第八講 等候線模型

第八講等候線模型物流管理系薛偉霞隊列——排隊論運行指標：系統(tǒng)中沒有任何個體的概率；等候線中等待個體的平均數(shù)；系統(tǒng)中個體的平均數(shù)；一個個體在等候線中所花費的平均時間；一個個體在系統(tǒng)中花費的平均時間；一個個體到達以后不得不等待以接受服務的概率。實踐——花旗銀行自動取款機的等待時間美國花旗銀行紐約分部負責近250家銀行業(yè)務中心。每個中心提供一臺或多臺自動取款機(ATM)，這些自動取款機可以執(zhí)行多種銀行業(yè)務。在每個服務中心，顧客隨機到達，然后使用某一臺自動取款機的服務，并形成等候線。為了確定在某一特定業(yè)務中心區(qū)域內自動取款機的數(shù)量，管理者需要得到關于每位顧客的平均等候時間以及平均服務時間的信息。等候線的運作參數(shù)，諸如等候線中顧客的平均數(shù)量、每位顧客的平均等待時間以及新到達的顧客不得不等待的概率等信息，會幫助管理者確定各個業(yè)務區(qū)域內自動取款機的數(shù)量。實踐——花旗銀行自動取款機的等待時間例如，位于曼哈頓鬧市區(qū)的銀行業(yè)務中心，每天的最高顧客到達率為每小時172小時。使用擁有6臺自動取款機的多路線等待線模型時可以得出：88%的顧客必須等待，并且顧客的平均等待時間為6-7分鐘。我們認為這種服務水平是不可接受的。利用等候線模型進行預測，我們得出的建議是：在可接受的服務水平的要求下，需要將該地區(qū)的自動取款機增加到7臺。等候線模型的使用為各業(yè)務中心區(qū)域增加自動取款機提供了指導。主要內容等候線系統(tǒng)的結構到達服從泊松分布、服務時間服從指數(shù)分布的單列等候線模型到達服從泊松分布、服務時間服從指數(shù)分布的多列等候線模型等候線模型中的一般關系等候線的經濟性分析案例——伯格.度姆快餐店伯格.度姆快餐店出售火腿漢堡、奶酪漢堡、法式油炸食品、軟包裝飲料和攪拌牛奶，同時還有一些特色食品和甜點可供選擇。雖然伯格.度姆快餐店希望能夠為每位顧客提供即時的服務，但是很多時候，到達的顧客遠遠多于伯格.度姆快餐店的服務人員所能接待的人數(shù)。因此，顧客們不得不排隊，以等候所點快餐并取走多點的食品。伯格.度姆快餐店擔心，它目前所用的顧客服務方式正導致過長的等候時間。管理層已經提出要求，需要對等候線進行研究，以開發(fā)一個能夠減少等待時間、提高服務質量的最佳服務方式。單列等候線顧客到達服務生接收點餐并滿足點餐要求等候線系統(tǒng)點餐完畢后顧客離開到達間隔分布顧客的到達規(guī)律可以用泊松概率分布來很好地描述。泊松概率函數(shù)可以計算在某個時間段內，有x個顧客到達的概率。x——在此時間段內到達的人數(shù)；λ——每個時間段內到達的平均人數(shù)；e=2.71828.伯格.度姆快餐店顧客到達的概率平均每小時到達的顧客人數(shù)為45人。λ=45名顧客/60分鐘=0.75名顧客/分鐘。伯格.度姆快餐店顧客到達的概率到達顧客概率00.472410.354320.132930.033240.0062≥50.0010服務時間分布服務時間——從服務開始，某位顧客在服務臺所花費的時間。服務時間的概率分布可以用指數(shù)概率分布來表示。利用指數(shù)分布計算服務時間小于或等于時間長度t時的概率：μ——每個時間段內可接受服務的個體的均值；e=2.71828.伯格.度姆快餐店的服務時間分布每個服務生平均每個時間能為60位顧客提供點餐服務。平均服務率：μ=1名顧客/分鐘。其他排隊原則——先到先服務(FCFS)穩(wěn)態(tài)運行——開始或起始階段稱為過渡（瞬時）階段，當系統(tǒng)正常或穩(wěn)態(tài)運行時，過渡（瞬時）階段結束。等候線模型描述了等候線的穩(wěn)態(tài)運行參數(shù)。