2024-2025學年湖南省湘一名校聯盟高一下學期期中聯考數學試題及答案

高一數學考生注意：答題前，考生務必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數滿足，則（）A.B.C.D.2.已知圓柱的底面半徑為1，側面積為，則該圓柱的體積為（）A.B.B.C.D.3已知集合，，則（）A.C.D.4.如圖，是平行四邊形的邊為（）A.C.B.D.5.已知，則（）第1頁/共5頁A.B.C.D.6.如圖，點為正方形的中心，點在平面）外，是線段的中點，則下列各選項中兩條直線不是異面直線的為（A.C.與與B.D.與與7.如圖的方斗杯古時候常作為盛酒的容器，其形狀是一個上大下小的正四棱臺，上底面邊長為面邊長為.則該方斗杯的容積為（）A.B.C.D.8.定義域為的函數的圖象的兩個端點為，點滿足.點是的圖象上一點，其中，其中為原點，我們把的最大值稱為的“峰值”.若函數的峰值為，則D.4（）A.1B.2C.3二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量滿足，與的夾角為，則（）AB.C.與共線D.第2頁/共5頁10.在中，內角，則，則的對邊分別為，則下列結論中正確的是（）A.若B.若C.若，則，則一定是等腰三角形一定等邊三角形中，D.若如圖，在直三棱柱則（），，，且，P為的中點，A.三棱錐C.四棱錐的體積為4的體積為8B.三棱錐D.三棱錐的體積為的表面積為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.函數13.已知向量14.在三棱錐與且的圖象所過定點的坐標為__________.，則__________.是等腰直角三角形，滿足中，底面的面積之比為，且，若點都在球的球面上，則球的表面積為__________.四?解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數的最大值為1.（1）求的值及（2）求使的最小正周期；成立的的取值集合.16.如圖，在直三棱柱中，分別是的中點.第3頁/共5頁（1）證明：（2）若平面；，且，求三棱錐的高.17.如圖，中，點C，D分別在線段OA和AB上，.（1）若，求的坐標和模；，求實數的值.（2）若AE與OD的交點為，設18.已知復數.（1）若為純虛數，求（2）若關于方程.有兩個不同的根，且兩個根都能寫成題中的形式，分別求下面兩種情況下的值：（i）兩個根都是實數；（ii）兩個根都是虛數.19.在中，內角的對邊分別是，已知，求，且.（1）求（2）若（3）若；為內一點且長度的最大值；為銳角三角形，求的周長的取值范圍.第4頁/共5頁高一數學考生注意：答題前，考生務必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數滿足，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用復數的乘法運算可得答案.【詳解】因為，所以.故選：B2.已知圓柱的底面半徑為1，側面積為，則該圓柱的體積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根據側面積求出圓柱的高，利用體積公式可得答案.【詳解】設高為，因為圓柱的底面半徑為1，側面積為，所以，即.圓柱的體積為故選：C.3.已知集合，，則（）AB.C.第1頁/共16頁D.【答案】C【解析】【分析】先求解集合，然后根據交集的定義求解即可.【詳解】因為所以，所以，所以，.故選：.4.如圖，是平行四邊形的邊為（）A.C.B.D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量三角形法則,用向量【詳解】因為所以分別表示，然后即可得解.易知,，又為的中點，所以，所以,，因此故選：A5.已知，則（）第2頁/共16頁A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據齊次式可得【詳解】由，進而根據正切差角公式求解.得，故，因此，故選：D6.如圖，點為正方形的中心，點在平面）外，是線段的中點，則下列各選項中兩條直線不是異面直線的為（A.C.與與B.D.與與【答案】D【解析】【分析】根據空間中點，線，面的位置關系逐一判斷即可.【詳解】在正方形所以在平面中，，內，不在直線上，又不在平面平面不在平面平面不在平面內，所以與異面；因為又，在平面內，不在直線異面；上，內，所以與因為又，在平面內，不在直線異面；上，內，所以與第3頁/共16頁連接，因為點為正方形的中心，又是線段的中點，所以，所以在平面內，所以與不是異面直線.故選：.7.如圖的方斗杯古時候常作為盛酒的容器，其形狀是一個上大下小的正四棱臺，上底面邊長為面邊長為.則該方斗杯的容積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】臺、、、、、的中點分別為、、、與棱臺的體積之比，即可得該方斗杯可盛該種酒的總容積.