19同構視角下的極值點偏移

4.同構視角解決極值點偏移問題本節分別利用同構單調性和指對同構變形兩個視角來解決2021,2022的兩道極值點偏移問題，給出同構視角解決極值點偏移的一些典例.當然，該部分內容對觀察能力和代數變形能力要求較高，有興趣讀者可研究！類型1.同構單調性解決極值點偏移例1.(2021新高考1卷)已知函數/(x)=%(lTn%).(1)討論/(x)的單調性；(2)設。，匕為兩個不相等的正實數，^b]na-a]nb=a-b,證明：2<工+!<6.ab解析：(2)因為〃no-alnh=a-)，故+=Q(ln〃+1),即生"1=為處1，x1+x2>2.ab設L=X]」=m，由(1)可知不妨設0<為<1,々>1,下面我們證明ab由于-玉In%=x2-x2Inx2x2-x]=/卜9一%x1+x2>2.司+工2>2=x；—x；>2（x2一X]）ox；—2x2Inx2>x；-2玉In玉.構造函數= 2xlnxn/i(x)=2x—2(lnx+l)N0,則上式顯然成立，于是可得:%+%>2,得證！(公眾號：凌晨講數學)注：此題條件透露了一個關鍵的條件：x2-x[=x2]nx2-x[\nx[9所以可以進行代換構造出一個單調函數同構出極值點偏移！但是，從同構單調性視角來解決另一個不等式，我沒有想到，有興趣的讀者可以繼續研究！3例2.已知函數f(x)=\nx-ax,若/(王)=/(工2))不妨設不，求證：為+x2>——e.a3證明：玉+占〉——c二。宙7；)〉(3—玉)，為了消掉參數，即證明：ax2Inx2-XjInxx>3(x2-xJ-eClnx2-Inx,),于是只需函數g(x)=x\nx+elnx-3x在區間(1,+8)上遞增！求導易證!

類型2.利用同構包裝極值點偏移這一類問題就是利用同構將函數或者最后的偏移不等式包裝的復雜，丑陋，乍一看可能無從下手，但是只要注意一些常見的指對同構形式，適當轉化，它就漏出真面目了！典例就是2022年甲卷21題.當然，要玩同構，這些基本的同構形式必須熟悉：工 X①②2=".%③：= ；④x+lnx=ln(xe)；@^-lnx=ln—.x e xe1例3.若方程泥'—a(lnx+x)=0有兩個實根X1,/，且玉w%，證明：/""〉 XxX2證明：因為xe'—a(lnx+x)=0,貝！Jxe'-aln(xe')=。，令/=皮>0,其中x>0,貝!)有"Qln/=O,/=(x+l)ex>0,所以，函數"xe、在(。,+。)上單調遞增，因為方程xe-a(lnx+x)=0有兩個實根玉、演，令4=書』，t2=x2e,則關于，的方程2/-aln，=0也有兩個實根，1$，且)，要證爐+必,即證為9?xe*〉e?,即證他〉建，XxX2即證ln4+ln/2〉2,(這個結論我在前面已經證明過，這里再度證明)由已知%=aint]t2由已知%=aint]t2=。Int2所以,A+右Int,+In"整理可得其二力不妨設乙>，2>0,即證ln4+ln，2=^ln?>2,即證也出=工~~2,4—2(2 t2t^t2 ￡+1t2令5=表>1,即證Ins〉生——,其中s>l,構造函數g(s)=lns-也——,其中s>lh 54-1 s+11 A (s—])gf^)=--—D=+—《>°，所以，函數g(s)在(l，y)上單調遞增，當S>1時,s(54-1)S(S+1)g(s)>g⑴=0,故原不等式成立.(公眾號：凌晨講數學)點評：脫去同構的外衣，它就是一個非常普通的極值點偏移!習題L已知函數/(x)=xe'-〃lnx-Q,其中々>0.(1)略；(2)令函數g(x)=/(x)—ax+〃，若存在七,42使得g(X])=g(X2)，證明:

玉e"+x2eX2>2a.證明：g（x）=/（x）-"+Q=xe“—alnx—=aln（xe'）,令/=xe"則上述函數變形為h^=t-a\nt,對于，（％）=xe=xe（0,+oo）,貝療（x）=（l+x）e'>0,即《x）=xe"在（0,+a）上單調遞增，所以若使得ga）=g（%）,則存在對應的「和,便,2=?、/<）），使得MG=電）,證明^+4>2a.（前兩講已證，此處略去）二.習題演練習題1.（2022全國甲卷）（公眾號：凌晨講數學）已知函數f(%)=-——lnx+x-x（1）若/（x）20恒成立，求。的取值范圍；（公眾號：凌晨講數學）（2）若/（X）有兩個零點七,工2，證明：X1X2<1?解析：解析：(1)/(x)=-——Inx+x-a=—+]nx x解析：(1)解析：(1)/(x)=-——Inx+x-a=—+]nx xae'nI'(x—l)e' 十口-a,令，=一,貝h= -,于是t>e.于是/（%）>0等價于y=/+ln，—a在1 上恒成立，故。￡（一8,e+1].（2）由（1）可得/（x）有兩個零點七,9等價于y=/+ln/—〃在，Ne上有一個零點，即exa>e+\,此時，t=一有兩個解斗,工2，且0<%<1<%2?（凌晨）x一此時，eXx-txi;eX1-