到達服從泊松分布、服務時間服從指數(shù)分布的單列等候線模型的運行參數(shù)λ——每個時間段內到達的平均數(shù)（平均到達率）μ——每個時間段內服務的平均數(shù)（平均服務率）1、系統(tǒng)中沒有任何個體的概率：2、等候線中個體的平均數(shù)：3、系統(tǒng)中個體的平均數(shù)：到達服從泊松分布、服務時間服從指數(shù)分布的單列等候線模型的運行參數(shù)4、一個個體在等候線中所花費的平均時間：5、一個個體在系統(tǒng)中花費的平均時間：6、某位剛到達的個體必須等待的概率：7、系統(tǒng)中同時有n個個體的概率：伯格.度姆快餐店的運行參數(shù)平均到達率λ=0.75平均服務率μ=11、2、3、伯格.度姆快餐店的運行參數(shù)4、5、6、伯格.度姆快餐店的運行參數(shù)伯格.度姆快餐店的等候線系統(tǒng)中有N位顧客的概率顧客人數(shù)概率00.250010.187520.140630.105540.079150.059360.04457個或更多0.1335改進等候線運作1、通過創(chuàng)造性的設計變更或利用新技術來提高平均服務率μ。2、增加服務渠道，這樣能夠使更多的顧客得到即時服務。伯格.度姆改進后的運行參數(shù)雇傭一名上菜員幫助收銀臺旁的點餐員。平均服務率由每小時60人上升到75人。平均到達率λ=0.75平均服務率μ=1.25伯格.度姆改進后的運行參數(shù)系統(tǒng)沒有顧客的概率0.400等候線中顧客的平均人數(shù)0.900系統(tǒng)中顧客的平均人數(shù)1.500一個顧客在等候線中花費的平均時間1.200分鐘一個顧客在系統(tǒng)花費的平均時間按2.000分鐘一位到達的顧客必須等候的概率0.600系統(tǒng)中有7位以上（含7位）顧客的概率0.028課堂練習針對伯格.度姆快餐店的單列等候線，假設平均到達率增加到每分鐘1名顧客，平均服務率增加到每分鐘1.25位顧客。請計算在這個新系統(tǒng)下的各運行參數(shù)。與原來的系統(tǒng)相比，這個新系統(tǒng)的服務是改善了還是變差了？討論一下兩者的差異，并指出造成差異的原因。到達服從泊松分布、服務時間服從指數(shù)分布的多列等候線模型多列等候線——包括兩個或兩個以上服務渠道，假設這些服務渠道就服務能力而言是相同的。在多列系統(tǒng)中，到達的個體在單列等候線中等待，然后移動到第一個可用的渠道接受服務。伯格.度姆快餐店的雙渠道等候線顧客到達渠道1服務生A等候線點餐完畢后顧客離開渠道2服務生B顧客到下一個營業(yè)渠道多列等候線運行參數(shù)滿足下列條件：到達服從泊松分布；各個渠道的服務時間服從指數(shù)分布；各個渠道的平均服務率μ相同；到達者在單列等候線中等候，然后移動到第一個可用的渠道接收服務。運行參數(shù)λ表示系統(tǒng)的平均到達率；μ表示每個渠道的平均服務率；k表示渠道數(shù)。1、系統(tǒng)中沒有任何個體的概率：2、等候線中個體的平均數(shù)：運行參數(shù)3、系統(tǒng)中個體的平均數(shù)：4、一個個體在等候線中所花費的平均時間：5、一個個體在系統(tǒng)中花費的平均時間：運行參數(shù)6、某位剛到達的個體必須等待的概率：7、系統(tǒng)中同時有n個個體的概率：到達服從泊松分布、服務時間服從指數(shù)分布的多列等候線中的P0的值比率（λ/μ）渠道的數(shù)量（k）23450.150.86050.86070.86070.86070.200.81820.81870.81870.81870.250.77780.77880.77880.77880.300.73910.74070.74080.74080.750.45450.47060.47220.47240.800.42860.44720.44910.44931.000.33330.36360.36730.36781.200.25000.29410.30020.30111.400.17650.23600.24490.24631.800.05260.14600.16160.16462.000.11110.13040.1343伯格.