初中數學同步八年級上冊滬科版《壓軸題》專題09構造全等三角形的五大方法含答案及解析

專題09構造全等三角形的五大方法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 3類型一、利用“補形法”構造全等三角形 3類型二、利用“截長補短法”構造全等三角形 5類型三、利用“倍長中線法”構造全等三角形 7類型四、利用“旋轉法”構造全等三角形 10類型五、利用“作垂線法”構造全等三角形 12壓軸能力測評 141用SSS判定兩個三角形全等的方法方法技巧：SSS指的是利用邊邊邊證明三角形全等，只要找到對應邊分別相等，即可證明！三邊對應相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.備注：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.2用SAS判定兩個三角形全等的方法方法技巧：SAS指的是利用邊角邊證明兩三角形全等，這個角必須是兩對應邊的夾角，切不可看成是SSA，SSA是不能作為判定三角形全等的方法的。（1）兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.備注：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對應邊的夾角.（2）有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.3用ASA或AAS判定兩個三角形全等的方法方法技巧：此類主要是利用兩角和一邊，注意這個邊可以是兩角的夾邊，也可以是角的對邊或鄰邊！兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.備注：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.（1）兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）備注：由三角形的內角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.（2）三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.4用HL判定兩個直角三角形全等的方法方法技巧：HL只適用于直角三角形的判定，指的是一直角邊和一斜邊。（1）由三角形全等的條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應相等，或兩直角邊對應相等，這兩個直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角三角形所獨有的，一般三角形不具備.備注：1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.2）判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.3）應用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.類型一、利用“補形法”構造全等三角形“補形法”是指補全圖形的方法，主要是利用條件構造與已知三角形全等的三角形，利用全等三角形解決問題。例．如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點B作BE⊥AD，交AD延長線于點E，F為AB的中點，連接CF，交AD于點G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數量關系？并說明理由；（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．【變式訓練1】．求證：在直角三角形中，若一個銳角等于30°，則它所對的直角邊等于斜邊的一半．要求：(1)根據給出的線段及∠B，以線段為直角邊，在給出的圖形上用尺規作出的斜邊，使得，保留作圖痕跡，不寫作法；(2)根據（1）中所作的圖形，寫出已知、求證和證明過程．【變式訓練2】．如圖1，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于兩點，且滿足，且是常數，直線平分，交x軸于點D．（1）若的中點為M，連接交于點N，求證：；（2）如圖2，過點A作，垂足為E，猜想與間的數量關系，并證明你的猜想．【變式訓練3】．已知，如圖ΔABC中，，，的平分線交于點，，求證：.類型二、利用“截長補短法”構造全等三角形“截長補短”是處理線段間數量關系的一種重要的解題方法.當題目中出現三條線段間的和差關系時(如a=b+c),常考慮用此法解決.所謂"截",就是將最長的線段a截成兩段,使其中一段等于較短的一條線段b,再利用全等三角形或者等腰三角形的知識證另一段等于線段c;所謂"補",就是將較短的線段6延長,使延長的線段長度為c,相當于將線段b,c拼成一條線段,再證明此線段的長等于a.用截長補短法解決問題的關鍵,是用"截"或"補"的手段去構造線段.例．如圖，在平面直角坐標系中，，，為軸正半軸上一點，在第四象限，且，平分，．

(1)直接寫出B點坐標；(2)求證：；(3)求四邊形的面積．【變式訓練1】．如圖，在四邊形中，與交于點，平分，平分，．

(1)求的度數；(2)求證：．【變式訓練2】．如圖所示，，，分別是，的平分線，點E在上，求證：．

【變式訓練3】．(1)閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線BD平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題．結合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．(2)問題解決：如圖2，在(1)的條件下，連接，當時，探究線段AB，，BD之間的數量關系，并說明理由；(3)問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點作，垂足為點，請寫出線段AB、CE、之間的數量關系并說明理由．類型三、利用“倍長中線法”構造全等三角形中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．倍長中線法：就是將三角形的中線延長一倍，以便構造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關知識來解決問題的方法．倍長中線法的過程：延長某某到某點，使某某等于某某，使什么等于什么（延長的那一條），用SAS證全等（對頂角相等）倍長中線最重要的一點：延長中線一倍，完成SAS全等三角形模型的構造。【方法講解】常用輔助線添加方法——倍長中線△ABC中，AD是BC邊中線，如圖一圖一圖二方式1：延長AD到E，使DE=AD，連接BE如圖二結論：方式2：間接倍長如圖三：作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長線于E；如圖四：延長MD到N，使DN=MD，連接CN，例．如圖，為中線，點在上，交于點，．求證：．【變式訓練1】．（1）如圖①，在中，若，，為邊上的中線，求的取值范圍；（2）如圖②，在中，點D是的中點，，交于點E，交于點F，連接，判斷與的大小關系并證明；（3）如圖③，在四邊形中，，與的延長線交于點F，點E是的中點，若是的角平分線．試探究線段，，之間的數量關系，并加以證明．【變式訓練2】．（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍，小聰同學是這樣思考的：延長至，使，連接．利用全等將邊轉化到，在中利用三角形三邊關系即可求出中線的取值范圍，在這個過程中小聰同學證三角形全等用到的判定方法是______，中線的取值范圍是______；（2）問題解決：如圖2，在中，點是的中點，．交于點，交于點．求證：；（3）問題拓展：如圖3，在中，點是的中點，分別以，為直角邊向外作和，其中，，，連接，請你探索與的數量與位置關系．【變式訓練3】．如圖，在中，是上一點，連接，已知，，是的中線．求證：．（提示：延長至，使，連接）類型四、利用“旋轉法”構造全等三角形在解決等邊三角形、正方形或者頂角為特殊的等腰三角形時，若條件較為分散，可考慮利用旋轉構造全等三角形，可高效突破有關難題。手拉手模型便是由兩個同頂角的等腰三角形形成，可看成兩個全等三角形旋轉而得，這便體現了全等三角形和旋轉之間的關系！熟悉手拉手模型2.遇60°，120°構全等關鍵：抓住相等的邊，旋轉點，以及旋轉后圖形的特征3.遇45°，135°構造全等通過全等構造，將線段轉化到直角三角形中以上這些，將會在另外專題中講到。例．問題背景：“半角模型”問題．如圖1，在四邊形中，，，，點E，F分別是上的點，且，連接，探究線段之間的數量關系．(1)探究發現：小明同學的方法是延長到點G．使．連結，先證明，再證明，從而得出結論：_____________；(2)拓展延伸：如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊上的點，且，請問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由．(3)嘗試應用：如圖3，在四邊形中，，，E、F分別是邊延長線上的點，且，請探究線段具有怎樣的數量關系，并證明．【變式訓練1】．已知：邊長為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當點E在線段CB的延長線上，探究EF、BE、DF之間存在的數量關系，并寫出證明過程；拓展應用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．【變式訓練2】．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點，且，請直接寫出EF、BE、FD之間的數量關系；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證明．【變式訓練3】．如圖，在正方形ABCD中，點P在直線BC上，作射線AP，將射線AP繞點A逆時針旋轉45°，得到射線AQ，交直線CD于點Q，過點B作BE⊥AP于點E，交AQ于點F，連接DF．（1）依題意補全圖形；（2）用等式表示線段BE，EF，DF之間的數量關系，并證明．類型五、利用“作垂線法”構造全等三角形例．小宇和小明一起進行數學游戲：已知，將等腰直角三角板擺放在平面內，使點A在的內部，且兩個底角頂點B，C分別放在邊上．

(1)如圖1，小明擺放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，從而直接可以判斷出點A在的角平分線上．請回答：小明能夠直接作出判斷的數學依據是______．(2)如圖2，小宇調整了的位置，請判斷平分是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，請舉出反例．【變式訓練1】．定義：三角形一個內角的平分線所在的直線與另一個內角相鄰的外角的平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內角的遙望角．

(1)如圖1所示，是中的遙望角，直接寫出與的數量關系__________；(2)如圖1所示，連接，猜想與的數量關系，并說明理由；(3)如圖2，四邊形中，，點E在的延長線上，連，若已知，求證：是中的遙望角．【變式訓練2】．閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．已知：如圖，點E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當的輔助線，構造全等三角形或等腰三角形．（1）現給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進行證明．①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G．（2）請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進行證明．【變式訓練3】．如圖，中，，則點B的坐標為．1．在中，，中線，則邊的取值范圍是（）A． B． C． D．2．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點D為BC的中點，則AD的長可能是（）A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，在四邊形中，，，，，，點是的中點，則的長為（

）．A．2 B． C． D．34．如圖，在ΔABC中，，，平分，、分別是、上的動點，當最小時，的度數為()A． B． C． D．5．如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分線AE交CD于E，連接BE，且BE恰好平分∠ABC，則AB的長與AD+BC的大小關系是（）A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．無法確定6．如圖，在中，．將繞O點逆時針方向旋轉90°到的位置，則點的坐標是．7．已知點C為線段上一點，分別以為邊在線段AB同側作和，且．，，直線與交于點F．

