挑戰2023年中考數學壓軸題專題04 二次函數與相似問題-（含答案解析）

專題4二次函數與相似問題

考法綜述.

X_______________

函數中因動點產生的相似三角形問題一般有三個解題途徑

①求相似三角形的第三個頂點時，先要分析已知三角形的邊和角的特點,進而得出已知三角形是否為特殊三

角形。根據未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應邊分類討論。

②或利用已知三角形中對應角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數、對稱、旋轉等知識來推導邊的大

小。

③若兩個三角形的各邊均未給出則應先設所求點的坐標進而用函數解析式來表示各邊的長度，之后利用相

似來列方程求解。

方法揭秘，

相似三角形常見的判定方法：

(1)平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；

這是判定三角形相似的一種基本方法.相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型,如圖所示在應用時要

善于從復雜的圖形中抽象出這些基本圖形.

(2)三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似：

(3)兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；

(4)兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似.

判定定理“兩邊及其夾角法”是常用的解題依據,一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程,解方程

并檢驗.

如果已知乙4=/。,探求△A8C與△/)￡〃相似，只要把夾NA和的兩邊表示出來，按照對應邊成比例，分

和兩種情況列方程.

應用判定定理“兩角法”解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討淪另外兩組對應角相等.

應用判定定理“三邊法”解題不多見，根據三邊對應成比例列連比式解方程（組）.

還有?種情況，討論兩個直角三角形相似，如果?組銳角相等，其中?個直角三角形的銳角三角比是確定的，那

么就轉化為討論另?個三角形是直角三角形的問題.

典例剖析.

________________/

_7|2

【例1】（2022?貴港）如圖，已知拋物線1y=-f+Zu+c經過A（0.3）和8（磯-4）兩點，直線48與x軸相

交于點C,P是直線AB上方的拋物線上的一個動點,P/）_Lx軸交AB于點D.

（I）求該拋物線的表達式；

（2）若PE〃x軸交人8于點石，求PQ+PE的最大值；

（3）若以A,PQ為頂點的三角形與△AOC相似，請直接寫出所有滿足條件的點P,點D的坐標.

【例2】.（2022?衡陽）如圖，已知拋物線），=7-x-2交x軸于A、8兩點，將該拋物線位于x軸下方的部分

沿人?軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”，圖象W交），軸于點C.

（1）寫出圖象W位于線段AB上方部分對應的函數關系式；

（2）若直線y=與圖冢W有三個交點，請結合圖象，直接寫出b的值；

（3）P為x軸正半軸上一動點，過點P作PM//y軸交直線BC于點M,交圖象W于點N,是否存在這樣的點

P,使△CMN與△O8C相似？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在,請說明理由.

【例31（2022?桂林）如圖,拋物線），=-7+3x+4與x軸交于A.B兩點（點A位于點B的左側），與y軸交

于C點，拋物線的對稱軸/與x軸交于點N,長為1的線段PQ（點P位于點Q的上方）在x軸上方的拋物線

對稱軸上運動.

（1）直接寫出A.8c三點的坐標；

（2）求CP+PQ+QB的最小值；

（3）過點尸作尸軸于點M,當△CPM和△QBN相似時，求點Q的坐標.

【例4】（2022?玉林）如圖,己知拋物線：y=-2?+bx+c與x軸交于點（2,0）（A在8的左側），與y軸

交于點C,對稱軸是直線x=5,P是第一象限內拋物線上的任一點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點。為線段OC的中點，則△POO能否是等邊三角形？請說明理由；

（3）過點。作x軸的垂線與線段BC交于點M,垂足為點H,若以P,M,C為頂點的三角形與相似，求點

P的坐標.

備用圖

滿分訓練

1.（2020秋?興城市期末）如圖，拋物線），=火2+次+4經過A（4,0）,B（-1,0）兩點，與y軸交于點CQ為第

一象限拋物線上的動點，連接AC,BC,DA,DB、DB與AC相交于點E.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,設△ADE的面積為S,△BCE的面積為S2,當51=52+5時，求點。的坐標；

（3）如圖2,過點C作CFHx軸，點M是直線CF上的一點,MNJ_CF交拋物線于點N,是否存在以C,M,N為頂

點的三角形與△BCO相似？若存在，請直接寫出點M的坐標，若不存在,請說明理由.

圖1圖2

15.

2.（2020秋?郴州期末）已知拋物線），=2/-31+2與x軸交于A,4兩點（點A在點4的左邊）.