度姆快餐店的雙渠道系統(tǒng)如果管理者想對增開第二個點餐工作臺（以便能同時為2位顧客提供服務）的可行性進行評估。假設在單列等候線中排隊的第一位的顧客首先到達空閑的服務生處，接收服務。平均到達率為0.75位顧客/分鐘，每個渠道的服務率為1位顧客/分鐘。伯格.度姆快餐店的運行參數(shù)伯格.度姆快餐店雙渠道系統(tǒng)中有n位顧客的概率顧客人數(shù)概率00.454510.340920.127830.047940.0180≥50.0109管理層的決策運行參數(shù)一名員工的單列系統(tǒng)兩名員工的單列系統(tǒng)每個渠道一名員工的雙渠道系統(tǒng)P0系統(tǒng)沒有顧客的概率0.250.4000.4545Lq等候線中顧客的平均人數(shù)2.250.9000.1227L系統(tǒng)中顧客的平均人數(shù)31.5000.8727Wq一個顧客在等候線中花費的平均時間3分鐘1.200分鐘0.1636分鐘W一個顧客在系統(tǒng)花費的平均時間4分鐘2.000分鐘1.1636分鐘Pw一位到達的顧客必須等候的概率0.750.6000.2045系統(tǒng)中有7位以上（含7位）顧客的概率0.13350.0280.0109等候線模型中的一般關系Lq等候線中個體的平均數(shù)L系統(tǒng)中顧客的平均人數(shù)Wq一個顧客在等候線中花費的平均時間W一個顧客在系統(tǒng)花費的平均時間里特導出方程(不論到達是否服從泊松分布，服務時間是否服從指數(shù)分布)例題在一次對墨菲食品連鎖店的食品雜貨收銀臺的研究中，有分析家得出：該店的顧客到達服從平均到達率為每小時24位顧客的泊松分布；但是他還發(fā)現(xiàn)，服務時間服從平均服務率為每小時30位顧客的正態(tài)分布，而不是指數(shù)分布。通過一個對顧客實際等候時間的研究發(fā)現(xiàn)，每位顧客在系統(tǒng)中平均花費的時間為4.5分鐘。該等候線系統(tǒng)的運行參數(shù)等候線的經濟性分析總成本——等候成本和服務成本。Cw——每個個體在每個時間段內的等候成本；L——系統(tǒng)中個體的平均數(shù)；Cs——每條渠道在每個時間段內的服務成本；k——渠道數(shù)；TC——每個時間段內的總成本。總成本是等候成本與服務成本之和：伯格.度姆快餐店的經濟性分析等候成本，每分鐘花在每位等候顧客身上的成本。等候成本為每小時10美元。服務成本，與每個服務渠道的運作直接相關的成本。包括服務生的薪水、福利以及其他與服務渠道的運作相關的直接成本。根據(jù)估計，每小時為7美元。伯格.度姆快餐店的經濟性分析單列系統(tǒng)（L=3位顧客）雙渠道系統(tǒng)（L=0.8727位顧客）等候線模型中的等候線成本曲線、服務成本曲線和總成本曲線的大體形狀其他等候線模型肯德爾（D.G.Kendall）提出了一套符號，這套符號有助于對已有的許多不同的等候線模型進行分類。A/B/kA表示達到的概率分布；B表示服務時間的概率分布；k表示渠道數(shù)。通常使用的標記字母：M——到達服從泊松分布或服務時間服從指數(shù)分布。D——到達或服務時間是確定的或持續(xù)不變的；G——到達或服務時間服從某種已知均值和標準差的一般概率分布。練習萊克城地區(qū)航空公司的所有飛機乘客在進入登機區(qū)域之前必須穿過安