專題04 二次函數(shù)的最值問題專訓(xùn)（9大題型）（原卷版）

專題04二次函數(shù)的最值問題專訓(xùn)（9大題型）【題型目錄】題型一二次函數(shù)中線段的最值題型二二次函數(shù)中線段和的最值題型三二次函數(shù)中周長的最值題型四二次函數(shù)中面積最值題型五已知自變量的取值范圍求最值題型六根據(jù)二次函數(shù)的含參情況求最值題型七已知二次函數(shù)的最值求解析式題型八二次函數(shù)中AB+kCD型最值問題題型九二次函數(shù)實(shí)際問題中的最大利潤問題【經(jīng)典例題一二次函數(shù)中線段的最值】1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，矩形中，已知，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為直角邊在與點(diǎn)的同側(cè)作等腰直角，連接，當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動時(shí)，線段長度的最小值是()A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為2，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(不與點(diǎn)重合)，以線段為邊在的下方作正方形，取的中點(diǎn)，連接，則的最小值為．

3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1，拋物線經(jīng)過三點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)P，使的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)M是線段上的點(diǎn)（不與A、C重合），過M作軸交拋物線于N，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請用m的代數(shù)式表示的長，并求出的最大值．4．（2023秋·福建福州·九年級福建省福州楊橋中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)（為常數(shù)）．(1)試判斷該函數(shù)的圖象與軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)求證：不論為何值，該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上；(3)若直線與二次函數(shù)圖象交于、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求線段的取值范圍．【經(jīng)典例題二二次函數(shù)中線段和的最值】1．（2023·山西太原·山西大附中校考模擬預(yù)測）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)，與軸的一個(gè)交點(diǎn)在和之間，頂點(diǎn)為，下列說法：其中正確判斷的序號是（

）①拋物線與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；②若點(diǎn)，，在該函數(shù)圖象上，則；③將該拋物線先向左，再向下均平移個(gè)單位，所得拋物線解析式為；④在軸上找一點(diǎn)，使的和最小，則最小值為．A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④2．（2021秋·廣西南寧·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知拋物線+P+q的對稱軸為直線=－2，過其頂點(diǎn)的一條直線與該拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為（－1，－1）．若在軸上存在一點(diǎn)P，使得PM+PN最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.3．（2023秋·安徽合肥·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是，拋物線的對稱軸是直線．

(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)在對稱軸上找一點(diǎn)P，使的值最小．求點(diǎn)P的坐標(biāo)和的最小值．4．（2023秋·云南·九年級云南師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對稱軸是直線．

(1)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在對稱軸上找一點(diǎn)，使的值最小，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【經(jīng)典例題三二次函數(shù)中周長的最值】1．（2022·山東淄博·山東省淄博第六中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)、點(diǎn)B與y軸相交于點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②B點(diǎn)坐標(biāo)為；③拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；④直線與拋物線交于點(diǎn)D、E，若，則h的取值范圍是；⑤在拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)Q，使的周長最小，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為．其中正確的有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)2．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，對稱軸是直線，點(diǎn)是拋物線對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．3．（2022秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級校考期中）如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)B，對稱軸是直線﹒

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使的周長最小?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由；4．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)，如圖①

(1)求拋物線解析式(2)直線的函數(shù)解析式為________________．點(diǎn)的坐標(biāo)為________．(3)在軸上找一點(diǎn)，使得的周長最小，具體作法如圖②，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接，，此時(shí)的周長最小，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(4)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【經(jīng)典例題四二次函數(shù)中面積最值】1．（2022秋·河北邯鄲·九年級校考期中）如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上位于軸上方的一點(diǎn)，連接、，分別以、為邊向外部作正方形、，連接、．點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)的過程中，與的面積之和（

）

A．先增大后減小，最大面積為8 B．先減小后增大，最小面積為6C．始終不變，面積為6 D．始終不變，面積為82．（2021秋·河南平頂山·九年級校考階段練習(xí)）如圖1，已知等邊△ABC中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，CA上的點(diǎn)，且AE＝BF＝CG，設(shè)△EFG的面積為y，AE的長為x，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則△EFG的最小面積為．3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，矩形中，，，點(diǎn)從開始沿邊向點(diǎn)以1厘米/秒的速度移動，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以2厘米/秒的速度移動，如果分別是從同時(shí)出發(fā)，求經(jīng)過幾秒時(shí)，

