3＋q3＝2代入得6q2－12q＋6<0，∴(q－1)2<0這不可能．(同理也可得到(p－1)2<0)∴p＋q≤2.答案：p＋q>2(q－1)2<0(或(p－1)2<0)三、解答題(每小題10分，共20分)7．若a，b，c均為實數，且a＝x2－2y＋eq\f(π,2)，b＝y2－2z＋eq\f(π,3)，c＝z2－2x＋eq\f(π,6).求證：a，b，c中至少有一個大于0.證明：假設a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－2y＋\f(π,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－2z＋\f(π,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z2－2x＋\f(π,6)))＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.所以a＋b＋c＞0，這與a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一個大于0.8．已知三個正數a，b，c成等比數列，但不成等差數列，求證：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數列．證明：假設eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數列，則eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，即a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，而b2＝ac，即b＝eq\r(ac)，∴a＋c＋2eq\r(ac)＝4eq\r(ac)，∴(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0.即eq\r(a)＝eq\r(c)，從而a＝b＝c，與a，b，c不成等差數列矛盾，故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數列．9.(10分)若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個方程有實根，試求實數a解析：假設三個方程均無實數根，則有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝16a2－4－4a＋3<0，,Δ2＝a－12－4a2<0，,Δ3＝4a2－4－2a<0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs