專題01 圓錐曲線與向量結合問題（原卷版）

圓錐曲線與向量結合問題高考定位向量具有代數與幾何形式的雙重身份，平面向量與解析幾何的交匯是新課程高考命中的熱點問題。專題解析它們具體結合體現在夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，目標是將向量語言坐標化、符號化、數量化，從而將推理轉化為運算，或者考慮向量運算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關問題.

基礎類型一、垂直例1-1.已知橢圓C：的離心率為，且其右頂點到右焦點的距離為1.（1）求C的方程；（2）點M、N在C上，且，證明：存在定點P，使得P到直線的距離為定值.練．已知橢圓的兩個焦點分別為，，離心率為，過的直線與橢圓交于，兩點，且的周長為8．（1）求橢圓的方程；（2）若一條直線與橢圓分別交于，兩點，且，試問點到直線的距離是否為定值，證明你的結論．練．已知動點(其中)到定點的距離比點到軸的距離大1.（1）求點的軌跡的方程；（2）過橢圓的右頂點作直線交曲線于?兩點，其中為坐標原點①求證：；②設?分別與橢圓相交于點?，證明：原點到直線的距離為定值.例1-2．（廣東省東莞市光明中學2022屆高三下學期期初T21）．已知橢圓的離心率為，其左?右焦點分別為，，點是坐標平面內一點，且，(O為坐標原點).（1）求橢圓C的方程；（2）過點且斜率為k的動直線l交橢圓于A，B兩點，在y軸上是否存在定點M，使以為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出M的坐標，若不存在，說明理由.練．設分別是平面直角坐標系中軸正方向上的單位向量，若向量，，且，其中.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點作直線與軌跡交于，兩點，設，是否存在直線，使得四邊形是矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.練．在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足，當在圓上運動時，線段上有一點，使得，（1）求的軌跡的方程；（2）若直線與橢圓相交于，兩點，且以為直徑的圓經過原點，求證：點到直線的距離為定值.練。（2022南寧模擬）已知雙曲線的右頂點為，拋物線的焦點為．若在的漸近線上存在點，使得，則的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．基礎類型二、平行共線例2-1（2022?長寧區二模）設、分別為橢圓的左、右焦點，點、在橢圓上，且不是橢圓的頂點．若，且，則實數的值為．練（廣東省2022屆高三下學期六校第三次聯考T16）已知雙曲線的兩焦點分別為，過右焦點的直線與雙曲線交于兩點，若且為等腰三角形，則雙曲線的離心率為______.例2-2．已知點F為拋物線的焦點，過點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，若，則（）A．9 B． C． D．練．如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點為橢圓的上頂點.橢圓以橢圓的長軸為短軸，且與橢圓有相同的離心率.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作斜率分別為的兩條直線，直線與橢圓分別交于點，直線與橢圓分別交于點.（i）當時，求點的縱坐標；（ii）若兩點關于坐標原點對稱，求證：為定值.【答案】（1）；（2）（i）點A的縱坐標：；（ii）證明見解析.【分析】（1）根據橢圓的性質列出方程組，即可得出橢圓的標準方程；（2）（i）設出直線的方程，并分別與的方程聯立求出的橫坐標，由代基礎類型三、夾角例3-1.（2022錦州一模）如圖，橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，為橢圓的頂點，為右焦點，延長與交于點，若為鈍角，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．練.已知點是雙曲線的左焦點，點是該雙曲線的右頂點，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，若是鈍角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．基礎類型四、數量積例4-1．已知橢圓的長軸長為4，上頂點為，左、右焦點分別為，，且，為坐標原點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設點，為橢圓上的兩個動點，，問：點到直線的距離是否為定值？若是，求出的值；若不是．請說明理由．練．已知橢圓與直線有且只有一個交點，點為橢圓上任意一點，，，且的最小值為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線與橢圓交于不同兩點，，點為坐標原點，且，當的面積最大時，判斷是否為定值，若是求出其值并證明，若不是請說明理由.提高類型一、向量幾何化（三角形法則、平四法則、模距離、零數量積垂直、數乘平行）例1-1．設分別是平面直角坐標系中軸正方向上的單位向量，若向量，，且，其中.