(1)的面積等于8平方厘米？(2)五邊形的面積最小？最小值是多少？4．（2023秋·廣西南寧·九年級南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且，點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，求的最大面積；(3)當(dāng)點(diǎn)在第一象限，且時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【經(jīng)典例題五已知自變量的取值范圍求最值】1、（2023秋?開福區(qū)校級期中）二次函數(shù)y＝x2﹣2x+m．當(dāng)﹣3≤x≤3時(shí)，則y的最大值為15+m（用含m的式子表示）．2、（2023秋?河西區(qū)期末）當(dāng)x≥2時(shí)，二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3有（）A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最大值﹣4 D．最小值﹣43、（2023秋?上城區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝x2，當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，求函數(shù)y的最小值和最大值．小王的解答過程如下：解：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4；所以函數(shù)y的最小值為1，最大值為4．小王的解答過程正確嗎？如果不正確，寫出正確的解答過程．4、（2023?安徽模擬）已知二次函數(shù)y＝x2+bx﹣c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，0），且對稱軸為直線x＝1．（1）求b+c的值．（2）當(dāng)﹣4≤x≤3時(shí)，求y的最大值．（3）平移拋物線y＝x2+bx﹣c，使其頂點(diǎn)始終在二次函數(shù)y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值．【經(jīng)典例題六根據(jù)二次函數(shù)的含參情況求最值】1（2023?鹿城區(qū)校級二模）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣4mx（m為不等于0的常數(shù)），當(dāng)﹣2≤x≤3時(shí)，函數(shù)y的最小值為﹣2，則m的值為（）A．±16 B．-16或12 C．-16或22、（2023秋?龍口市期末）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+2x+2a+3，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y的最大值為10，則a的值為2．3、（2023?灌南縣二模）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c，當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，y有最小值7，最大值11，則a+c的值為（）A．3 B．9 C．293 D．4、（2023?青山區(qū)二模）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的最小值為﹣3，當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)的最小值為﹣2，則b的值為（）A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3【經(jīng)典例題七已知二次函數(shù)的最值求解析式】1（2023?寧陽縣一模）當(dāng)0≤x≤m時(shí)，函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣3的最小值為﹣3，最大值為1，則m的取值范圍是（）A．0≤m≤2 B．0≤m＜4 C．2≤m≤4 D．m≥22、（2023?龍港市模擬）已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣4x+5，當(dāng)m≤x≤m+3時(shí)，求y的最小值（用含m的代數(shù)式表示）．3、（2023?廬陽區(qū)一模）設(shè)拋物線y＝ax2+bx﹣3a，其中a、b為實(shí)數(shù)，a＜0，且經(jīng)過（3，0）．（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；（2）若a＝﹣2，當(dāng)t﹣2≤x≤t時(shí)，函數(shù)的最大值是6，求t的值；（3）點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，4），將點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位長度，得到點(diǎn)B．若拋物線與線段AB有兩個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍．4、（2023?文成縣一模）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），且經(jīng)過點(diǎn)（2，c）．（1）求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)．（2）當(dāng)t≤x≤2﹣t時(shí)，函數(shù)的最大值為M，最小值為N，若M﹣N＝3，求t的值．【經(jīng)典例題八二次函數(shù)中AB+kCD型最值問題】1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為A點(diǎn)，且與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，P點(diǎn)為該拋物線對稱軸上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．3．（2023春·四川內(nèi)江·九年級校考階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與軸相交于點(diǎn)，與軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，且，

(1)求拋物線解析式．(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，請求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．(3)拋物線的對稱軸交軸于點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)，使的值最小，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．4．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對稱軸是直線．

