小升初奧數第5講數論綜合

第九講：小升初專項復習（七）——數論綜合一、訓練目標知識傳遞：掌握數論的相關知識，并能用之分析、解決一些數論基本問題。能力強化：分析能力、理解能力、推理能力、轉化能力、推算能力、綜合能力。思想方法：整除思想、奇偶思想、比較思想、對應思想、恒等思想、同余思想。二、知識與方法歸納數論是研究整數性質的一個數學分支，它歷史悠久，而且有著強大的生命力，數論問題敘述簡明，“很多數論問題可以從經驗中歸納出來，并且僅用三言兩語就能向一個行外人解釋清楚，但要證明它卻遠非易事”．因而有人說：“用以發(fā)現天才，在初等數學中再也沒有比數論更好的課程了．任何學生，如能把當今任何一本數論教材中的習題做出，就應當受到鼓勵，并勸他將來從事數學方面的工作．”所以在國內外各級各類的數學競賽中，數論顯得格外重要，數論研究的是奇數、偶數、素數、合數，這些最簡單的數——整數及其內部關系，但是從這些簡單的數中誕生了“哥德巴赫猜想”這樣的難題，它們吸引數學家們花費數十年、甚至整世紀努力研究．小學數學競賽和小升初擇校考試中的數論問題，常常涉及整數的整除性、質數與合數、約數與倍數、帶余除法、奇數與偶數和整數的分解與分拆同余、中國剩余定理等．三、經典例題例1.某自然數除2840，余數是32，這個自然數最小是多少？例2.有四個小朋友，年齡逐個增加一歲，4個人年齡的乘積是3024，問其中年齡最大的一個是幾歲？例3.要使4個數的乘積135×975×342×（）的結果最后5位數字全是0，（）內的數最小應是多少？例4.一本陳年老賬上記著：88只桶，共□67.9□元。這里□處字跡不清。請把□處數字補上，并求桶的單價。例5.在2012后面補上3個數字，組成一個七位數，使它能分別被3、4、5整除，這個七位數最大是多少？例6.一個正整數與1080的乘積是一個完全平方數，求的最小值與這個完全平方數。例7.甲數是24，甲、乙兩數的最小公倍數是168，最大公約數是4，求乙數.例8.○×（□+△）=209.在○、□、△中各填一個質數，使上面算式成立.例9.有三根鐵絲，長度分別是120厘米、180厘米和300厘米。現在要把它們截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最長多少厘米？一共可以截成多少段？例10.求360的約數個數，并求出360的所有約數的和。例11.用一個自然數去除300、262、205，得到的余數相同，且不為零。求這個數是多少。例12.滿足被5除余3，被6除余1，被7除余2的最小自然數是多少？※例13.商店里有六箱貨物，分別重15，16，18，19，20，31千克，兩個顧客買走了其中的5箱。已知一個顧客買的貨物重量是另一個顧客的2倍。問：商店剩下的一箱貨物重多少千克？四、重點練習1、有三個學生,他們的年齡一個比一個大3歲,他們三個人年齡數的乘積是1620,這三個學生年齡的和是多少？2、從運動場一端到另一端全長96米，每隔4米插一面紅旗，現在要改成每隔6米插一面紅旗.問有多少面紅旗不必拔出來？3、一次會餐共有三種飲料，餐后統(tǒng)計，三種飲料共用了91瓶；平均每2個人飲用一瓶A飲料，每3人飲用一瓶B飲料，每4人飲用一瓶C飲料。問參加會餐的人數是多少人？4、一個數除以5余3，除以6余4，除以7余1，求適合條件的最小自然數。5、1×2×3×4×……×99×100的乘積末尾有多少個零？五、家庭交流內容例1解答提示:這個自然數能整除（2840-32）的約數，那么這個自然數一定是（2840-32）的約數，且必須大于余數32。專家點評:本題解題關鍵是先轉化為整除，再根據“除數一定要比余數大”這一條件來篩選。例2解答提示:遇到幾個數的積，首先考慮分解質因數。專家點評:先分解質因數，再搭配成四個連續(xù)自然數。例3解答提示:將135,975,342先分解質因數，再配成質因數2與5各5個即可。專家點評:積末尾0的個數由所有因數中所含質因數2與5的對數決定。例4解答提示:將88分解成“8×11”，再分別滿足被8整除和被11整除即可。專家點評:本題關鍵是理解“若b能整除a,c能整除a，且b、c互質，則bc能整除a”，再利用數的整除性來解題。例5解答提示:考慮數的整除性或利用最小公倍數解答。專家點評:本題可分別考慮被5、4、3整除來解答，也可利用被3,4,5的最小公倍數整除進行估值調整。例6解答提示:將3780先分解質因數，再將所有質因數都配成偶數個，然后就可平分成2份組成平均數。專家點評:根據完全平方數的特點進行解答。例7解答提示:理解兩數與它們的最大公因數、最小公倍數的關系。專家點評:運用ab=[a,b]×(a,b)來解答本題較為簡單。例8解答提示:先將209先分解質因數，再進行奇偶分析，分拆成三個質數，使○×（□+△）=209。專家點評:本題關鍵是利用分解質因數與奇偶分析來解答。例9解答提示:要三根鐵絲將截成相等的小段，并使每小段最長，就是求120,180,300的最大公因數。專家點評:理解最大公因數的概念。例10解答提示:通過分解質因數來解答。專家點評:利用分解質因數，牢記公式。例11解答提示:利用同余的性質解答。專家點評:理解“如果a，b除以c的余數相同，那么a與b的差能被c整除”與公因數的意義。例12解答提示:因為6-1=5,7-2=5，所以這個數比6,7的公倍數少5，抓住這一點枚舉就能很快解答。專家點評:抓住本類題中的“同余或同補”情況，可以更好的對題目進行解答。※例13解答提示:顯然，兩個客人取走的5箱重量是3的倍數，那么，最后剩下的一箱被3除的余數與六箱貨物總和被3除的余數相同，抓住這一特點即可解答。專家點評:利用同余知識解題。第九講經典例題答案例1、36例2、9例3、400例4、667.92,7.59例5、2012940例6、30,32400