（1）求兩點的坐標；

（2）如圖I,若點D是拋物線上在第四象限的點，連接DA并延長，交y軸于點P,過點。作OELr軸于點E.當

.△AP0]

△4PO與△AOE的面積比為S^ADE=4時.求點。的坐標；

（3）如圖2,拋物線與y軸相交于點F.若點Q是線段OF上的動點，過點Q作與x軸平行的直線交拋物線于

MJV兩點（點M在點N的左邊）.請問是否存在以QAM為頂點的三角形與△QNA相似？若存在，求出點Q

的坐標；若不存在,請說明理由.

3.（2020秋?長垣市期末）如圖1,拋物線＞=2/+縱+。與大軸、），軸分別交于點8（6,0）和點C（0,-3）.

（1）求拋物線的解析式；

15

（2）點尸是直線BC下方拋物線上一動點，其橫坐標為皿連接PB、PC,當△P8C的面積為2時，求加值；

（3）如圖2點M是線段OB上的一個動點，過點M作x軸的垂線/分別與直線BC和拋物線交于D,E兩點,

是否存在以C,。上為頂點的三角形與△8QM相似，若存在,請直接寫出點M的坐標；若不存在,請說明理由.

4.（2021秋?鄒城市期末）如圖，已知拋物線y=f+2x的頂點為A,直線y=x+2與拋物線交于8C兩點.

（1）求A,aC三點的坐標；

（2）作CO_Lx軸于點。，求證：AODC^AABC；

（3）若點P為拋物線上的一個動點，過點P作PM±x軸于點M則是否還存在除。點外的其他位置的點，使

以O,P,M為頂點的三角形與△A8C相似？若存在，請求出這樣的P點坐標；若不存在,請說明理由.

5.（2021秋?攸縣期末）如圖，已知直線），=-2x+4分別交工軸、y軸于點八、B,拋物線過九從兩點，點2是線

段AB上一動點，過點P作PC±x軸于點C,交拋物線于點D.

（1）若拋物線的解析式為y=-%2+2戶4,設其頂點為M其對稱軸交AB于點N.

①求點M和點N的坐標；

②在拋物線的對稱軸上找一點Q,使HQ-BQ的值最大，請直接寫出點Q的坐標；

③是否存在點P,使四邊形MN尸。為菱形？并說明理由；

（2）當點P的橫坐標為I時，是否存在這樣的拋物線,使得以B、P、。為頂點的三角形與aAOB相似？若存

在,求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在,請說明理由.

6.（2022?禹城市模擬）如圖，拋物線經過A（4,0）,8（1,0）,C（0,-2）三點.

（I）求出拋物線的解析式；

（2）P是拋物線在第一象限上的一動點，過尸作PMlx軸,垂足為M,是否存在尸點,使得以4EM為頂點的

三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點夕的坐標；若不存在,請說明理由；

（3）若拋物線上有一點D（點。位于直線AC的上方且不與點B重合）使得SM6=SAABC,直接寫出點。

的坐標.

7.（2022?祥云縣模擬）如圖,已知拋物線產cM+kr+c過點A（-1,0）（3,0）,交），軸于點C（0,3）,點M

是該拋物線上第一象限內的一個動點,ME垂直x軸于點E,交線段BC于點DMN〃不軸，交），軸于點N.

（1）求拋物線y=ax1+bx+c的表達式：

（2）若四邊形MM9七是正方形,求該正方形的邊長；

（3）連結0/九4C,拋物線上是否存在點M使得以CQQ為頂點的三角形與△A8C相似,若存在，請求出點M

的坐標，若不存在,請說明理由.

8.（2022?松江區校級模擬）如圖,拋物線y=??/zr+c過點8（3,0）,C（0,-3），。為拋物線的頂點.

（1）求拋物線的解析式以及頂點坐標；

（2）連接4CCQQ良求NC3。的正切值；

（3）點C關于拋物線-云+c,對稱軸的對稱點為E點，連接BE,直線BE與對稱軸交于點M在（2）的

條件下，點P是拋物線對稱軸上的一點，是否存在點P使△CDB和△BMP相似,若存在，求點P坐標，若不存在,

9.（2022?平江縣一模）如圖，拋物線），=加+加+8與x軸交于A（-2,0）和點8（8.0）,與），軸交于點C,頂

點為。，連接AC,BC,BC與拋物線的對稱軸I交于點E.

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）點尸是第一象限內拋物線上的動點，連接P8.PC,設四邊形P80c和△A。。的面積分別為S四邊形心0C和

S,M0C,記S=S四邊形PB0C?S八A0C,求S最大值點P的坐標及S的最大值；

（3）點N是對稱軸/右側拋物線上的動點，在射線ED上是否存在點M使得以點M,N,E為頂點的三角形與

△B0C相似？若存在，求點M的坐標；若不存在,請說明理由.