(1)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在對稱軸上找一點(diǎn)，使的值最小．求點(diǎn)的坐標(biāo)和的最小值；(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)．依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【經(jīng)典例題九二次函數(shù)實(shí)際問題中的最大利潤問題】1．（2020秋·福建龍巖·九年級校考階段練習(xí)）今年我國發(fā)生了較為嚴(yán)重的新冠肺炎疫情，口罩供不應(yīng)求，某商店恰好年前新進(jìn)了一批口罩，若按每個(gè)盈利元銷售，每天可售出個(gè)，如果每個(gè)口罩的售價(jià)上漲元，則銷售量就減少件；(1)問每件應(yīng)漲價(jià)多少元時(shí)，才能讓顧客得到實(shí)惠的同時(shí)每天利潤為元？(2)每件漲價(jià)多少元時(shí)，商店每日的銷售利潤最大？最大利潤是多少？2．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）某工廠生產(chǎn)種產(chǎn)品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每月的銷售量y（件）與售價(jià)x（萬元/件）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系．部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：每件售價(jià)x/萬元…2426283032…月銷售量y/件…5248444036…(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不寫自變量的取值范圍）．(2)該產(chǎn)品今年三月份的售價(jià)為35萬元/件，利潤為450萬元．①求：三月份每件產(chǎn)品的成本是多少萬元？②四月份工廠為了降低成本，提高產(chǎn)品質(zhì)量，投資了450萬元改進(jìn)設(shè)備和革新技術(shù)，使每件產(chǎn)品的成本比三月份下降了14萬元．若四月份每件產(chǎn)品的售價(jià)至少為25萬元，且不高于30萬元，求這個(gè)月獲得的利潤（萬元）關(guān)于售價(jià)x（萬元/件）的函數(shù)關(guān)系式，并求最少利潤是多少萬元？3．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）某工廠計(jì)劃從現(xiàn)在開始，在每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷售完某型號設(shè)備，該設(shè)備的生產(chǎn)成本為萬元/件．設(shè)第個(gè)生產(chǎn)周期設(shè)備的售價(jià)為萬元/件，售價(jià)與之間的函數(shù)解析式是，其中是正整數(shù)．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．(1)求，的值；(2)設(shè)第個(gè)生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷售完設(shè)備的數(shù)量為件，且y與x滿足關(guān)系式．當(dāng)時(shí)，工廠第幾個(gè)生產(chǎn)周期獲得的利潤最大?最大的利潤是多少萬元?當(dāng)時(shí)，若有且只有個(gè)生產(chǎn)周期的利潤不小于萬元，求實(shí)數(shù)的取值范圍．4．（2022秋·遼寧鞍山·九年級校考階段練習(xí)）小明投資銷售一種進(jìn)價(jià)為每件15元的護(hù)眼臺燈．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：，在銷售過程中銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，而每件的利潤不高于成本價(jià)的60%．(1)設(shè)小明每月獲得利潤為w（元），求每月獲得利潤w（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍．(2)當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？(3)如果小明想要每月獲得的利潤不低于1500元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=進(jìn)價(jià)×銷售量）【培優(yōu)訓(xùn)練】1．（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),，在范圍內(nèi)有最大值為4，最小值為，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）已知二次函數(shù)，關(guān)于該函數(shù)在的取值范圍內(nèi)，下列說法項(xiàng)正確的是（

）A．若，函數(shù)有最大值5 B．若，函數(shù)有最小值5C．若，函數(shù)有最小值1 D．若，函數(shù)無最大值3．（2023·福建三明·校聯(lián)考二模）已知二次函數(shù)（是常數(shù)，且）的最大值為，且該二次函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)，兩點(diǎn)，則的值可能是(

)A． B． C．0 D．14．（2023·山西·模擬預(yù)測）已知的對稱軸為直線，與軸的其中一個(gè)交點(diǎn)為，該函數(shù)在的取值范圍，下列說法正確的是（

）A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值，有最大值3C．有最小值，有最大值4 D．有最小值，有最大值45．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，C是線段AB上一動點(diǎn)，△ACD，△CBE都是等邊三角形，M，N分別是CD，BE的中點(diǎn)，若AB＝4，則線段MN的最小值為（）A． B． C．2 D．6．（2023·廣東陽江·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)在時(shí)，y取得的最大值為15，則a的值為．7．（2023·吉林長春·長春市解放大路學(xué)校校考三模）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，則m的值是．8．（2023·湖北襄陽·校考一模）已知拋物線在區(qū)間上的最小值是，則m的值為．9．（2023春·江西宜春·九年級江西省宜豐中學(xué)校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，當(dāng)，y有最大值為，則a的值為．10．（2023·湖北黃石·黃石十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測）夏季即將到來，為滿足大眾需要，雪糕店推出了新款盒裝雪糕（分A、B兩種，不可拆開售賣）共50盒，兩款雪糕的成本均為15元/盒，假設(shè)購進(jìn)的所有雪糕均全部售出，且兩款雪糕的銷量均為正整數(shù)．設(shè)A雪糕銷售單價(jià)為x元（，x為整數(shù)），所獲總利潤為y（單位：元），已知當(dāng)銷售單價(jià)時(shí)，A雪糕的銷量為40盒，在此基礎(chǔ)之上，x每增加1元，銷量就會減少2盒．B雪糕的銷售單價(jià)恒為30元，設(shè)賣出B雪糕所獲總利潤s（單位：元）(1)用含x的代數(shù)式表示下列各量：①賣出A雪糕所獲利潤___________；②賣出B雪糕所獲利潤___________．(2)在此次銷售中，雪糕店所獲總利潤為w（單位：元），則當(dāng)x為多少時(shí)