陜西省西安市2023-2024學(xué)年高三年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)（理）模擬試題（四模）含答案

陜西省西安市2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)（理）模擬試題

（四模）

、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合"=田*(1)>°},"=料3，<9},則()

A.A=BB.=0c.AC\B=BD.A\JB=B

i7+tz

z=------

2.已知i是虛數(shù)單位，若2+i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)()

A.-2B.2C.2D.2

3.已知屋B=-24,〃+2g=(-5,2),若Z與辦模相等，則什=(

).

A.3B.4C.5D.6

4.以下四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)，其函數(shù)圖象最適合如圖的是（）

2兀

5.己知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球O面上，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為3,面積為3兀,

則球O的表面積等于（）

81TT827t1217T1217T

A.8B.8C.8D.F

6.下列說(shuō)法不正確的是（）

A.若直線a不平行于平面a,aua,則。內(nèi)不存在與a平行的直線

B.若一個(gè)平面夕內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個(gè)平面,，則夕〃夕

C.設(shè)1,m,n為直線，m,n在平面a內(nèi)，則“/工戊”是加且的充分條件

D.若平面a，平面％,平面平面注，則平面&與平面,所成的二面角和平面必與平面

用所成的二面角相等或互補(bǔ)

________tan，7.5°+1_________

7.化簡(jiǎn)tar?7.5°-7sin?7.5°+cos?7.5°（）

V3273

A.3B.3C.石D.2

8.己知一個(gè)古典概型的樣本空間。和事件A,8如圖所示.其中

“（0）=12/⑷=6,"（B）=4,〃（/uB）=8,則事件人與事件5（）

A.是互斥事件，不是獨(dú)立事件

B.不是互斥事件，是獨(dú)立事件

C.既是互斥事件，也是獨(dú)立事件

D.既不是互斥事件，也不是獨(dú)立事件

9.數(shù)學(xué)對(duì)于一個(gè)國(guó)家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達(dá)國(guó)家常常把保持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略需

求.現(xiàn)某大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開(kāi)設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”，“世界數(shù)學(xué)通史”，“幾何

原本”，“什么是數(shù)學(xué)”四門(mén)選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選3門(mén)，大一到大三三學(xué)

年必須將四門(mén)選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式有（）

A.60種B.78種C.84種口.144種

f（x）=2sin（a）x+o>0,1^1<—

10.函數(shù).I2J的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓c與

/（X）的圖象交于M,N兩點(diǎn)，且M在y軸上，則（）

277

B.圓的半徑為3

c.函數(shù)J“（町、的圖象關(guān)于點(diǎn)IPM61成中心對(duì)稱

2021兀2023兀

D.函數(shù)/（X）在112'12」上單調(diào)遞減

11.已知點(diǎn)M,N是拋物線-產(chǎn)=28（p>0）和動(dòng)圓c：（X-1）2+&-3）2=/G>0）的兩

個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)F是「的焦點(diǎn)，當(dāng)MN是圓C的直徑時(shí)，直線MN的斜率為2,則當(dāng)廠變化時(shí),

小叫的最小值為（）

A.3B.4C.5D.6

rt/、2/（―）_Inxf（

12.定義在（°，+"）上的可導(dǎo)函數(shù)/a）,滿足⑴％一/,且'”五，若

駕斗。=/"）

I1,則0也C的大小關(guān)系是（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>b>a

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知N（l，2）,3（3,4）,C（-2,2）,D（-3,5）,則刀在函上的投影為.

14.數(shù)列MJ的前n項(xiàng)積為“2,那么當(dāng)心2時(shí)，。”=.

22

丁-巳=l（a,b>0）

15.已知雙曲線。-b-左右焦點(diǎn)分別為耳心，過(guò)點(diǎn)九作與一條漸近線垂直的直

線1,且1與雙曲線的左右兩支分別交于M,N兩點(diǎn)，若則該雙曲線的漸近線

方程為

16.在銳角03c中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c,且

2csin(8-4)=2asin2cos8+6sin2/,則力的取值范圍是.

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

17.記"是公差為整數(shù)的等差數(shù)列｛0」的前n項(xiàng)和，4=1,且％T,%-2,%-3成等比

數(shù)列.

⑴求“”和斗；

(2)若2=1,求數(shù)列也｝的前20項(xiàng)和丁20.