10.（2022?萊州市一模）如圖①，在平面直角坐標系中,拋物線y=4』+c經過點A（4,3）,頂點為點氏點尸

為拋物線上的一個動點,/是過點（0,-2）且垂直于），軸的直線，連接PO.

（1）求拋物線的表達式，并求出頂點8的坐標；

（2）試證明：經過點。的。。與直線/相切；

（3）如圖②，已知點。的坐標為（1,2）,是否存在點P,使得以點P0及（2）中的切點為頂點的三角形與△

A3C相似？若存在，求出。點的坐標：若不存在,請說明理由.

11.（2022?鞏義市模擬）已知，二次函數y=/+%x-3的圖象與x軸交于A,B兩點（點A在點8的左邊）,

與y軸交于。點，點A的坐標為（7,0），且OB=OC.

（1）求二次函數的解析式；

（2）當0WxW4時，求二次函數的最大值和最小值分別為多少？

（3）設點。與點C關于該拋物線的對稱軸對稱.在y軸上是否存在點P,使△PCC1與△尸06相似，且PC與

PO是對應邊？若存在，求出點P的坐標；若不存在,請說明理由.

12.（2022?澄邁縣模擬）在平面直角坐標系中，拋物線經過點A：-2,0）,8（-3,3）及原點O,頂點為C

（1）求該拋物線的函數表達式及頂點。的坐標；

（2）設該拋物線上?動點P的橫坐標為九

①在圖1中，當-3<r<0時，求△P8O的面積S與t的函數關系式，并求S的最大值；

②在圖2中，若點P在該拋物線上，點E企該拋物線的對稱軸上，且以A,O,P,E為頂點的四邊形是平行四邊形,

求點P的坐標；

③在圖3中，若P是.y軸左側該拋物線上的動點，過點P作PMlx軸,垂足為機是否存在點P使得以點RM工

為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在,請說明理由.

13.（2022?豐南區二模）如圖①、②,在平面直角坐標系中，一邊長為2的等邊三角板COE恰好與坐標系中

的aOAB重合，現將三角板CDE繞邊AR的中點G（G點也是DE的中點），按順時針方向旋轉IS00到AC'

ED的位置.

（1）直接寫出C'的坐標，并求經過0、A、C三點的拋物線的解析式；

（2）點P在第四象限的拋物線上，求△《'OP的最大面積；

（3）如圖③，OG是以48為直徑的圓，過B點作OG的切線與A軸相交于點凡拋物線上是否存在一點M使

得與△AOM相似？若存在，請求出點M的坐標；若不存在,請說明理由.

14.（2022?萊蕪區三模）如圖,在平面直角坐標系中，一次函數），=-戶3的圖象與x軸交于點A,與），軸交于

點8,二次函數）=/+以+c的圖象經過A和點C（0,-3）.

（1）求二次函數的表達式；

（2）如圖1,平移線段AC,點A的對應點。落在二次函數在第?象限的圖象匕點。的對應點E落在直線A8

上，直接寫出四邊形ACE。的形狀，并求出此時點D的坐標；

（3）如圖2,在（2）的條件下，連接CZ）,交x軸于點M點P為直線C。下方拋物線上一個動點，過點P作PF

J_x軸，交CD于點凡連接尸C,是否存在點P,使得以點P,C,尸為頂點的三角形與相似？若存在，求出線

段"的長度；若不存在,請說明理由.

15.（2022?臨清市三模）如圖，拋物線），=-r+公+。的頂點。坐標為（1,4），且與x軸相交于兩點（點4

在點B的左側，與），釉相交于點C,點E在工軸上方且在對稱軸左側的拋物線上運動，點/在拋物線上并且和點

E關于拋物線的對?稱軸對稱,作矩形￡PGH,其中點G,H都在x軸上.

（1）求拋物線解析式；

（2）設點尸橫坐標為加,

①用含有機的代數式表示點E的橫坐標為（直接填空）；

②當矩形EFGH為正方形時，求點G的坐標；

③連接A。,當EG與4。垂直時，求點G的坐標；

（3）過頂點。作OMLi軸于點M,過點/作FP_LA。于點P,直接寫出尸與△QAM相似時，點尸的坐標.

備用圖

16.（2022?成都模擬）如圖①，已知拋物線），=-（x-1）2+&交x軸于A,B兩點，交y軸于點C,P是拋物線

上的動點,且滿足OB=3OA.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P在第一象限.直線y^2x+b經過點PH與直線BC交于點￡設點P的橫坐標為/.當線段PE的

長度隨著/的增大而減小時，求r的取值范圍；

（3）如圖②，過點A作8c的平行線也與拋物線交于另一點。.點P在直線加上方，點Q在線段A。上，若

△C尸Q與△AOC相似，且點P與點O是對應點，求點P的坐標.

圖①圖②

17.（2022?東莞市校級一模）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線產-/+2米+2狂+1與x軸的左交點為

A,右交點為B,與y軸的交點為C,對稱軸為直線/,對于拋物線上的兩點（加Ji）,（X2,）2）（工1V%Vx2）,當xi+x2

=2時,yi?”=0恒成立.

（I）求該拋物線的解析式；

（2）點M是第二象限內直線4c上方的拋物線上的一點，過點M作MN±AC于點N,求線段MN的最大值,

并求出此時點M的坐標；

（3）點尸是直線/右側拋物線上的一點,PQ_L/于點交直線/于點尸，是否存在這樣的點P,使尸與

△4C0相似？若存在，請求出點P的坐標，若不存在,請說明理由.

18.(2022?碑林區校級模擬)如圖,RtZkA8c中,N4C3=90°<8=84C=4,以48所在直線為.r軸建立平面

直角坐標系，若。(0,2^3).

(1)請直接寫出4、8的坐標；

(2)求經過4、8、C三點的拋物線表達式；

(5)1為拋物線對稱軸/是直線/右側拋物線上的點，過點〃作/的垂線，垂足為D、E是/上的點.要使以產、

。、E為頂點的三角形與△/18c全等，求滿足條件的點P,點E的坐標.

典例剖析.

_______________Z

7_2

[例1](2022?貴港)如圖，已知拋物線)，=-，+小+。經過4(0,3)和4(E,-4)兩點，直線A4

與x軸相交于點C,P是直線AB上方的拋物線上的一個動點，尸。_Lx軸交AB于點D.

(I)求該拋物線的表達式：

(2)若PE//X軸交AB于點￡求PD+PE的最大值；

(3)若以A,PQ為頂點的三角形與△AOC相似，請直接寫出所有滿足條件的點P點D的坐標.

【分析】(1)直接利用待定系數法，即可求出解析式；

(2)先求出點C的坐標，然后證明RtAOPEsRtaAoc,再由二次函數的最值性質，求出答案；

(3)根據題意,可分為兩種情況進行分析：當△AOCS^AQD的；當△AOCS^DA尸時；分別求出

兩種情況的點的坐標，即可得到答案.

]_a

【解析】(1)將A(0,3)和3(2,-4)代入y=-j^+hx+c,

-(1)24?+<==-1

/b=2

解得1c=3,

???該拋物線的解析式為)=?/+2什3；

7_?

(2)設直線AB的解析式為產依+幾把A(0,3)和B(2,-4)代入,

fn=3

解得〔片3,

3,

???直線AB的解析式為尸?工\+3,

3,

當y=0時,?2X+3=0,

解得：尸2,

???C點坐標為(2,0),

???PO_Lx軸,PE〃工軸，

工/ACO=/DEP,

.,.RtADPE^RtAAOC,

PD二0A二3

Z.PE=0C"2,

2

:,PE=3PD,

5.

,PD+PE=3PD、

設點。的坐標為(a,-J+2〃+3)，則。點坐標為(〃,-21+3),

3\7_49

???PO=(-a2+2a+3)-(■司。+3)=-(?-4)2+16,

57245

：.PD+PE=-3(a-4)2+48,

_5

???-耳V0,

_7245

.?.當4=4時,尸。+尸片有最大值為48；

(3)①當△人0CS/\AP。時，

???PO_Lx軸,，

???點P縱坐標是3,橫坐標x>0,

即-/+2x+3=3,解得x=2,

???點。的坐標為（2,0）；

???PO_Lx軸，

???點P的橫坐標為2,

???點P的縱坐標為：），=-22+2X2+3=3,

???點尸的坐標為（2,3）,點。的坐標為（2,0）；

②當△AOCS^OA尸時，

此時NAPG=N4CO,

過點A作AG_LP。于點G,

/.△APGs/MCO,

PGQC

.-.AG'AO,

3.

設點P的坐標為（/加-"再2打+3）,則。點坐標為（m,-2m+3）,

―m2+2m+3_3_2

則m-3,

_4

解得：陽=可

_4_435

二。點坐標為（31）/點坐標為（瓦T）,

綜上，點。的坐標為（2,3）,點。的坐標為（2,0）或。點坐標為（3,9），。點坐標為（-3|,1）.

【例2】（2022?衡陽）如圖,已知拋物線尸/-X-2交x軸于4、B兩點，將該拋物線位于x軸下方

的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”，圖象W交），軸于點C.

（I）寫出圖象卬位于線段A8上方部分對應的函數關系式；

（2）若直線），=-x+8與圖象卬有三個交點，請結合圖象，宜接寫出8的值；

（3）P為k軸止半釉上一動點，過點P作〃5軸交直線8c于點M.交圖象W于點N,是否存在這

樣的點P,使△CMN與△08。相似？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理

【分析】(1)令x=0和翻折的性質可得C(0,2)，令),=0可得點4、B的坐標，利用待定系數法即

可求出圖象W的解析式：

(2)利用數形結合找出當)，=-x+b經過點C或者y=-x+b與)，=7-x-2相切時，直線)，=-x+b

與新圖象恰好有三個不同的交點，①當直線y=?x+〃經過點C(0,2)時，利用一次函數圖象上點的

坐標特征，即可求出b值；②當產-x+b與尸f-x-2相切時，聯立一次函數解析式和拋物線解析

式.利用根的判別式△=0,即可求出人值.綜上即可得出結論；

(3)先確定△8OC是等腰直角三角形,分三種情況：NCNM=90°或/MCN=90°,分別畫圖可得

結論.

【解析】(1)當x=0時,y=-2,

AC(0,2),

當y=0時7-x-2=0,

(x-2)(x+1)=0,

Axi=2^2=-1,

???A(-1,0),3(2,0),

設到象W的解析式為：產。(x+1)(x-2),

把C(0,2)代入得：-2a=2,

：,a=-1,

/.y=-(x+1)(x-2)=-f+x+2,

???紐象W位于線段AB上方部分對應的函數關系式為：)，=-』+x+2(-l<x<2)：

(2)由圖象得直線)，=-戶》與圖象W有二個交點時，存在兩種情況：

①當直線丁=過點。時,與圖象W有三個交點，此時b=2；

x1-2x+b-2=0,

△=(-2)2-4XlX(Z?-2)=0,

?'?b=3,

綜上力的值是2或3；

(3)9：OB=OC=2,ZBOC=90C,

???△8OC是等腰直角三角形，

???PN〃y軸,

:.P(1,0)；

E

如1]3、CN〃OBGCNMs△BOC、

圖3

當y=2時f-x-2=2,

x1-x-4=0,

.*.XI=242=2,

??.p(2,0)；

???CN的解析式為：)，=x+2,

.*.x+2=x2-x-2,

.*..V|=1+V^r2=1-(舍),

:?P(l+Vs,0),

綜上，點。的坐標為(1,0)或(2,0)或(1+遙,0).

【例3】(2022?桂林)如I圖，拋物線y=-』+3戶4與X軸交于A、B兩點(點A位于點B的左側)，與

)，軸交于。點』由物線的對稱軸/與x軸交于點N,長為1的線段PQ(點P位于點Q的上方)在x軸

上方的拋物線對稱軸上運動.

(I)直接寫出人反C三點的坐標；

(2)求CT+PQ+Q笈的最小值；

(3)過點尸作PMJLy軸于點M,當△CPM和△QBN相似時，求點Q的坐標.

【分析】(1)由y=-/+31+4可得人(-1,0),B(4,0),C(0,4)；

(2)將C(0,4)向下平移至C,使CC=PQ,連接3c交拋物線的對稱軸/于。，可知四邊形CCQP

是平行四邊形，及得CP+PQ+BQ=CQ+PQ+BQ=BC+PQ,而4,QC共線,故此時CP+PQ+BQ最小，最

小值為BC+PQ的值，由勾股定理可得AC=5,即得CP+PQ+BQ最小值為6；

3&3_3_

(3)由在)，=-J+3x+4得拋物線對稱軸為電線x=--2=2，設Q(2，力，則P(2j+1)jW(0.r+l),N

_3

-2

芭2至CMPl11-3|瓦_3_lb

(2,0),知BN=2QN=t,PM=2-3|,①當QN=BN時,"=2，可解得Q(5丁)

It-3|3_

3,J5OdPM_52_(3|中3+2/6_).

或(2,8)；②當麗|=QN時，2=3得。

【解析】(1)在y=-f+3x+4中，令x=0得y=4,令y=0得x=-1或x=4,

AA(-1,0),B(4,0),C(0,4)；

(2)將C(0.4)向下平移至。.使CC=PQ.連接8。交拋物線的對稱軸/于Q.如圖:

???西邊形CCQ尸是平行四邊形，

：.CP=CQ,

：.CP+PQ+BQ=CQ+PQ+BQ=BC+PQ,

???B,Q,C共線，

???比時CP+PQ+BQ最小，最小值為BC+PQ的值,

VC(0,4),CC=P0=1,

:.C(0,3),

VS(4,0),

22

.-.SC=V3+4=5,

JBC+PQ=5+1=6,

???CP+PQ+8Q最小值為6；

33.

由在)，=-7+3戶4得拋物線對稱軸為直線x=-互1=5,

331

設。(2設，則P(2,r+i)yM(Oj+I),N(2。),

VS(4,0),C(0.4)：

_53

:,BN=2QN=tTM=2yCM=\t-3|,

?：4CMP=NQNB=90°,

CMPMCMPM

?,.△CPM和△Q8N相似，只需QN=BN或BN=QN,

3

2

CMPM11-315_

①當QN=BN時，t=2

15

解得t=2或/=■M

3_3_J5l

???2(~2,~)或

11-3|3_

CMPM5_2_

②當BN=QN時，2=t,

3+Nl3-2氏

解得—一尸或尸一~（舍去），

3^3+276

，。(2,2),

3,15旦箜逅

綜上所述,Q的坐標是（萬，彳）或（可「§"）或（52_）.

【例4】（2022?玉林）如圖,已知拋物線：>>=?2?+公+。與工軸交于點A,B（2,0）（A在B的左側）,

與y軸交于點C,對稱軸是直線x=5,P是第一象限內拋物線上的任一點.

（I）求拋物線的解析式；

（2）若點。為線段。C的中點，則△POO能否是等邊三角形？請說明理由；

（3）過點P作x軸的垂線與線段BC交于點M垂足為點兒若以P,M,C為頂點的三角形與

相似，求點P的坐標.

備用圖

【分析】（1）把點B（2,0）代入j=-2A2十以十c中，再由對稱軸是直線x=2列方程，兩個方程組成方

程組可解答；

（2）當△PO。是等邊三角形時，點尸在0。的垂直平分線上,所以作OD的垂直平分線與拋物線的

交點即為點P,計算。。W可知△P。。不可能是等邊三角形；

（3）分種情況：①當PC〃x軸時,時，根據夕”的長列方程可解答；②②如圖3,

△尸CMs△8,憶過點P作軸于E證明△PECS/XCOE,可得結論.

r-8+2b+c=0

?__b__1_

【解析】（1）由題意得：IW5,

fb=2

解得：1c=4,

J拋物線的解析式為：y=-2.d+Zt+4；

（2）△PO。不可能是等邊三角形，理由如下：

如圖1,取OD的中點及過點E作EP//X軸,文拋物線于點P,連接PD,PO,

:?E(0,1),

當y=1時，-2?+2x+4=l,

2?-2x-3=0,

解得：.盯=2j2=2(舍)，

：,P(21)，

???△PO。不可能是等邊三角形；

(3)設點P的坐標為Ct,-2r+2r+4)MOH=t,BH=2-r,

分兩種情況：

①如圖2,?CMPs叢BMH、

：,ZPCM=/OBC,NBHM=NCPM=90",

tan/OBC=tan/PCM,

理史里4

.?.BH|=CP=0B=-2=2,

:?PM=2PC=2i,MH=2BH=2(2-r),

?:PH=PM+MH,

/.2r+2(2-i)=-2r+2/+4,

解得：h=0魂=1,

:.P(1,4)；

②如圖則NPCM=N8〃例=9()°,

:?/PEC=NBOC=NPCM=9h,

:?/PCE+NEPC=NPCE+/BCO=90°,

:"BCO=/EPC,

:.dPECs^cOB、

PEIPC

AECI=OB,

o一

-2t+2t+4-4=2,

3.

解得：”=0(舍)A=4,

3_35

：,P(4,8)；

且國

綜上，點P的坐標為(1,4)或(4,8I).

滿分訓練.

I.(2020秋?興城市期末)如圖地物線)，=&+法+4經過A(4,0),B(-1,0)兩點，與y軸交于點

CQ為第?象限拋物線上的動點，連接AC/CD4Q&O8與AC相交于點E.

(I)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,設aADE的面積為Si,Zk8CE的面積為S2,當Si=S?+5時，求點。的坐標；

(3)如圖2,過點C作C尸〃x軸，點M是直線C尸上的一點,MN_LC?/交拋物線于點N,是否存在以C,M,N

為頂點的三角形與△BCO相似？若存在，請直接寫出點M的坐標，若不存在,請說明理由.

【分析】(1)運用待定系數法將A(4,0),8(-1,0)代入＞，=加+法+4,解方程組即可求得答案：

(2)根據題意，當SI=S2+5,即SU5Q=S》8C+5,設。(xj),表示出△AB。和△ABC的面積，列方程

求解即可；

(3)分情況討論，列出三角形相似的三種情況,畫出相應圖形，設M(皿4),則N(肛-，/+3m+4),

運用相似三角形性質，建立方程求解即可.

【解析】(1)???拋物線產/+后+4經過A(4.0).B(-1,0)兩點，

/16a+4b+4=0

AIa-b+4=0.

(a=-l

解得：Ib=3,

/.y=-f+3x+4；

(2)V拋物線y=-f+3"4與v軸交于點C,令x=0,則)，=4,

AC(0,4),

??3=S2+5,

.*?S1+S/^AEB=Sl+S/^AEB+S,

即S^,ABD=S^.ABC+5,

VA(4,0),B(-1,0),

，A8=5,

設。a,y),

：.2X5Xy=2X5X4+5,

**?y=6,

-f+3x+4=6,

解得：X[=142=2,

Z.D](1,6)。(2,6)；

(3)設M(〃?,4),貝!jN(m,-ni2+3m+4)?

①如圖2,ABOCsANMC,

PC

=MC,

TT--------9

,?.-m+3m+4-4=m|,

11

解得：加=0(舍去),m=4,

11

經檢驗,〃?=N是原方程的解,

11

(4,4)；

②如圖3,4BOCsXCMN、

BOl0C

則司=而，

/.-m=4-(-m2+3m+4)

解得：m=0(舍去),m=-1,

經檢驗,〃?=-1是原方程的解,

???M(-1,4)；

③如圖A,/\BOCS?NMC、

：,4-(-m2+3m+4)=m.

13

解得：5=0(舍去)，〃?=4,

13

經檢驗,，“=N是原方程的解,

13

(4,4)；

④如圖5AB0Cs4CMN,

BOl0C

則CI=HN,

2----------------------------

m=4-(-m2+3m+4)

解得："，=0（舍去），〃?=7,

經檢驗附=7是原方程的解，

???M（7,4）;

1113

綜上所述，點M的坐標為（4,4）或（-1,4）或（4,4）或（7,4）.

M

2.（2020秋?郴州期末）己知拋物線），=2/-3x+2與x軸交于AB兩點（點A在點3的左邊）.

（I）求A,B兩點的坐標；

（2）如圖1,若點。是拋物線上在第四象限的點，連接DA并延長，交），軸于點P,過點。作。E_Lx軸

S/kAPO]

于點E.當△AP。與△ADE的面積比為SAADE=4時.求點的坐標；

（3）如圖2,拋物線與），軸相交于點足若點。是線段0*上的動點，過點Q作與x軸平行的直線交

拋物線于MJV兩點（點M在點N的左邊）.請問是否存在以為頂點的三角形與△QVA相似？

若存在，求出點。的坐標；若不存在,請說明理由.

【分析】（1）在拋物線解析式中，令y=0則可求得A、8的坐標；

（2）證明AAOPs△4￡￡>,根據相似三角形面積的比等于對應邊的比的平方列比例式可得AE=2,

從而得點D的橫坐標為3,代入拋物線的解析式可得點。的坐標；

（3）如圖2所示，若以QAM為頂點的三角形與△QVA相似，有兩種情況，但是NQAM與NQAN不

可能相等,所以最后只存在一種情況：△AQMs/XNQA,列比例式可得結論.

2_5

【解析】（1）當y=0時,2%2-3x+2=0,

解得：%I=1?X2=5,

（1,0）,B（5,0）；

（2）???OE_Lx軸，

???/AEO=90°,

???乙4。尸=N4ED=90°,

?：N（）AP=NDAE,

△AOPs/\AED、

.??SAADE=，AE>=4,

QAl1

.-.AE|=?,

VOA-1,

：,AE=2,

：?OE=3,

ai

當x=3時,y=2-3X3+^1=-2,

:.D（3,-2）；

（3）如圖2,設。（0,加），

5.

當％=0時,丁=2,

5

???點Q是線段0尸上的動點，

_5

1_5

當y=m時,27-3x+2=m,

f-6A+5-2/?i=O,

x=3±」4+2m,

???xi=3+Y4+2m盟=3-V4+2m,

，QM=3-74+2m.QN=3+74+2m,

在Rt2\AOQ中，由勾股定理得：AQ=Jl+m2,

???/AQM=NAQN,

J當△AQW和△AQN相似只存在一種情況：△AQMS/XNQA,

AQ二QM

??.而F

：.AQ^=NQ*QM^l+/n2=(3+V4+2m)(3-V4+2m),

解得；itt\---1-(含O,

:.Q(0,-1+V5).

3.(2020秋?長垣市期末)如圖1,拋物線)，=2/+加+°與1軸、),軸分別交于點8(6.0)和點C(0,

-3).

(I)求拋物線的解析式；

E

15

（2）點P是直線BC下方拋物線上一動點，其橫坐標為，兄連接PB、PC,當APBC的面積為2時,

求m值；

（3）如圖2,點M是線段0B上的一個動點，過點M作x軸的垂線/分別與直線BC和拋物線交于D,E

兩點，是否存在以CD,E為頂點的三角形與△8OM相似,若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在,

請說明理由.

