新人教版11.3.2多邊形的內角和

§11.3.2多邊形的內角和學習目標1.學會用三角形內角和定理證明多邊形的內角和與外角和；2.會利用多邊形的內角和與外角和來解決相關問題。1、在平面內，__________________________叫做多邊形。２、在多邊形中_________________________叫做多邊形的對角線。３、三角形的內角和是____．一、設疑自探、回顧舊知由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段1800二、解疑合探、探尋新知

長方形的內角和是多少？為什么？如果是任意四邊形呢？探究：任意四邊形的內角和是多少？試一試BADC（1）四邊形ABCD的內角和是多少？（2）你是怎樣求的？(1)從頂點A可以畫幾條對角線？分別是哪幾條？(2)這樣五邊形被分成了幾個三角形？

(3)五邊形的內角和是多少度？ABDCE你來探索六邊形的內角和，你一定行！ABCDEF被分得三角形個數六邊形的內角和4

4×180°這種探索方法你掌握了嗎？請完成下表多邊形的邊數34567…n分成的三角形個數12…多邊形的內角和180°180°×2180°×3…345n-2180°

×5(n-2)×180180°×4想一想：從表中你能發現什么？多邊形內角和公式：

n邊形的內角和等于(n－2)．180°三、質疑再探、拓展創新

AnA5

A1A4

A2A3

AnA5

A1A4

A2A3PP(1)(2)你還有其他的方法將多邊形分割成三角形嗎？ABCDABCDEABCDEF

該圖中n邊形共分成n個三角形，故所有三角形內角和為n×180°，但每個圖中都有一個以紅圈圈住的點，它是一個圓周角360°，因此n邊形的內角和為

n×180°-360°=(n-2)×180°多了什么？如何處理？多了什么？如何處理？ABCDABCDEABCDEF

這種分割方式，將n邊形分成n-1個三角形，故所有三角形的內角和為（n-1）×180°，邊上一點周圍所形成的平角不是多邊形的內角，因此n邊形的內角和為

（n-1）×180°-180°=(n-2)×180°例1：求八邊形的內角和的度數。

四、活學活用解：（n－2）×180°＝（8－2）×180°

＝1080°答：八邊形的內角和為1080°。例2：一個正多邊形的一個內角為150°，你知道它是幾邊形嗎？

解：設這個多邊形為n邊形，根據題意得：（n－2）×180＝1５0n

n＝12答：這個多邊形是十二邊形。另解：由于多邊形外角和等于360°

而這個正多邊形的每個外角都等于

180°－150°＝30°，所以這個正多邊形的邊數等于

360°÷30°＝12。探索

（1）什么是三角形的外角？外角有什么性質？

（2）類似地，在多邊形中找出外角多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角，叫做多邊形的外角。例1：如圖，在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和.求六邊形的外角和.ABCDEF123456解：六邊形的任何一個外角加上與它相鄰的內角，都等于180°.因此六邊形的6個外角加上與它們相鄰的內角，所得總和等于6×180°.這個總和就是六邊形的外角和加上內角和，所以外角和等于總和減去內角和.即外角和等于6×180°－（6－2）×180°＝2×180°＝360°猜想與說理:n邊形的外角和是多少度呢?

答:都是360°.因為多邊形的外角與它相鄰的內角是鄰補角，所以n邊形的外角和加內角和等于n·180°，內角和為(n－2)·180°,因此，外角和為：n·180°－(n－2)·180°=360°.結論:多邊形的外角和都等于360°.例1：一個多邊形的內角和等于它的外角和的3倍，它是幾邊形？解：設它是n邊形，則(n-2).180=3×360解得：n=8答：它是八邊形（1）一個多邊形的每一個外角都是600，這個多邊形是幾邊形？它的內角和等于多少度?(2)有沒有這樣的多邊形，它的內角和是外角和的3倍？

（3）一個多邊形的每一個外角都相等，且每一個內角都比外角大900，求這個多邊形的邊數和每個內角的度數。

把一個五邊形切取一個角，將得到幾邊形？此時多邊形的內角與外角有什么變化？

探究活動：ＡＢＣＤ如圖，∠Ａ＝４５°