高中數學蘇教版第二章平面向量單元測試 同課異構

2．5向量的應用情景：在日常生活中，你是否有這樣的經驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力．思考：你能從數學的角度解釋這種現象嗎？1．用向量解答物理問題的模式．①建模，______________________________________________.②解模，_______________________________________________.③回答，_______________________________________________.答案：①把物理問題轉化成數學問題②解答得到的數學問題③利用解得的數學答案解釋物理現象2．力、速度、加速度、位移都是________，它們的合成與分解就是________．答案：向量向量的加減法3．功的定義即是力F與其所產生位移s的________．答案：數量積4．平面幾何圖形的許多性質，如平移、全等、相似、長度、夾角都可由____________________表示出來．答案：向量的線性運算及數量積5．向量方法解決平面幾何問題的“三部曲”．(1)建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面____________________．(2)通過________，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角、平行等．(3)把運算結果________成幾何關系．答案：(1)幾何問題轉化為向量問題(2)向量運算(3)“翻譯”6．常見到的問題包括以下命題：(1)求線段的長度或證明線段相等，可利用_________________________________________________________．(2)證明垂直或涉及垂直問題，常用__________________________________________________________．(3)線段平行或涉及共線問題，常用__________________________________________________________．(4)求夾角問題，往往利用向量的夾角公式________，有時要用到投影的幾何意義．答案：(1)向量的線性運算，向量模(2)向量垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)(3)向量平行(共線)的等價條件：a∥b?a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)(4)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))7．直線l的方程：ax＋by＋c＝0.若n＝(－b，a)．則向量n與直線l的關系為________．若v＝(a，b)，則向量v與直線l的關系為________．答案：n∥lv⊥l向量在物理中的應用1．問題的轉化，即把物理問題轉化為數學問題．2．模型的建立，即建立以向量為主體的數學模型．3．參數的獲得，即求出數學模型的有關解——理論參數值．4．問題的答案，即回到問題的初始狀態，解釋相關的物理現象．向量在平面幾何中的應用1．建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題．2．通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題．3．把運算結果“翻譯”成幾何關系．eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(鞏)eq\x(固)1．過點A(2014，2015)且垂直于a＝(－1，1)的直線方程為________．答案：x－y＋1＝02．設△ABC的頂點A(0，0)，B(3，1)，C(6，5)，則重心G的坐標是________．答案：(3，2)3．如右圖，平行四邊形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2.則對角線AC長為________．答案：eq\r(6)4．一只鷹正以水平向下30°角的方向飛行，直撲獵物，太陽光從頭上直照下來，鷹在地面上影子的速度是40米/秒，則鷹的飛行速率約為________(精確到個位)．答案：46米/秒5．用兩條成60°角的繩索拉一輛車．每條繩索上的拉力是12N，則合力為________(精確到N)．答案：N6．P為△ABC所在平面內一點，eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則S△ABC∶S△PBC＝________．解析：由已知得：2eq\o(PA,\s\up6(→))＝－eq\o(PC,\s\up6(→)).∴P為AC的三等份點．∴S△ABC∶S△PBC＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)7．已知A(2，1)、B(3，2)、C(－1，4)，則△ABC的形狀是________．答案：直角三角形8．在△ABC中，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，且a·b＝b·c＝c·a，則△ABC的形狀是________．答案：等邊三角形9．已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))滿足(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0且eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，則△ABC的形狀為________．答案：等邊三角形10．已知一物體在共點力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下產生位移S＝(2lg5，1)，則共點力所做功W＝________J.解析：∵F1＋F2＝(lg2，lg2)＋(lg5，lg2)＝(1，2lg2)．∴ω＝(F1＋F2)·s＝(1，2lg2)·(2lg5，1)＝2lg5＋2lg2＝2(J)．答案：211．兩個粒子a、b從同一發射源發射出來，在某一時刻，它們的位移分別為va＝(4，3)，vb＝(2，10)．(1)寫出此時粒子b相對粒子a的位移v；(2)計算v在va方向上的投影．解析：(1)v＝vb－va＝(2，10)－(4，3)＝(－2，7)．(2)|v|·cos〈v，va〉＝eq\f(v·va,|va|)＝eq\f(（－2，7）·（4，3）,\r(32＋42))＝eq\f(－8＋21,5)＝eq\f(13,5).eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(級)12．已知直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＝1相交于A、B兩點，且AB＝1，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝________．解析：∵圓x2＋y2＝1的半徑為1，AB＝1，∴△AOB為正三角形．∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)13．平面內A(2，1)，B(1，2)，O為坐標原點，eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，λ，μ∈R且λ＋μ＝1，則點P的軌跡方程是________________．解析：設P(x，y)，由λ＋μ＝1，∴A、B、P三點共線，故點P軌跡是一直線，方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝014．已知m＝(cosα，sinα)，n＝(cosβ，sinβ)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α，β∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))，且|m＋n|＝|m－n|，則tanα·tanβ＝________．