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點作直線與軌跡交于，兩點，設，是否存在直線，使得四邊形是矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.例1-2．已知點在橢圓：（）上，左頂點為，點，分別為橢圓的左、右焦點，的最大值和最小值分別為4和．直線點，且與平行，過，兩點作的垂線，垂足分別為，，當矩形的面積為時，則直線的斜率是______．練.(廣東省2022屆高三下學期4月聯考數學試題T12)已知雙曲線的右頂點、右焦點分別為、，過點的直線與的一條漸近線交于點，直線與的一個交點為，，且，則下列結論正確的是（）A．直線與軸垂直 B．的離心率為C．的漸近線方程為 D．（其中為坐標原點）練.（廣東省汕頭市金山中學2022屆高三下學期學科素養測試T21）．已知為坐標原點，動點滿足：（1）求動點的軌跡的方程；（2）直線過點且與軌跡交于點，若是等腰三角形，求直線的方程.練.(廣東省2022屆高三下學期六校第三次聯考T22)．已知，，橢圓經過點且焦距為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點的直線與橢圓交于兩點，求的最小值；（3）如圖是橢圓旋轉一定角度的圖形，請寫出一種尺規作圖方案以確定其對稱中心的位置，并在答卷的圖中畫出來，（不必說明理由）.練.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點為，若，則雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．練．已知橢圓：（）上的點到的兩焦點的距離之和為6，的離心率為．（1）求的標準方程；（2）設坐標原點為，點在上，點滿足，且直線，的斜率之積為，證明：為定值．提高類型二、向量坐標化例2-1.已知橢圓C：，，且橢圓C右焦點為，O為坐標原點.（1）求橢圓C的方程；（2）過的直線l交橢圓C于A，B兩點，若，求直線l的方程.練．如圖，過拋物線的焦點F任作直線l，與拋物線交于A，B兩點，AB與x軸不垂直，且點A位于x軸上方.AB的垂直平分線與x軸交于D點.（1）若求AB所在的直線方程；（2）求證：為定值.練．已知橢圓的左頂點為A，右焦點為F，過點A作斜率為的直線與C相交于A，B，且，O坐標原點.（1）求橢圓的離心率e；（2）若，過點F作與直線平行的直線l，l與橢圓C相交于P，Q兩點.（ⅰ）求的值；（ⅱ）點M滿足，直線與橢圓的另一個交點為N，求的值.練．已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，直線y＝kx交橢圓于P，Q兩點，M是橢圓上不同于P，Q的任意一點，直線MP和直線MQ的斜率分別為k1，k2．（1）證明：k1·k2為定值；（2）過F2的直線l與橢圓交于A，B兩點，且，求|AB|．例2-2．已知橢圓C：()的離心率為，短軸一個端點到右焦點F的距離為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點F的直線l交橢圓于A?B兩點，交y軸于P點，設，，試判斷是否為定值？請說明理由.練．已知橢圓的離心率為，且橢圓C經過點．（Ⅰ）求橢圓C的方程;（Ⅱ）已知過點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，與直線交于點Q，設，，求證：為定值．練．已知直線與圓相切，動點到與兩點的距離之和等于、兩點到直線的距離之和．（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點的直線交軌跡于不同兩點、，交軸于點，已知，，試問是否等于定值，并說明理由．練．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）過橢圓C的右焦點作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若為定值．練．已知拋物線：的焦點為，為坐標原點．過點的直線與拋物線交于，兩點．（1）若直線與圓：相切，求直線的方程；（2）若直線與軸的交點為．且，，試探究：是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由．練．已知點在拋物線上，過點的直線與拋物線C有兩個不同的交點A、B，且直線PA交軸于M，直線PB交軸于N.（1）求拋物線C的方程；（2）求直線的斜率的取值范圍；（3）設O為原點，，求證：為定值.練．已知橢圓的長軸長與短軸長之比為2，過點且斜率為1的直線與橢圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于，兩點，與直線交于點，若，．證明：為定值．練．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點，直線的傾斜角為60°，原點到直線的距離是．（1）求的方程；（2）過上任一點作直線，分別交于，（異于的兩點），且，，探究是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．提高類型三、探索“向量關系”例3-1．已知橢圓C：的離心率為，且是C上一點．（1）求橢圓C的方程；（2）過右焦點作直線l交橢圓C于A，B兩點，在x軸上是否存在點M，使為定值？