18.今天，中國(guó)航天仍然邁著大步向浩瀚字宙不斷探索，取得了舉世矚目的非凡成就.某學(xué)校

為了解學(xué)生對(duì)航天知識(shí)的知曉情況，在全校學(xué)生中開(kāi)展了航天知識(shí)測(cè)試(滿分100分)，隨機(jī)

抽取了100名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，按照回7°),[70,80),[80,90),[90,100]分組，得到如圖所

示的樣本頻率分布直方圖：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校學(xué)生測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)；

(2)從測(cè)試成績(jī)?cè)赱9°40°]的同學(xué)中再次選拔進(jìn)入復(fù)賽的選手，一共有6道題，從中隨機(jī)挑選

出4道題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)3道題者才可以進(jìn)入復(fù)賽.現(xiàn)有甲、乙兩人參加選拔，在這6道

題中甲能答對(duì)4道，乙能答對(duì)3道，且甲、乙兩人各題是否答對(duì)相互獨(dú)立，記甲、乙兩人中

進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)為3求」分布列及期望.

19.如圖，三棱柱/'C-44G中，/8=g=耳/=2(=型=后，。是"的中點(diǎn)，

ABi1BD

⑴證明：8。，平面/30；

⑵求點(diǎn)與到平面ACC'A'的距離;

(3)求平面43c與平面4BC的夾角的余弦值.

f(x}=a\nx+—x2-2xg(x)=cosx+xsinx

20.已知''2(QER且。。0),

⑴求g(x)在［-肛句上的最小值;

1

r_ix?e-,e

(2)如果對(duì)任意的再61一匹叼，存在‘Le」,使得成立，求實(shí)數(shù)a的取

值范圍.

22

Xy

h滓一1過(guò)兩點(diǎn)(Z0),("T),橢圓的上頂點(diǎn)為P,圓

21.己知橢圓E：

")在橢圓E內(nèi).

(2)過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B,切線PA與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為N,切線PB

與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為M.直線AB與y軸交于點(diǎn)S,直線MN與y軸交于點(diǎn)T.求

的最大值，并計(jì)算出此時(shí)圓C的半徑r.

選考題部分

請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做

的第一個(gè)題目計(jì)分.

Jx=2+2cosa

22.平面直角坐標(biāo)系x，中，圓C的參數(shù)方程為[y=2sina

(。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)

pcosf0+—\=土"

。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為I4J4

(1)求圓C的極坐標(biāo)方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

J_____L

(2)已知點(diǎn)收'A且直線/與圓C交于A、B兩點(diǎn)，求2的值.

23.不等式選講已知a，m。均為正實(shí)數(shù)，函數(shù)/卜)=卜一44+忖+96|+。的最小值為九

⑴求證：ab+be+ca>9abc,

(2)求證：+3y/bc+2y[ca<4

1.D

【分析】解指數(shù)，對(duì)數(shù)不等式，求出集合48后，結(jié)合集合的運(yùn)算即可求出結(jié)果。

【詳解】不等式即可叱3（1）>叱31,

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，解得l<x<2,

所以“={x[l<x<2},B={x\x<2}^顯然集合A是8的真子集，

所以/口5=8,即D正確。

故選：D

2.D

2a—12+〃.

z------------1

【分析】根據(jù)虛數(shù)性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得55,再根據(jù)z是純虛數(shù)列式求

解.

1-7+〃-i+Q（―i+〃）（2—i）_2Q-12+〃.

Z=-----T---------1

【詳解】2+i2+i（2+i）（2-i）-----55

2"1

二0

5

7+Q2+a1

z。0a=——

又因?yàn)閃TT是純虛數(shù)，所以5,所以2

故選：D.

3.C

【分析】利用坐標(biāo)求出。+26的模長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)已知條件可以得到一個(gè)關(guān)于H的方程，問(wèn)題

即可得到解決.

【詳解】因?yàn)椤?23=（-5,2）,所以k+2可=回，

+2M2=|才+4好+47辦=29RD「.一兀04口同=同

故II門(mén)□,而又已知。山=-24,且IIII,

23

CCI,|a|+4|a|-96=29_z?|a|=5

所以????,解得??.

故選：C

4.C

【分析】利用排除法，結(jié)合函數(shù)值的符號(hào)和定義域逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】根據(jù)題意，用排除法分析：

x

ell

對(duì)于選項(xiàng)A：一元，當(dāng)無(wú)<。時(shí)，有/卜）<°,不符合題意；

對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)x<°時(shí),不符合題意;

2x2

y------

對(duì)于選項(xiàng)D：.的定義域?yàn)镽,不符合題意；

故選：C.

5.A

【分析】求得圓錐的底面半徑和高，利用勾股定理求得球的半徑，從而求得球的表面積.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為人母線長(zhǎng)為"高為人=也一,

2兀尸2兀

=T

—?271y?/=3兀，r-

依題意,解得，=3“=1,所以〃=2啦.

2+（為一尺）2"

設(shè)球的半徑為尺，則

8171

4nR~=4兀-

所以球的表面積為.

故選：A

6.D

【分析】對(duì)于選項(xiàng)ABC,可根據(jù)線面平行的判定定理，面面平行的判定定理和線面垂直的判

定定理進(jìn)行判定；對(duì)于選項(xiàng)D,可在長(zhǎng)方體中尋找特殊平面進(jìn)行排除.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若存在直線，則由直線和平面平行的判定定理知直線。與平面。平行,

與條件相矛盾，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：由面面平行的判定定理可知B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：由線面垂直的性質(zhì)定理知：由/'a,可得加且故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：例如在正方體ABCD_44G4中，

平面%為平面/BCD,平面4為平面/平面a為平面CCQQ,平面尸為平面

AAxDfi

AG

此時(shí)平面a與平面B所成的二面角為90°,平面?i與平面才所成的二面角為,故D錯(cuò)誤.

故選：D.

7.B

【分析】利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系化切為弦，然后利用平方關(guān)系和正弦的二倍角公式化

簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)即可得解.

_ta/7.50+1_________$山27.5。+滿7.5。_________

[詳解]原式tan，7.5°-8sin'7.5°+1sin27.5°-8sin27.5°cos27.5°+cos27.5°

_]_]_2>/3

-l-2sin2150-cos30°.

故選：B.

本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，特殊角三角函數(shù)值，二倍角的正弦公式，利用商數(shù)關(guān)系切化

弦是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

8.B

由"刖8）=4可判斷事件是否為互斥事件，由?每*⑷尸0）可判斷事件是否為獨(dú)立事

件.

【詳解】因?yàn)椤埃?=12,〃（/）=6/（3）=4/（4U8）=8,

所以“（/。8）=2,〃。血）=4,咿）=8,

所以事件A與事件?不是互斥事件，

P（AB}=-=-P（T1）P（5）=—X—=-

所以1J123,VJV*78912123,

所以P（/8）=P（/）尸0）,所以事件A與事件否是獨(dú)立事件

故選：B.

9.B

【分析】先分類，再每一類中用分步乘法原理即可.

【詳解】由題意可知三年修完四門(mén)課程，則每位同學(xué)每年所修課程數(shù)為11，2或0」,3或

°，2,2若是1」，2,則先將4門(mén)學(xué)科分成三組共4種不同方式.再分配到三個(gè)學(xué)年共有

3里產(chǎn)『36

用種不同分配方式，由乘法原理可得共有省3種，若是°」，3,則先將4門(mén)學(xué)科

分成三組共種不同方式，再分配到三個(gè)學(xué)年共有司種不同分配方式，由乘法原理可得

「3年

共有C：C；?㈤=24種，若是0,2,2,則先將門(mén)學(xué)科分成三組共4種不同方式，再分配到三

C2C2

個(gè)學(xué)年共有力;種不同分配方式，由乘法原理可得共有二甲4二18

種

所以每位同學(xué)的不同選修方式有36+24+18=78種,

故選：B.

10.D

71

(D———

【分析】根據(jù)已知圖象得出『=兀，。=2.然后結(jié)合，，五點(diǎn)法，，得出3,

/(x)=2sinf2x+y

.進(jìn)而即可代入檢驗(yàn)A、C、D項(xiàng)；結(jié)合圖象，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可

得出半徑.

=71

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由圖象結(jié)合對(duì)稱性易得6

2兀、

所以“二，/(x)=2sin(2x+0)

2x+(p=2左兀,keZ

又由圖象結(jié)合“五點(diǎn)法”可得，

兀

0=一+2標(biāo),左EZ

解得，3

1^1<-(p=-/(x)=2sin(2x+1]

又陽(yáng)2,所以“3.(3人

3兀8K_715兀

-----<X<—兀---<2xH——<------

因?yàn)?，所以333.

根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)/(X)在I2'^上不是單調(diào)遞增，故A項(xiàng)錯(cuò)誤;

/（O）=2sin-=V3

對(duì)于B項(xiàng)，由A可知，3

式T71

cX「=--1-=—

C點(diǎn)橫坐標(biāo)為c623,

lMCl=+（o-6）=舊+3

所以，）V9，故B項(xiàng)錯(cuò)誤;

c（5兀、兀4兀

2x-----+—=--------

對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)椋?）33,

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)/（“）的圖象不關(guān)于點(diǎn)16'J成中心對(duì)稱，故c錯(cuò)誤;

2021K/202371

-----<%<------

對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?212

7兀2023K2025K3兀”，

-----F336兀=口+箸------F3367c

所以6662

7兀3兀

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，^=sinx^L6’2」上單調(diào)遞減,

2021兀2023兀

結(jié)合函數(shù)的周期性，可知函數(shù)/（X）在112'12」上單調(diào)遞減，故D正確.

故選：D.

11.B

_2p-4

【分析】直線九火的方程為了=2x+l,聯(lián)立直線與拋物線的方程得到結(jié)合

C是MN的中點(diǎn)，可得。=6,由拋物線的定義可將'+|加刊轉(zhuǎn)化為MC+M尸當(dāng)C,尸,M三

點(diǎn)在一條直線時(shí)，可求得'+1屈打的最小值.

【詳解】圓c：（x-iy+d）」G>o）的圓心C（l,3）,

當(dāng)MN是圓C的直徑時(shí)，直線MN的斜率為2,

設(shè)直線"N的方程為k3=2（1）,化簡(jiǎn)為：y=2x+l,

fy=2x+l

[y2=2px消去y可得：4、2+（4-2p）x+l=0,

_2￡-4

設(shè)必）,N（x2,y2）所以為4,

西+..]=2.-4-

因?yàn)镃是MN的中點(diǎn)，所以24解得：P=6,

故尸(3,0),/j=-3,由拋物線的定義可知，過(guò)點(diǎn)河作法〃/交/于點(diǎn)”,

過(guò)點(diǎn)0作0尸，/交,于點(diǎn)尸，

所以,所以r+1陸|=|MC|+\MF\>\CP\=4

當(dāng)C,P,M三點(diǎn)在一條直線時(shí)取等.

故選：B.

12.C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件求導(dǎo)可得/(X)在(°'+")上為減函數(shù)，由其單調(diào)性即可判斷

“也C的大小關(guān)系.

【詳解】由已知可得：'()，(),g()/(),

則g'(x)=x2/")+2#(x)=lnx,且

/(X)=幽,廣(x)=xg'(x)-2g(x)=xlru-2g(x)

再入〃(x)=x[nx-2g(x)則〃(x)=1+Inx-2g'(x)=1-Inx

...當(dāng)xe(0,e)時(shí)，"(x)>0,〃(x)為增函數(shù)；

當(dāng)X?e，+8)時(shí)，"(x)<0，g)為減函數(shù);

.,.//(%)</z(e)=e-2g(e)=e-2e2/(e)=0

；?/'(x)W°在(°，+8)上恒成立；；J(x)在(°，+°°)上為減函數(shù);

1IneV21n2In后〔rrIn2

-=—,-----=—7=-,lnV2=——

又因?yàn)閑e4V22

zInx“_1-lux

故令"xX，(PXX2,當(dāng)尤c(°，e)時(shí)，9'(x)>°，o(x)為增函數(shù);

」>ln必包

e4:.a<c<b

故選：C

2V102師

13.5##5

【分析】先求而，CD,再求卜回，I"I,ABCD,利用向量夾角余弦公式求夾角，再由投

影向量的模長(zhǎng)公式求解.

【詳解】因?yàn)?（1，2），8（3,4）（（-2,2）,。（_3,5）,

所以荏=（2,2）,5=（T3）,

所以眼|=,2、+2'=2正,|C￡>|=VI+9=Vio2e-CD=-2+6=4,

cAB-CD4V5

CQr_j________—_____

設(shè)向量9與區(qū)的夾角為。，\'AB\CD\2V2-V105,

_一|祠cos6=20x蟲(chóng)

那么在8上的投影為??55

2而

|故答案為.5

n2

14.（〃T>

【分析】設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)積為北，利用"北-1求出答案.