(1)如圖1，可得___________；若，則___________．(2)如圖2，若，則___________．（用含a的式子表示）(3)設，將圖2中的繞點C順時針旋轉任意角度（交點F至少在中的一條線段上），如圖3．試探究與a的數量關系，并予以說明．8．在中，，，點為直線上的一個動點（不與點，重合），以為一邊在的右側作，使，，連．（1）如圖1，當點在線段上時，①與的位置關系是______；②線段、、之間的數量關系是______．（2）如圖2，當點在線段的延長線上時，（1）中的兩個結論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請寫出正確的結論再給出證明．9．已知與都是等腰直角三角形，且．求證：(1)；(2)．10．如圖，在中，，點D在內，，，點E在外，．(1)的度數為_______________；(2)小華說是等腰三角形，小明說是等邊三角形，___________的說法更準確，并說明理由；(3)連接，若，求的長．

專題09構造全等三角形的五大方法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 3類型一、利用“補形法”構造全等三角形 3類型二、利用“截長補短法”構造全等三角形 10類型三、利用“倍長中線法”構造全等三角形 18類型四、利用“旋轉法”構造全等三角形 27類型五、利用“作垂線法”構造全等三角形 38壓軸能力測評 451用SSS判定兩個三角形全等的方法方法技巧：SSS指的是利用邊邊邊證明三角形全等，只要找到對應邊分別相等，即可證明！三邊對應相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.備注：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.2用SAS判定兩個三角形全等的方法方法技巧：SAS指的是利用邊角邊證明兩三角形全等，這個角必須是兩對應邊的夾角，切不可看成是SSA，SSA是不能作為判定三角形全等的方法的。（1）兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.備注：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對應邊的夾角.（2）有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.3用ASA或AAS判定兩個三角形全等的方法方法技巧：此類主要是利用兩角和一邊，注意這個邊可以是兩角的夾邊，也可以是角的對邊或鄰邊！兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.備注：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.（1）兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）備注：由三角形的內角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.（2）三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.4用HL判定兩個直角三角形全等的方法方法技巧：HL只適用于直角三角形的判定，指的是一直角邊和一斜邊。（1）由三角形全等的條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應相等，或兩直角邊對應相等，這兩個直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角三角形所獨有的，一般三角形不具備.備注：1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.2）判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.3）應用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.類型一、利用“補形法”構造全等三角形“補形法”是指補全圖形的方法，主要是利用條件構造與已知三角形全等的三角形，利用全等三角形解決問題。例．如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點B作BE⊥AD，交AD延長線于點E，F為AB的中點，連接CF，交AD于點G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數量關系？