若存在，求出點M的坐標及該定值；若不存在，試說明理由．練．已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸，長軸長為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）經過橢圓的左焦點作直線，且直線交橢圓于，兩點，問軸上是否存在一點，使得為常數，若存在，求出坐標及該常數，若不存在，說明理由．練．已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點連線構成等邊三角形，且橢圓C的短軸長為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）是否存在過點的直線l與橢圓C相交于不同的兩點M，N，且滿足（O為坐標原點）若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.練．已知橢圓的離心率為，兩焦點，與橢圓上的頂點構成邊長為2的等邊.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與相交于，兩點，在軸上是否存在點，使得為定值？如果有，求出點的坐標及定值；如果沒有，請說明理由.練．橢圓的上下焦點分別為，，離心率為，為橢圓上的一個動點，的面積最大值為．（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作直線與橢圓相交于，兩點，是否存在軸上的點，使得為定值？若存在，求出；若不存在，說明理由．練．已知橢圓過，兩點，直線交橢圓于，兩點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線過點，是否存在常數，使得為定值，若存在，求的值及定值；若不存在，請說明理由.練．已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的長半軸長為2，且經過點；過點的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A，B．（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在直線l，滿足，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．練．已知橢圓：（）的離心率為，長軸端點和短軸端點的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓上異于橢圓端點的任意一點，過點且平行于的直線與橢圓相交于，兩點（點為坐標原點），是否存在實數，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．練．已知橢圓的右焦點F2是拋物線的焦點，過點垂直于軸的直線被橢圓所截得的線段長度為3．（1）求橢圓的方程；（2）設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點．請問：在x軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．練．已知橢圓的一個焦點與上、下頂點構成直角三角形，以橢圓的短軸為直徑的圓與直線相切．（1）求橢圓的標準方程；（2）設過橢圓右焦點且不重合于軸的動直線與橢圓相交于、兩點，探究在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．練．已知動點P到點的距離與到直線的距離之比為.（1）求動點的軌跡的標準方程；（2）過點的直線l交于M，N兩點，已知點，直線BM，BN分別交x軸于點E，F.試問在軸上是否存在一點G，使得？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由.練．已知橢圓C：，過點的直線l交橢圓C于點A，B.（1）當直線l與x軸垂直時，求；（2）在x軸上是否存在定點P，使為定值？若存在，求點P的坐標及的值；若不存在，說明理由.練．已知雙曲線的離心率為，點在上．（1）求雙曲線的方程；（2）設過點的直線l與曲線交于M，N兩點，問在x軸上是否存在定點Q，使得為常數？若存在，求出Q點坐標及此常數的值，若不存在，說明理由．練．已知橢圓的離心率，過右焦點的直線與橢圓交于，兩點，在第一象限，且．（1）求橢圓的方程；（2）在軸上是否存在點，滿足對于過點的任一直線與橢圓的兩個交點，，都有為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．練．已知雙曲線，直線交雙曲線于兩點.（1）求雙曲線的頂點到其漸近線的距離；（2）若過原點，為雙曲線上異于的一點，且直線的斜率均存在，求證：為定值；（3）若過雙曲線的右焦點，是否存在軸上的點，使得直線繞點無論怎樣轉動，都有成立？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由.例3-2．橢圓與拋物線有一個公共焦點且經過點.（1）求橢圓的方程及其離心率；（2）直線與橢圓相交于，兩點，為原點，是否存在點滿足，，若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由練．已知曲線C上的動點M到y軸的距離比到點的距