【分析】（1）根據點A、8的坐標，利用待定系數法即可求出該拋物線的函數關系式；

（2）根據點P是直線BC下方拋物線上?動點，其橫坐標為加，表示PH的長，根據三角形的面積列方

程解出即可得出結論：

（3）先根據兩三角形相似判斷出/CEO=NBMQ=90°或NQCE=/QM8=90°,進而分兩種情況

討論即可得出結論.

19

yX6,6b+c=0

_12,

V--V+vbY+c

【解析】（1）把點4（60）和點C（0,-3）代入2得：c=-3

解得：lc=-3,

2

y=ix-x-2

???拋物線的解析式為22；

（2）設直線8c的解析式為：

[6a+n=0

由點3（6,0）和C（0,-3）得：ln=-3,

解得：ln=-3,

???直線8c的解析式為

如封L過點P作y軸的平行線交BC于點”.

?

丁

圖1

125,

???點P的坐標為(皿2nl2ra'*),PH〃y軸，

1TTj-c?

???點”的坐標為(m,21,

25212g

ym-3ym1m-3)=-7m+3n

PH=yn-yp=2-(2

XB-xc=b-0=6,

2

ym+3n2

、fm+9xr與

，：SWBC=2PHX6=2()X6=-2=2,

解得：〃“=1,〃?2=5,

J冽值為1或5；

(3)如圖2「??NCOE=N8OMACDE與△BOM相似,

，/CED=/BMD=90°或NOCE=NZ)M8=90°,

設M(x,0),

①當NCED=NBDM=90",

：.CE//AB,

VC(0,-3),

???點E的縱坐標為-3,

???點E在拋物線上.

1_5

???2x2-2x-3=-3.

.*.x=0（舍）或x=5,

（5,0）；

②當/DCE=/DMB=90°,

???D8=6,OC=3,

A?C=V62+32=3事＞,

由（2）知直線8c的關系式為產2x-3,

/.OM=x,BM=6-x,QM=3-2丸

12

由（2）同理得￡Q=-2x+3M

,:DM〃OC,

0M二CDx=

工麗前即6不回

Vsx

：.CD=2,

V5j

：.BD=BC-CD=375-llx,

?：4ECD<*BA4D、

屈x12Q

—?

CD_DE~F~m

-3x

r.DIBD,fip2=時52,

.A"-.：'。總)2

x(6-x)(1-x)=0,

X]=0(舍)42=6(舍)/3=1,

：.M(1,0)：

綜上所述：點M的坐標為(5,0)或(1,0).

4.(2021秋?鄒城市期末)如圖，已知拋物線.y=/+2x的頂點為A,直線y=x+2與拋物線交于BC兩

點.

(I)求人BC三點的坐標；

(2)作C7)_Lx軸于點D求證：△OOC'SZXABC；

(3)若點夕為拋物線上的一個動點，過點P作軸于點M.則是否還存在除C點外的其他位置

的點，使以O,P,M為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出這樣的P點坐標；若不存在，請說明

理由.

【分析】(1)將拋物線配方后可得頂點4的坐標，將拋物線和一次函數的解析式聯立方程組,解出可

得8和C的坐標；

⑵先根據兩點的距離計算4B、BC、4C的長，根據勾股定理的逆定理可得：NA8C=90°,最后根

據兩邊的比相等且夾角為90度得兩三角形相似：

PMABPM

(3)存在，設M(尤0),則P(xf+2x)，表示。加二風戶例二F十況分兩種情況：有0M=CB或0M=

CE

詞,根據比例式代入可得對應工的值,計算點P的坐標即可二

【解答】(I)解：y=/+2x=(A+I)2-1,

工頂點A(-1,-1)；

2

y=x+2x(x=-2x=l

由〔y=x+2_，解得：y=0或1y=3

:?B(-2,0),C(1,3)；

(2)證明：VA(7,7),8(-2,0),C(1,3),

22

.?.AB=7(-2+1)+(0+1)=V2,

8c=4(21產+(0-3)2=3立

AC=1GlT)2+(-l-3)2=2恒

AB咚1

.*.AB2+I3C2=AC2,BC=3V2=3,

???/A8C=90°,

QDl1

/.CDl^,

ABJ)D

ABC-CD,Z/4BC=ZODC=90O,

???△OOCs/MBC；

(3)存在這樣的尸點，

設M(A-,O)，則P(x*+2x),

???OM=W|,PM=|?+2A1,

當以O,P,M為頂點的三角形與△,［灰?相似時,

PMlABPMCB

有0M=CB或0M—AB,

由(2)知：AB=?、C