Tn2

a=———n=----------

【詳解】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)積為［，則4=/，當(dāng)"22時(shí)，"射5-1）［

n2

故（"IP

15.y=±（V3+l）x

b

【分析】根據(jù)雙曲線的定義可求用閭結(jié)合余弦定理可求。的值.

因?yàn)殛?yáng)MTgN|=2a,故閨M=2a,所以因叫=4。

而片故至=6,故儂56]

AzyA/TI716a2-4。2+4。2—2x2cx2ax■—

在△片“％中，由余弦定理可得。

222=1+6

整理得到：2a2+2ab-b2=0,故。，

因此該雙曲線的漸近線方程為丫=±（6+1口

故答案為.y=±（百+Dx

16.。乂）

【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式將已知化為‘山（'一/）=5出"，根據(jù)"3C為銳角三角

兀<力<兀c_sinC_sin3A

形可得8=2/,。=兀_3/以及14,再由正弦定理可得0-sinN-sin/,利用兩角

和的正弦展開(kāi)式和c°s/的范圍可得答案.

【詳解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得

=2sinZsin/cos5+2sinBsin4cos4=2sin4（sinZcosB+sin3cos4）

=2sinZsin（4+5）

TT

0<C<-,TI-C=A+Bsin（兀一C）=sin（Z+B）=sinC0

因?yàn)?,所以

可得sin（8-4）=sin4

因?yàn)?2,所以22,

所以8=2/,C=n-3A,

jr__,_.7TTL.7C

0<B=2A<-0<C=7i-3A<——<A<—

由2可得64

交＜c°s/〈近

-<COS2A<-

所以2224,

c_sinC_sin3A_sin(2A+%)_sin2AcosA+cos2AsinA

由正弦定理得asin4sin/sin力sin4

=2cos2^+COS2T4=4cos2A-le(1,2)

故答案為.2)

S="(〃+1)

17.⑴%=","-2

40

⑵21

【分析】(1)根據(jù)已知條件求出公差"，由公式即可確定°”和S”.

(2)根據(jù)已知條件求出“"("+D,裂項(xiàng)相消法求心即可.

【詳解】(1)設(shè)=1+("一1"，由(%一2)--1)(62-3),

得(7"-1)2=44(1W-2),所以d=i或"二丁

5_+%)_?(?+1)

由于deZ,所以1=1,所以，氏=〃，"=-2—=

(2)由“S"=l知:

1=2

由

所以J21>21.

18.⑴82.5

4

⑵5

【分析】(1)計(jì)算出成績(jī)落在各組的頻率，得到該校學(xué)生測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)落在［8°，%),設(shè)

出中位數(shù)，得到方程，求出答案；

(2)先得到甲乙分別能進(jìn)行復(fù)賽的概率，進(jìn)而得到片的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列,

求出數(shù)學(xué)期望.

【詳解】(1)成績(jī)落在［°，7°)內(nèi)的頻率為0.01x10=0.1,

成績(jī)落在［70'8°)內(nèi)的頻率為0.03x10=0.3,

成績(jī)落在躍，9°)內(nèi)的頻率為0.04x10=0.4,

由于0.1+0.3=0.4<0.5,0.1+0.3+0.4=0.8>0.5,

故該校學(xué)生測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)落在［80，9°)內(nèi)，

設(shè)中位數(shù)為x,則(x-80)x0.04=0.5-0.4,解得x=82.5,

故估計(jì)該校學(xué)生測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)為826

(2)從6道題中選4道共有0：種選擇，

因?yàn)榧啄艽饘?duì)其中的4道，故甲能進(jìn)行復(fù)賽的情況有+C：C；=9種，

_9__31----

故甲能進(jìn)行復(fù)賽的概率為15-M,不能進(jìn)復(fù)賽的概率為5~5,

因?yàn)橐夷艽饘?duì)其中的3道，故乙能進(jìn)行復(fù)賽的情況有。汜；=3種，

2=11-1=4

故乙能進(jìn)行復(fù)賽的概率為155,不能進(jìn)復(fù)賽的概率為55,

4的可能取值為°，1，2,

p(^=0)=-x-=—p(^=l)=lx-+-x-=—P(^=2)=-xl=—

v75525,v7555525,v75525,

故J分布列如下：

19.(1)證明見(jiàn)解析

4i

⑵2

百

⑶3

【分析】（1）先證明平面"8C,得到8°，8Q,再證明平面/Be.