并說明理由；（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．【答案】（1）BE＝AD，見解析；（2）BEG是等腰直角三角形，見解析【分析】（1）延長BE、AC交于點H，先證明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再證明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，則BE＝AD；（2）先證明CF垂直平分AB，則AG＝BG，再證明∠CAB＝∠CBA＝45°，則∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可證明△BEG是等腰直角三角形．【詳解】證：（1）BE＝AD，理由如下：如圖，延長BE、AC交于點H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，，∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝BH，∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝AD．（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．【點睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等，理解等腰直角三角形的基本性質，并且掌握全等三角形中常見輔助線的作法是解題關鍵．【變式訓練1】．求證：在直角三角形中，若一個銳角等于30°，則它所對的直角邊等于斜邊的一半．要求：(1)根據給出的線段及∠B，以線段為直角邊，在給出的圖形上用尺規作出的斜邊，使得，保留作圖痕跡，不寫作法；(2)根據（1）中所作的圖形，寫出已知、求證和證明過程．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據作一個角等于已知角的方法作圖即可；（2）根據圖形和命題的已知事項寫出已知，根據命題的未知事項寫出求證，再寫出證明過程即可．【詳解】（1）解：如圖所示，線段為所求作的線段；（2）已知：如圖，是直角三角形，，．求證：．解法一：如圖，在上截取一點，使得，連接．∵，，∴．∵，∴是等邊三角形．∴，．∵，∴．∴．∴．∵，∴．解法二：如圖，延長至點，使，連接．∵，，∴，，∵，，，∴．∴．∴是等邊三角形．∴．∵，∴．【點睛】本題主要考查了用尺規作一個角等于已知角及命題的證明過程的書寫格式，掌握相關內容是解題的關鍵．【變式訓練2】．如圖1，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于兩點，且滿足，且是常數，直線平分，交x軸于點D．（1）若的中點為M，連接交于點N，求證：；（2）如圖2，過點A作，垂足為E，猜想與間的數量關系，并證明你的猜想．【答案】（1）見解析；（2）,證明見解析．【分析】（1）由已知條件可得，進而得，由直線平分及直角三角形斜邊上中線的性質得，再由三角形的外角定理，分別求得，根據角度的等量代換，即可得，最后由等角對等邊的性質即可得證；（2）如圖，延長交軸于點，先證明，得，再證明，即可得．【詳解】（1），，，，直線平分，，為的中點，，，，，，，，．（2），證明：如圖，延長交軸于點，直線平分，，，，又，（ASA），，，，即，，又，（ASA），，即．【點睛】本題考查了平面直角坐標系的定義，非負數之和為零，三角形角平分線的定義，三角形中線的性質，三角形外角定理，三角形全等的性質與判定，等角對等邊，熟練掌握以上知識，添加輔助線是解題的關鍵．【變式訓練3】．已知，如圖ΔABC中，，，的平分線交于點，，求證：.【答案】見解析.【分析】延長BD交CA的延長線于F，先證得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再證△CBD≌△CFD，得出BD=DF；由此得出結論即可．【詳解】證明：如圖，延長交的延長線于，平分【點睛】此題考查三角形全等的判定與性質，角平分線的性質，根據已知條件，作出輔助線是解決問題的關鍵．類型二、利用“截長補短法”構造全等三角形“截長補短”是處理線段間數量關系的一種重要的解題方法.當題目中出現三條線段間的和差關系時(如a=b+c),常考慮用此法解決.所謂"截",就是將最長的線段a截成兩段,使其中一段等于較短的一條線段b,再利用全等三角形或者等腰三角形的知識證另一段等于線段c;所謂"補",就是將較短的線段6延長,使延長的線段長度為c,相當于將線段b,c拼成一條線段,再證明此線段的長等于a.用截長補短法解決問題的關鍵,是用"截"或"補"的手段去構造線段.例．如圖，在平面直角坐標系中，，，為軸正半軸上一點，在第四象限，且，平分，．

(1)直接寫出B點坐標；(2)求證：；(3)求四邊形的面積．【答案】(1)(2)見解析(3)32【分析】（1）證明是等腰直角三角形，可得結論；（2）過點作于點，，交的延長線于點．證明，可得結論；（3）證明四邊形是正方形，再證明四邊形的面積正方形的面積即可．【詳解】（1），，，，平分，，，，，，故答案為：；（2）過點作于點，，交的延長線于點．

平分，，，，，，∴，；（3），，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．【變式訓練1】．如圖，在四邊形中，與交于點，平分，平分，．

(1)求的度數；(2)求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）由四邊形內角和性質求得．再由角平分線定義可得，，最后由三角形內角和性質得到結論；（2）作的平分線交于，證明，再由全等三角形的性質可得答案．【詳解】（1）在四邊形中，，又∵，∴．∵平分，平分，∴，，∴．在中，．（2）．如圖，作的平分線交于．則．

在和中，，．∴．同理，．∴【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的定義，正確地作出輔助線是解題的關鍵．【變式訓練2】．如圖所示，，，分別是，的平分線，點E在上，求證：．

【答案】見解析【分析】運用截長補短的方法，在上取點F，使，由角平分線定義得，，可證，得，結合平行線的性質可證，進一步證得，所以，得證結論．【詳解】在上取點F，使

∵，分別是，的平分線∴，∵∴在和中∴∴∴∵∴在和中，∴∴∵∴．【點睛】本題考查角平分線的定義，平行線的性質，全等三角形的判定和性質；運用截長補短的方法構造全等三角形求證線段相等是解題的關鍵．【變式訓練3】．(1)閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線BD平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題．結合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．(2)問題解決：如圖2，在(1)的條件下，連接，當時，探究線段AB，，BD之間的數量關系，并說明理由；(3)問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點作，垂足為點，請寫出線段AB、CE、之間的數量關系并說明理由．【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3），見解析【分析】（1）方法1：在上截取，連接，證明，得出，，進而得出，則，等量代換即可得證；方法：延長AB到，使，連接，證明，得出，，進而得出，則，等量代換即可得證（2）AB，，BD之間的數量關系為．方法1：在BD上截取，連接，由知，得出，為等邊三角形，證明，得出，進而即可得證；方法：延長CB到，使，連接，由知，則，是等邊三角形，證明，得出，進而即可得證；（3）線段AB、CE、之間的數量關系為，連接BD，過點作于點，證明，和，得出，進而即可得證．【詳解】解：（1）方法1：在上截取，連接，平分，，在和中，，，，，，，，，；方法：延長AB到，使，連接，平分，，在和中，，，，，，，，，；（2）AB，，BD之間的數量關系為．方法1：理由如下：如圖，在BD上截取，連接，由知，，，，，為等邊三角形，，，，為等邊三角形，，，，，，．方法：理由：延長CB到，使，連接，由知，，是等邊三角形，，，，，，，為等邊三角形，，，，，即，在和中，，，，，；（3）線段AB、CE、之間的數量關系為．連接BD，過點作于點，，，，在和中，，，，，在和中，，，，，，【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．類型三、利用“倍長中線法”構造全等三角形中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．倍長中線法：就是將三角形的中線延長一倍，以便構造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關知識來解決問題的方法．倍長中線法的過程：延長某某到某點，使某某等于某某，使什么等于什么（延長的那一條），用SAS證全等（對頂角相等）倍長中線最重要的一點：延長中線一倍，完成SAS全等三角形模型的構造。【方法講解】常用輔助線添加方法——倍長中線△ABC中，AD是BC邊中線，如圖一圖一圖二方式1：延長AD到E，使DE=AD，連接BE如圖二結論：方式2：間接倍長如圖三：作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長線于E；如圖四：延長MD到N，使DN=MD，連接CN，例．如圖，為中線，點在上，交于點，．求證：．【答案】見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定與性質．延長至點，使，連接．結合題意可證明，得到，．由，可得，結合，得到，即可求解．【詳解】解：如圖，延長至點，使，連接．為的中線，．在和中，，，，．，．，，，．【變式訓練1】．（1）如圖①，在中，若，，為邊上的中線，求的取值范圍；（2）如圖②，在中，點D是的中點，，交于點E，交于點F，連接，判斷與的大小關系并證明；（3）如圖③，在四邊形中，，與的延長線交于點F，點E是的中點，若是的角平分線．試探究線段，，之間的數量關系，并加以證明．【答案】（1）；（2），見解析；（3），見解析【分析】（1）由已知得出，即為的一半，即可得出答案；（2）延長至點M，使，連接，可得，得出，由線段垂直平分線的性質得出，在中，由三角形的三邊關系得出即可得出結論；（3）延長交于點G，根據平行和角平分線可證，也可證得，從而可得，即可得到結論．【詳解】解：（1）如圖①，延長到點E，使，連接，∵D是的中點，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，故答案為：；（2），理由如下：延長至點M，使，連接，如圖②所示．同（1）得：，∴，∵，∴，在中，由三角形的三邊關系得：，∴；（3），理由如下：如圖③，延長交于點G，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵是的平分線，∴∴，∴，∵，∴．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了三角形的三邊關系，作輔助線—倍長中線法、全等三角形的判定與性質，角的關系等知識點，所以本題的綜合性比較強，有一定的難度，通過作輔助線證明三角形全等是解題的關鍵．【變式訓練2】．（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍，小聰同學是這樣思考的：延長至，使，連接．利用全等將邊轉化到，在中利用三角形三邊關系即可求出中線的取值范圍，在這個過程中小聰同學證三角形全等用到的判定方法是______，中線的取值范圍是______；（2）問題解決：如圖2，在中，點是的中點，．交于點，交于點．求證：；（3）問題拓展：如圖3，在中，點是的中點，分別以，為直角邊向外作和，其中，，，連接，請你探索與的數量與位置關系．【答案】（1），；（2）見解析；（3），【分析】（1）延長至，使，連接，利用“”證明，由全等三角形的性質可得，然后根據三角形三邊關系“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”求解即可；（2）延長至點，使，連接，利用“”證明，易得，可知為的垂直平分線，由垂直平分線的性質可得，然后由三角形的三邊關系可證明結論；（3）延長于，使得，連接，延長交于，首先證明，由全等三角形的性質可得，，再證明，可得，，進而可證明．【詳解】解：（1）如圖1，延長至，使，連接，∵為邊上的中線，，，∴，在和中，，∴，∴，在中，根據三角形三邊關系可得：，即，∵，∴，∴，故答案為：，；（2）如圖2中，延長至點，使，連接，∵點是的中點，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，在中，由三角形的三邊關系得：，∴；（3）結論：，，如圖3，延長于，使得，連接，延長交于，∵點是的中點，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，即．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、三角形三邊關系、三角形內角和定理、三角形中線、垂直平分線的性質等知識，正確作出輔助線構造全等三角形是解題關鍵．【變式訓練3】．如圖，在中，是上一點，連接，已知，，是的中線．求證：．（提示：延長至，使，連接）【答案】見解析【分析】延長至，使，連接．先證明．得到，，再利用外角性質及等式的性質得到，進而得到，最后即可得到．【詳解】證明：如圖，延長至，使，連接．∵是的中線，∴．在與中，，∴．∴，．∵，∴．∵，，，∴．在與中，，∴．∴．∵，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質．類型四、利用“旋轉法”構造全等三角形在解決等邊三角形、正方形或者頂角為特殊的等腰三角形時，若條件較為分散，可考慮利用旋轉構造全等三角形，可高效突破有關難題。手拉手模型便是由兩個同頂角的等腰三角形形成，可看成兩個全等三角形旋轉而得，這便體現了全等三角形和旋轉之間的關系！熟悉手拉手模型2.遇60°，120°構全等關鍵：抓住相等的邊，旋轉點，以及旋轉后圖形的特征3.遇45°，135°構造全等通過全等構造，將線段轉化到直角三角形中以上這些，將會在另外專題中講到。例．問題背景：“半角模型”問題．如圖1，在四邊形中，，，，點E，F分別是上的點，且，連接，探究線段之間的數量關系．(1)探究發現：小明同學的方法是延長到點G．使．連結，先證明，再證明，從而得出結論：_____________；(2)拓展延伸：如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊上的點，且，請問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由．(3)嘗試應用：如圖3，在四邊形中，，，E、F分別是邊延長線上的點，且，請探究線段具有怎樣的數量關系，并證明．【答案】(1)(2)成立，理由見解析(3)，證明見解析【分析】（1）延長到點G．使．連接，利用全等三角形的性質解決問題即可；（2）延長至M，使，連接．證明，由全等三角形的性質得出．，由全等三角形的性質得出，即，則可得出結論；（3）在上截取，使，連接．證明．由全等三角形的性質得出．證明，由全等三角形的性質得出結論．【詳解】（1）解：．延長到點G．使．連接，∵，∴．∴．∴．∴．又∵，∴．∴．∵．∴．故答案為：；（2）解：（1）中的結論仍然成立．證明：如圖②中，延長至M，使BM=DF，連接．∵，∴，在與中，，∴．∴．∵，∴．∴，即．在與中，，∴．∴，即，∴；（3）解：結論：．證明：如圖③中，在上截取，使，連接．∵，∴．在與中，，∴．∴．∴．∴．∵，∴，

∴，∵，∴．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質等知識，解題的關鍵是添加輔助線，構造全等三角形解決問題．【變式訓練1】．已知：邊長為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當點E在線段CB的延長線上，探究EF、BE、DF之間存在的數量關系，并寫出證明過程；拓展應用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．【答案】(1)45(2)DF＝BE+EF，證明見解析(3)2【分析】（1）把繞點逆時針旋轉至，則、、在一條直線上，，再證△，得，進而得出結論；（2）將繞點逆時針旋轉得到，由旋轉的性質得，再證△，得，進而得出結論；（3）將繞點逆時針旋轉得到，連接，則，得，因此，同（2）得△，則，，得、、圍成的三角形面積，即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至，則F、D、在一條直線上，≌△ABE，∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE，∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴EF＝BE+DF．故答案為：45；（2）解：DF＝BE+EF

理由如下：將△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△，∴△≌△ABE，∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE，∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°，則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠＝∠EAF＝45°，在△AEF和△中，，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴DF＝BE+EF；（3）解：將△ABD繞點A逆時針旋轉得到△，連接，則△≌△ABD，∴CD'＝BD，∴，同（2）得：△ADE≌△（SAS），∴，，∴BD、DE、EC圍成的三角形面積為、、EC圍成的三角形面積．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質、旋轉的性質、正方形的性質以及四邊形和三角形面積等知識，本題綜合性強，解此題的關鍵是根據旋轉的啟發正確作出輔助線得出全等三角形，屬于中考常考題型．【變式訓練2】．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點，且，請直接寫出EF、BE、FD之間的數量關系；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證明．【答案】（1）見解析；（2）EF=BE+FD；（3）不成立，理由見解析．【分析】（1）可通過構建全等三角形實現線段間的轉換，延長EB到G，使BG=DF，連接AG，目的就是要證明三角形AGE和三角形AEF全等，將EF轉換為GE，證得EF=BE+DF，（2）思路和輔助線方法與（1）一樣，證明三角形ABG和三角形ADF全等，（3）在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG，用（1）中方法，可證得DF=BG，GE=EF，則EF=GE=BE-BG=BE-DF【詳解】解：（1）如圖，延長EB到G，使BG=DF，連接AG，在與中，；（2）（1）中結論EF=BE+FD仍成立，理由如下，證明：如圖，延長CB到M，使BM=DF，在與中即在與中即；（3）結論EF=BE+FD不成立，理由如下，證明：在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG，在與中．【點睛】本題考查四邊形綜合題，三角形全等的判定與性質，本題中通過全等三角形來實現線段的轉換是解題關鍵，沒有明確全等三角形時，要通過輔助線來構建與已知和所求條件相關聯全等三角形．【變式訓練3】．如圖，在正方形ABCD中，點P在直線BC上，作射線AP，將射線AP繞點A逆時針旋轉45°，得到射線AQ，交直線CD于點Q，過點B作BE⊥AP于點E，交AQ于點F，連接DF．（1）依題意補全圖形；（2）用等式表示線段BE，EF，DF之間的數量關系，并證明．【答案】（1）補全圖形見解析；（2）BE+DF=EF，證明見解析．【分析】（1）根據題意補全圖形即可．（2）延長FE到H,使EH=EF，根據題意證明△ABH≌△ADF，然后根據全等三角形的性質即可證明．【詳解】（1）補全圖形（2）BE+DF=EF．證明：延長FE到H,使EH=EF∵BE⊥AP，∴AH=AF，∴∠HAP=∠FAP=45°，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°∴∠BAP+∠2=45°，∵∠1+∠BAP=45°∴∠1=∠2，∴△ABH≌△ADF，∴DF=BH，∵BE+BH=EH=EF，∴BE+DF=EF．【點睛】此題考查了正方形的性質和全等三角形的性質，解題的關鍵是根據題意作出輔助線．類型五、利用“作垂線法”構造全等三角形例．小宇和小明一起進行數學游戲：已知，將等腰直角三角板擺放在平面內，使點A在的內部，且兩個底角頂點B，C分別放在邊上．

(1)如圖1，小明擺放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，從而直接可以判斷出點A在的角平分線上．請回答：小明能夠直接作出判斷的數學依據是______．(2)如圖2，小宇調整了的位置，請判斷平分是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，請舉出反例．【答案】(1)角的內部到角的兩邊距離相等的點，都在這個角的平分線上．(2)成立，證明見解析．【分析】（1）根據角的內部到角的兩邊距離相等的點，都在這個角的平分線上，由此即可得出結論；（2）成立，過點A作，，構造全等三角形即可證明，從而得出結論成立．【詳解】（1）解：因為，，根據角的內部到角的兩邊距離相等的點，都在這個角的平分線上，所以點A在的角平分線上故答案為：角的內部到角的兩邊距離相等的點，都在這個角的平分線上．（2）結論：平分仍然成立；證明：如解圖3，過點A作，，

∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，在和中，∴∴，又∵，，∴平分，故（1）結論正確．【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質，角平分線的判定，熟練掌握全等三角形的性質及判定、角平分線判定定理是解題的關鍵．【變式訓練1】．定義：三角形一個內角的平分線所在的直線與另一個內角相鄰的外角的平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內角的遙望角．

(1)如圖1所示，是中的遙望角，直接寫出與的數量關系__________；(2)如圖1所示，連接，猜想與的數量關系，并說明理由；(3)如圖2，四邊形中，，點E在的延長線上，連，若已知，求證：是中的遙望角．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)見解析【分析】（1）運用角平分線的定義，以及三角形外角的性質，推導得到，，進而可得；（2）過點E作交的延長線于點M，作交于點N，作交的延長線于點H，由角平分線的性質定理和判定定理可得，根據可得；（3）過D作交于點M，過D作交的延長線于點N，先證四邊形是矩形，再證，最后證得平分，平分即可．【詳解】（1）解：是中的遙望角，平分，平分，，，，，又，，故答案為：；（2）解：，理由如下：如圖，過點E作交的延長線于點M，作交于點N，作交的延長線于點H，

