吉林省長春市第十九中學2025屆高一上數學期末經典模擬試題含解析

吉林省長春市第十九中學2025屆高一上數學期末經典模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數（，且）的圖象恒過點，若角的終邊經過點，則的值為（）A. B.C. D.2．已知實數，滿足，則函數零點所在區間是()A. B.C. D.3．已知函數，，若存在實數，使得，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4．若“”是假命題，則實數m的最小值為（）A.1 B.-C. D.5．設則的最大值是（）A.3 B.C. D.6．如圖，一個半徑為3m的筒車按逆時針方向每分轉1.5圈，筒車的軸心O距離水面的高度為2.2m，設筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d（單位：m）（在水面下則d為負數），若從盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間，則d與時間t（單位：s）之間的關系為，則其中A，，K的值分別為（）A.6，，2.2 B.6，，2.2C.3，，2.2 D.3，，2.27．已知，則x等于A. B.C. D.8．已知x，y是實數，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．過點且與直線平行的直線方程是（）A. B.C. D.10．在同一直角坐標系中，函數和（且）的圖像可能是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設是第三象限的角，則的終邊在第_________象限.12．從2008年京津城際鐵路通車運營開始，高鐵在過去幾年里快速發展，并在國民經濟和日常生活中扮演著日益重要的角色.下圖是2009年至2016年高鐵運營總里程數的折線圖圖（圖中的數據均是每年12月31日的統計結果).根據上述信息下列結論中，所有正確結論的序號是____①2015年這一年,高鐵運營里程數超過0.5萬公里;②2013年到2016年高鐵運營里程平均增長率大于2010到2013高鐵運營里程平均增長率;③從2010年至2016年，新增高鐵運營里程數最多的一年是2014年;④從2010年至2016年，新增高鐵運營里程數逐年遞增;13．的值為______.14．已知，且，若不等式恒成立，則實數的最大值是__________.15．已知函數，若，使得，則實數a的取值范圍是___________.16．若直線上存在滿足以下條件的點:過點作圓的兩條切線(切點分別為),四邊形的面積等于，則實數的取值范圍是_______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知：(1)求的值(2)若，求的值.18．2021年秋季學期，某省在高一推進新教材，為此該省某市教育部門組織該市全體高中教師在暑假期間進行相關學科培訓，培訓后舉行測試（滿分100分），從該市參加測試的數學老師中抽取了100名老師并統計他們的測試分數，將成績分成五組，第一組[65，70），第二組[70，75），第三組[75，80），第四組[80，85），第五組[85，90]，得到如圖所示的頻率分布直方圖（1）求a的值以及這100人中測試成績在[80，85）的人數；（2）估計全市老師測試成績的平均數（同組中的每個數據都用該組區間中點值代替）和第50%分數位（保留兩位小數）；（3）若要從第三、四、五組老師中用分層抽樣的方法抽取6人作學習心得交流分享，并在這6人中再抽取2人擔當分享交流活動的主持人，求第四組至少有1名老師被抽到的概率19．已知函數（且），在上的最大值為.（1）求的值；（2）當函數在定義域內是增函數時，令，判斷函數的奇偶性，并證明，并求出的值域.20．已知函數（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；（2）求函數f（x）在區間上的最大值和最小值21．已知圓，直線，點在直線上，過點作圓的切線，切點分別為.（Ⅰ）若，求點的坐標；（Ⅱ）求證：經過三點圓必過定點，并求出所有定點的坐標.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】令指數函數的指數為零即可求出指數型函數過定點的坐標，再根據三角函數的定義計算可得；【詳解】解：因為函數（，且），令，即時，所以函數恒過定點，又角的終邊經過點，所以，故選：A2、B【解析】首先根據已知條件求出，的值并判斷它們的范圍，進而得出的單調性，然后利用零點存在的基本定理即可求解.【詳解】∵，，∴，，∴，且為增函數，故最多只能有一個零點，∵，，∴，∴在內存在唯一的零點.故選：B.3、B【解析】根據給定條件求出函數的值域，由在此值域內解不等式即可作答.【詳解】因函數的值域是，于是得函數的值域是，因存在實數，使得，則，因此，，解得，所以的取值范圍是.故選：B4、C【解析】根據題意可得“”是真命題，故只要即可，求出的最大值，即可求出的范圍，從而可得出答案.【詳解】解：因為“”是假命題，所以其否定“”是真命題，故只要即可，因為的最大值為，所以，解得，所以實數m的最小值為.