⑵方法-幾何法，取4G的中點(diǎn)外過(guò)點(diǎn)用作8戶,即于點(diǎn)a,可證“■，平面

/CG4,點(diǎn)區(qū)到平面的距離即為用”，求解得解；方法二向量法，建立空間直角坐

標(biāo)系利用向量法求點(diǎn)面距；

（3）建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法求解.

【詳解】（1）因?yàn)閆8=8C,。是/C的中點(diǎn)，所以BD14C,

因?yàn)锳BXV\AC=A/片,/。（=平面/用。，

所以平面ZB。，

又8。（=平面“80,所以8￡＞工"0,

因?yàn)?/=4C,。是/C的中點(diǎn)，

所以4。"/C,BDc4C=D,8D,/Cu平面/BC,

所以平面/BC.

（2）法一：取4G的中點(diǎn)2,連接OR,3a可得四邊形3BQD是平行四邊形，

因?yàn)锽O_L/C,BQA4C,BDCBR=D,8。,耳。u平面BBQO,

所以/CL平面53QD,又/Cu平面NCG4,

所以平面平面NCC/|,

過(guò)點(diǎn)用作B\H1即于點(diǎn)H,B'HU平面BBQQ,

平面BB\D\DC平面ACC,At=DD[,則B、H1平面ZCC/,

所以點(diǎn)用到平面/C￡4的距離即為用"，

兀

因?yàn)?B=BC=B/=BC,所以BD=B、D=BQ,,又NRBQ=/BQB=萬(wàn)，

B.H=-DD.=-BB,

所以222,故點(diǎn)用o到平面/C￡4的距離為2.

法二：由（1）知BQ，平面/8C,BD1AC,所以。8,DC,。耳兩兩垂直，以。為原點(diǎn),

以DB,DC,。片所在直線分別為無(wú)，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?==所以8。=烏。，又BD1BQ,48=血，

所以與。=8。=1,

AB=BC=6,BDLAC,所以。/=￡>C=1,

所以。（0,0,0）,/（0,-1,0）,8（1,0,0）,C（0,l,0））4（0,0,1）,

/C=（0,2,0）,AA}=（-1,0,1）^設(shè)平面NCG4的一個(gè)法向量為成=Q,6,c）,

m-AC=0jb=0

則1成,44=°,即1-a+c=°,令0=1,

則成=（1,0,1）為平面WG4的一個(gè)法向量，

d1V2

又。呂=（0,0,1）,所以點(diǎn)用到平面/CG4的距離同收2,

V2

故點(diǎn)區(qū)到平面"C￡4的距離為2.

（3）由⑵法二得M=（O,T,l）,44=/8=（1,1,0）,設(shè)平面48c的一個(gè)法向量為

萬(wàn)=(x),z)

n-CBx=0-y+2=0

則1萬(wàn)24=o得.x+y=o,令x=i,則V=T,z=-i,

萬(wàn)=Q，T，T）為平面43c的一個(gè)法向量,

所以

又50/平面ZB。，所以=0,0,0）是平面/4。的一個(gè)法向量,

n-DB1V3

cos五,DB=

同.廊V3xl3

故平面48c與平面/片。的夾角的余弦值為3.

20.（1）-1

_(,o]u(o,+8)

⑵L2>

【分析】（1）對(duì)g（無(wú)）求導(dǎo)，因?yàn)槊榕己瘮?shù)，求出g（D在“e（°"）的單調(diào)性，即可求出

上犯句上的最小值;