解析：∵|m＋n|＝|m－n|，∴(m＋n)2＝(m－n)2，即：m·n＝0.∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝0?cosαcosβ＝－sinαsinβ.∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴tanα·tanβ＝－1.答案：－115．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD形狀是________．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))?四邊形ABCD為平行四邊形，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0?AB⊥BC，故四邊形ABCD為矩形．答案：矩形16．已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，點C在∠AOB內，且∠AOC＝30°，設eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m、n∈R)，則eq\f(m,n)等于________．解析：|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，且∠AOC＝30°.設點A坐標為(1，0)，點B坐標為(0，eq\r(3))，點C坐標為(x，y)且y＝eq\f(\r(3),3)x，eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，∴m＝x，n＝eq\f(\r(3),3)y＝eq\f(1,3)x.∴eq\f(m,n)＝3.答案：317．如下圖所示，設I是△ABC的內心，當AB＝AC＝5，且BC＝6時，eq\o(AI,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，則λ＝____________，μ＝________．解析：設AI交BC于點D，∵AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形．∴D為BC的中點．∴BD＝3.∵I是△ABC的內心，∴BI平分∠ABD.在△ABE與△DBI中，eq\f(AE,ID)＝eq\f(AB,BD)＝eq\f(5,3)，又∵∠BID＝∠AEI＝∠AIE，∴AE＝AI.又∵ID＝AD－AI，∴AI＝eq\f(5,8)AD.即eq\o(AI,\s\up6(→))＝eq\f(5,8)eq\o(AD,\s\up6(→))，又∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AI,\s\up6(→))＝eq\f(5,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BC,\s\up6(→))))＝eq\f(5,8)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,16)eq\o(BC,\s\up6(→)).∴λ＝eq\f(5,8)，μ＝eq\f(5,16).答案：eq\f(5,8)eq\f(5,16)18．設集合D＝{平面向量}，定義在D上的映射f，滿足對任意x∈D，均有f(x)＝λx(λ∈R，且λ≠0)．若|a|＝|b|，且a，b不共線，則[f(a)－f(b)]·(a＋b)＝________；若A(1，2)，B(3，6)，C(4，8)，且f(eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則λ＝________．解析：∵|a|＝|b|，且a，b不共線，∴[f(a)－f(b)]·(a＋b)＝(λa－λb)·(a＋b)＝λ(|a|2－|b|2)＝0.又eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1，2)，∴f(eq\o(BC,\s\up6(→)))＝λ(1，2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，4)．∴λ＝2.答案：0219．連接直角三角形的頂點與斜邊的兩個三等分點，所得兩條線段長是sinα和cosα，求直角三角形的斜邊長．解析：如圖所示，以直角三角形的兩直角邊為坐標軸建立平面直角坐標系，D，E為AB的兩個三等分點，OD＝sinα，OE＝cosα.設A(a，0)，B(0，b)，F為AB的中點，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，\f(2,3)b))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，\f(b,3)))，且OF＝eq\f(1,2)AB.∴eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(a,3)×eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b×eq\f(b,3)＝eq\f(2,9)(a2＋b2)，且AB＝eq\r(a2＋b2).又∵eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OF,\s\up6(→))|＝|eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(（\o(OD,\s\up6(→))＋\o(OE,\s\up6(→))）2))＝eq\r(\o(OD,\s\up6(→))2＋\o(OE,\s\up6(→))2＋2\o(OD,\s\up6(→))·\o(OE,\s\up6(→))).又∵OD＝sinα，OE＝cosα，∴eq\r(a2＋b2)＝eq\r(1＋\f(4,9)（a2＋b2）)，即a2＋b2＝eq\f(9,5).∴AB＝eq\r(a2＋b2)＝eq\f(3,5)eq\r(5).20．如右圖所示，在△ABC中，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，求AP∶PM的值．解析：設eq\o(BM,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up6(→))＝e2，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up6(→))＝2e1＋e2.∵A、P、M和B、P、N分別共線，∴存在實數λ，μ，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＝－λe1－3λe2，eq\o(BP,\s\up6(→))＝μeq\o(BN,\s\up6(→))＝2μe1＋μe2.故eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，由基本定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).))故eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up6(→))，即AP∶PM＝4∶1.21．已知對任意平面向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x，y)，把eq\o(AB,\s\up6(→))繞其起點沿逆時針方向旋轉θ角得到向量eq\o(AP,\s\up6(→))＝(xcosθ－ysinθ，xsinθ＋ycosθ)，叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉θ角得到點P.(1)已知平面內點A(1，2)，點B(1＋eq\r(2)，2－2eq\r(2))．把點B繞點A沿順時針方向旋轉eq\f(π,4)后得到點P，求點P的坐標；