平分，，，，同理，，，，平分，即，，；（3）證明：如圖，過D作交于點M，過D作交的延長線于點N，

，，，，四邊形是矩形，，即，，，，在和中，，，，，，平分，，，，，，，，，平分，平分，是中的遙望角．【點睛】本題考查角平分線的性質及判定，全等三角形的性質及判定，三角形外角的定義和性質，等腰三角形的性質等，熟練掌握角平分線的性質定理及判定定理是解題的關鍵．【變式訓練2】．閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．已知：如圖，點E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當的輔助線，構造全等三角形或等腰三角形．（1）現給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進行證明．①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G．（2）請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進行證明．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）見解析；【分析】（1）①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F，AB＝CD；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G，△BEF≌△CEG△BAF≌△CDG，AB＝CD；（2）如圖3，過C點作CM∥AB，交DE的延長線于點M，則∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；【詳解】（1）①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF，∵點E是BC的中點，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，，∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵點E是BC的中點，∴BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，在△BAF和△CDG中，，∴△BAF≌△CDG（AAS），∴AB＝CD；（2）如圖3，過C點作CM∥AB，交DE的延長線于點M，則∠BAE＝∠EMC，∵E是BC中點，∴BE＝CE，在△BAE和△CME中，，∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，∵∠BAE＝∠EDC，∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，對頂角相等，平行線的性質，構造出全等三角形是解本題的關鍵．【變式訓練3】．如圖，中，，則點B的坐標為．【答案】（4，1）【分析】如圖，過點B作BD⊥x軸于D，根據點A、點C坐標可得OA、OC的長，根據同角的余角相等可得∠OAC=∠DCB，利用AAS可證明△OAC≌△DCB，根據全等三角形的性質可得BD=OC，CD=OA，即可求出OD的長，進而可得答案．【詳解】如圖，過點B作BD⊥x軸于D，∵A（0，3），C（1，0），∴OA=3，OC=1，∵∠ACB=90°，∴∠OCA+∠DCB=90°，∵∠OAC+∠OCA=90°，∴∠OAC=∠DCB，在△OAC和△DCB中，，∴△OAC≌△DCB，∴BD=OC=1，CD=OA=3，∴OD=OC+CD=4，∴點B坐標為（4，1）．故答案為：（4，1）【點睛】本題考查坐標與圖形及全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關鍵．1．在中，，中線，則邊的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長至，使，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據全等三角形對應邊相等可得，再利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊求出的取值范圍，即為的取值范圍．【詳解】解：如圖，延長至，使，∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，即∴．故選：B．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊．“遇中線，加倍延”構造全等三角形是解題的關鍵．2．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點D為BC的中點，則AD的長可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】延長AD到E，使DE＝AD，連接BE．證△ADC≌△EDB（SAS），可得BE＝AC＝2，再利用三角形的三邊關系求出AE的范圍即可解決問題．【詳解】解：延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝2，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即2＜2AD＜6，解得1＜AD＜3，故選：B．【點睛】本題考查了三角形的全等判定和性質，三角形三邊關系定理，熟練證明三角形的全等是解題的關鍵．3．如圖，在四邊形中，，，，，，點是的中點，則的長為（

）．A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】延長BE交CD延長線于P，可證△AEB≌△CEP，求出DP，根據勾股定理求出BP的長，從而求出BM的長．【詳解】解：延長BE交CD延長線于P，∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECP，在△AEB和△CEP中，∴△AEB≌△CEP（ASA）∴BE＝PE，CP＝AB＝5又∵CD＝3，∴PD=2，∵∴∴BE＝BP＝．故選：C．【點睛】考查了全等三角形的判定和性質和勾股定理，解題的關鍵是得恰當作輔助線構造全等，依據勾股定理求出BP．4．如圖，在ΔABC中，，，平分，、分別是、上的動點，當最小時，的度數為()A． B． C． D．【答案】B【分析】在AC上截取AE=AN，先證明△AME≌△AMN（SAS），推出ME=MN．當B、M、E共線，BE⊥AC時，BM+ME最小，可求出∠NME的度數，從而求出∠BMN的度數．【詳解】如圖，在AC上截取AE=AN，∵∠BAC的平分線交BC于點D，∴∠EAM=∠NAM，在△AME與△AMN中，，∴△AME≌△AMN（SAS），∴ME=MN．∴BM+MN=BM+ME，當B、M、E共線，BE⊥AC時，BM+ME最小，∴MN⊥AB∵∠BAC=68°∴∠NME=360°-∠BAC-∠MEA-∠MNA=360°-68°-90°-90°=112°，∴∠BMN=180°-112°=68°．故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱-最短問題，解題的關鍵是能夠通過構造全等三角形，把BM+MN進行轉化，利用垂線段最短解決問題．5．如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分線AE交CD于E，連接BE，且BE恰好平分∠ABC，則AB的長與AD+BC的大小關系是（）A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．無法確定【答案】C【分析】在AB上截取AF＝AD，連接EF，易得∠AEB=90°和△ADE≌△AFE，再證明△BCE≌△BFE，利用全等三角形對應邊相等即可得出三條線段之間的關系.【詳解】解：如圖所示，在AB上截取AF＝AD，連接EF，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠DAB=180°，又∵BE平分∠ABC，AE平分