1

BXe一e

g（'）在［一肛"］上的最小值為T(mén)2e'」,使得

(2)由⑴知,，所以一

-X2-X12

)人2人2—X-X

~~~—-?^-l-lnx)^—xf-x,2-------0(x)=-_____

a(x^2722a

%成立，即I22

成立，即x2-1nx2,設(shè)x-lnx,

1

XG一,e

e即只需a》"（x）min即可.

[詳解](])gr(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx

顯然gG）為偶函數(shù)，當(dāng)》＞°時(shí),

xe0微

時(shí)，XCOSX>0,g(x)>。，...g(x)在

單調(diào)遞增;

7171

XG時(shí)，XCOSX<0,g(x)<。，...g(x)在

5"5"單調(diào)遞減;

7t7t

g(o)=i,g2,gS）=1*⑺在（°，萬(wàn)）上的最小值為T(mén).

由偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知g（無(wú)）在（一肛乃）上的最小值為-1.

if/1]_]一%

(2)先證InxWx—1,設(shè)〃Q)=lnx_x+l,貝“一丁

令/zr(x)>0=>0<x<l人"(x)<0=>x>l

J(x)在(°，1)上單調(diào)遞增，在。，+°°)上單調(diào)遞減.“x)4〃(l)=°

故InxWx-1①恒成立.

由題意可得」，使得.成立,

a(x2-lnx2)^|xf-x2

即2成乂.

由①可知％-In%21>°

-X2

a*2------

參變分離得％Tn%

-x2-x

21

設(shè)"(')=XG一,e

x-lnx,e

即只需即可.

(x-l)(x-Inx)-f—x2-x

(尤-*—x—Inx+1

"(x)=

(x-Inx)2

由①知InxWx-l得一lnx21-x,

14-r

一x—Inx+12—x+1—x+1—2——x=——>0

,-.2222

令”(x)>0=l(…，令。'(x)<0=4<x<l

...9(x)在上單調(diào)遞減，在0，e)上單調(diào)遞增.

夕(x)mi?=e(i)=-；

a>——

2

又已知

_g,o]u(O,+8)

故a的取值范圍為L(zhǎng)2)

丫+d=1

21.(1)84

⑵回的最大值為9-48,此時(shí)廠=2-6

【分析】（1）根據(jù)題意代入兩點(diǎn)G忘），C"'T）即可得橢圓方程;

⑵設(shè)后"=左21（再,歹1）〃（工2，y2），8（0/3）,7（0,%）,過(guò)點(diǎn)尸的直線/的方程為

r2—4

了=履+2,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到（產(chǎn)-1沖-4后+/_4=0,則可得桃2-I,再

y=kx+2

<2v2

-x-F—=1

聯(lián)立〔84,求出M，N坐標(biāo)，設(shè)出直線九W的方程，代入坐標(biāo)計(jì)算，再求解即可.

4

=1

<

61r=8《+二

1

【詳解】（1）由題意可得：〔。2，解得也=%所以橢圓方程為84

（2）過(guò)點(diǎn)尸（0'2）作圓C的兩條切線,

當(dāng)兩條切線均存在斜率時(shí)，設(shè)七4="2,N（XQ］）,M（X2，%）,S（0,%）,r（0,y4）

1^+21

I=r

經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸的直線’的方程為>=b+2,則Jl+/

4r2-4

整理得（/一，一軌+/一4=。，所以有左+右=TTP幽=R

2

+(尸1)2=_5

~4

又以PC為直徑的圓的方程為

2v

+(yT)2_[(xT)2+y[=彳—r2

則直線的方程為

2y-r2-1

整理得x_2yT+/=0,令x=0得”2,即(2)

y=kx+2

<x2y2_

聯(lián)立18+4一，消去y得(1+2人3+8h=0,

5-甌2一的1(2-%]

—8尢一8左2-8k2

X.=------彳,=--、

所以1+2好1+2代即11+2懺'1+2k/11+2月'1+2后"

‘2-4"__8匕

t+m

1+2后―1+24

2-4^-8^

2t+m

J+2后-1+2后

不妨設(shè)直線九W的方程為了=氏+加，則,整理得

（2m+4）左;_8比］+加一2=0

（2加+4）左;—8比2+加一2=0

m_2/2_4

所以《他為方程。加+4*-8戊+相-2=0的兩個(gè)根,貝產(chǎn)F+4,又她一口T,

m-2r2-46r2-18

-----=-----TH.=------

所以2〃?+4r2-l,解得7-r2,

6r2-181<248

四|=|必-八|==-118O-7-r2+

7-r227-r2

此時(shí)

<-|18-2748|=9-4A/3

2,

7248

7—F=-----/—

當(dāng)且僅當(dāng)7-產(chǎn)，即廠=2一43時(shí)取等號(hào),

當(dāng)兩條切線中一條斜率不存在時(shí)，廠=1,此時(shí)PA即y軸,

此時(shí)S（。，0）1（。，-2）,⑼=2<9-4百

綜上ST的最大值為9-46，此時(shí)r=2-e.

方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下:

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（再