故選：C.5、D【解析】利用基本不等式求解.【詳解】因為所以，當且僅當，即時，等號成立，故選：D6、D【解析】根據實際含義分別求的值即可.【詳解】振幅即為半徑，即；因為逆時針方向每分轉1.5圈，所以；；故選：D.7、A【解析】把已知等式變形，可得，進一步得到，則x值可求【詳解】由題意，可知，可得，即，所以，解得故選A【點睛】本題主要考查了有理指數冪與根式的運算，其中解答中熟記有理指數冪和根式的運算性質，合理運算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.8、C【解析】由充要條件的定義求解即可【詳解】因為，若，則，若，則，即，所以，即“”是“”的充要條件，故選：C.9、D【解析】先由題意設所求直線為：，再由直線過點，即可求出結果.【詳解】因為所求直線與直線平行，因此，可設所求直線為：，又所求直線過點，所以，解得，所求直線方程為：.故選D【點睛】本題主要考查求直線的方程，熟記直線方程的常見形式即可，屬于基礎題型.10、B【解析】利用函數的奇偶性及對數函數的圖象的性質可得.【詳解】由函數，可知函數為偶函數，函數圖象關于軸對稱，可排除選項AC，又的圖象過點，可排除選項D.故選：B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、二或四【解析】根據是第三象限角，得到，，再得到，，然后討論的奇偶可得答案.【詳解】因為是第三象限角，所以，，所以，，當為偶數時，為第二象限角，當為奇數時，為第四象限角.故答案為：二或四.12、②③【解析】根據數據折線圖，分別進行判斷即可.【詳解】①看2014，2015年對應的縱坐標之差小于2-1.5=0.5，故①錯誤；②連線觀察2013年到2016年兩點連線斜率更大，故②正確；③2013年到2014年兩點縱坐標之差最大，故③正確；④看相鄰縱坐標之差是否逐年增加，顯然不是，有增有減，故④錯誤；故答案為：②③.13、11【解析】進行對數和分數指數冪的運算即可【詳解】原式故答案為：1114、9【解析】利用求的最小值即可.【詳解】，當且僅當a＝b＝時取等號，不等式恒成立，則m≤9，故m的最大值為9.故答案為：9.15、【解析】將“對，使得，”轉化為，再根據二次函數的性質和指數函數的單調性求得最值代入即可解得結果.【詳解】當時，，∴當時，，當時，為增函數，所以時，取得最大值，∵對，使得，∴，∴，解得.故答案為：.16、【解析】通過畫出圖形，可計算出圓心到直線的最短距離，建立不等式即可得到的取值范圍.【詳解】作出圖形，由題意可知，，此時，四邊形即為,而，故，勾股定理可知，而要是得存在點P滿足該條件，只需O到直線的距離不大于即可，即，所以，故的取值范圍是.【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式，意在考查學生的轉化能力，計算能力，分析能力，難度中等.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）利用誘導公式及商數關系得到結果；（2）利用兩角和與差正切公式可得答案.【詳解】（1）∵，則∴（2）∵∴解得：∴【點睛】本題考查了三角函數式的化簡求值；熟練運用兩角和與差的正切公式是解答的關鍵18、（1）;20；（2）分,76.67分（3）【解析】（1）根據頻率之和為1，可求得a的值，根據頻數的計算可求得測試成績在[80，85）的人數；（2）根據頻率分布直方圖可計算中位數，即可求得第50%分數位；（3）列舉出所有可能的抽法，再列出第四組至少有1名老師被抽到可能情況，根據古典概型的概率公式求得答案.【小問1詳解】由題意得：，解得；這100人中測試成績在[80，85）的人數為（人）；【小問2詳解】平均數為：（分），設中位數為m,且，則，解得，故第50%分數位76.67分；【小問3詳解】第三組頻率為，第四組頻率為，第五組頻率為，故從第三、四、五組老師中用分層抽樣的方法抽取6人作學習心得交流分享，三組人數為3人，2人和1人，記第三組抽取人為,第四組抽取的人為,第五組抽取的人為,則抽取2人的所有情況如下：共15種，其中第四組至少有1名老師被抽到的抽法有共9種，故第四組至少有1名老師被抽到的概率為.19、（1）或（2）為偶函數，證明見解析，.【解析】（1）分別在和時，根據函數單調性，利用最大值可求得；（2）由（1）可得，根據奇偶性定義判斷可知其為偶函數；利用對數型復合函數值域的求解方法可求得值域.【小問1詳解】當時，為增函數，，解得：；當時，為減函數，，解得：；綜上所述：或.【小問2詳解】當函數在定義域內是增函數時，，由（1）知：；，由得：，即定義域為；又，是定義在上的偶函數；，當時，，，即的值域為.20、（1）最小正周期為，單調遞增區間為，k∈Z；（2）最大值為，最小值為【解析】（1）先通過降冪公式化簡得，進而求出最小正周期和單調遞增區間；（2）通過，求出，進而求出最大值和最小值.【小問1詳解】，∴函數f（x）的最小正周期為，令，k∈Z，則，k∈Z，∴函數f（x）的單調遞增區間為，k∈Z【小問2詳解】∵，∴，則，∴，∴函數f（x）的最大值為，最小值為21、(1)點的坐標為或(2)見解析，過的圓必過定點和【解析】（1）設，由題可知，由點點距得到，解得參數值；（2）設的中點為，過三點的圓是以為直徑的圓，根據圓的標準方程得到圓，根據點P在直