的中點分別為，如下圖所示：【詳解】設線段、、、、易知四邊形則為等腰梯形，因為線段，、的中點分別為、，第4頁/共16頁設棱臺則棱臺則的高為，體積為的高為，設其體積為，則，，，所以，，所以，該方斗杯可盛該種酒的總容積為.故選：B.8.定義域為的函數的圖象的兩個端點為，點滿足.點是的圖象上一點，其中，其中為原點，我們把的最大值稱為的“峰值”.若函數的峰值為，則D.4（）A.1B.2C.3【答案】C【解析】【分析】先求解【詳解】由題意的表達式，根據表達式求出最大值可得答案.，，，；，，令令，則，，，第5頁/共16頁由于因為，且，當且僅當時取到最小值.的峰值為，即的最大值為或，所以，解得（舍）.故選：C二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量A.滿足，與的夾角為，則（）B.D.C.與共線【答案】ACD【解析】【分析】由已知可得和，根據向量模的坐標運算即可判斷；根據向量數量積的坐標運算即可判斷；由向量共線定理可判斷；由向量夾角的坐標運算即可判斷.【詳解】因為所以，所以，，，故正確；，所以，所以與共線，故正確；因為與不垂直，故不正確；因為，所以因為，因，故，故正確.故選：.10.在中，內角的對邊分別為，則下列結論中正確的是（）A.若B.若C.若，則，則，則一定是等腰三角形第6頁/共16頁D.若，則一定等邊三角形【答案】BCD【解析】AB的正弦公式及三角形內角和定理即可判斷C;利用正弦定理化邊為角即可判斷D；【詳解】對于A：當對于B：因函數時，滿足，而此時時，有，故A錯誤；在區間上單調遞減，故，又因為大邊對大角，小邊對小角即可得到，故B正確；對于C：因為，所以,即，故，又因為,故或(舍去)，所以一定是等腰三角形，故選項C正確；，即一定是等邊三角形,故選項D正確；對于D：因為，所以，故，所以,則故選：BCD如圖，在直三棱柱則（）中，，，，且，P為的中點，A.三棱錐C.四棱錐的體積為4B.三棱錐D.三棱錐的體積為的體積為8的表面積為【答案】ACD【解析】第7頁/共16頁【分析】借助幾何體的表面積和體積公式逐項計算即可得.【詳解】對A：，故A正確；有共同的高，對B：∵P為對C：，而三棱錐與三棱錐的中點，∴，∴，故B錯誤；，故C正確；，對D：由題可知，，，，∴∴是直角三角形，，∴三棱錐的表面積為：，故D正確．故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.函數且的圖象所過定點的坐標為__________.【答案】【解析】【分析】利用對數函數的性質可得答案.【詳解】當故答案為：13.已知向量時，，即時，，所以函數圖象所過定點的坐標為.滿足，則__________.【答案】【解析】【分析】利用向量數量積的運算律與【詳解】由求解.，則則，即，，即，第8頁/共16頁故，即.故答案為：14.在三棱錐與.中，底面的面積之比為是等腰直角三角形，，且，若點都在球的球面上，則球的表面積為__________.【答案】【解析】【分析】作出輔助線，根據兩三角形面積之比求出，因為兩兩垂直，故三棱錐的外接球即為以為長寬高的長方體外接球，從而得到外接球半徑，得到外接球表面積.【詳解】三角形由勾股定理得是等腰直角三角形，，故⊥，，取的中點，則，因為，，平面，故⊥平面平面，則，因為，所以⊥，設故，，⊥，，與的面積之比為，故，解得，故點，都在球的球面上，因為的外接球即為以兩兩垂直，故三棱錐故外接球半徑為為長寬高的長方體外接球，，第9頁/共16頁球的表面積為故答案為：四?解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數的最大值為1.（1）求的值及的最小正周期；（2）求使成立的的取值集合.【答案】（1），最小正周期為（2）【解析】1）先化簡函數利用最值求，利用周期公式求周期；（2）根據三角函數的性質求解不等式即可.小問1詳解】，因為最大值為1，所以【小問2詳解】；周期.由可得，所以故使，解得，成立的的取值集合為.第10頁/共16頁16.如圖，在直三棱柱中，分別是的中點.（1）證明：平面；（2）若，且，求三棱錐的高.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）利用平行四邊形的性質得出線線平行，再結合線面平行的判定證明即可；（2）利用等體積法可求答案.【小問1詳解】取的中點，連接,因為分別為中點，所以且，因為因為所以所以，所以，為中點，所以且，即四邊形平面為平行四邊形，，又平面，，平面.第11頁/共16頁【小問2詳解】因為，且，所以，;所以面積為，設三棱錐的高為，則，解得,，即三棱錐的高為.17.如圖，在中，點C，D分別在線段OA和AB上，.（1）若，求的坐標和模；，求實數的值.（2）若AE與OD的交點為，設【答案】（1）（2）【解析】1分別是的模；即可求得坐標，由模的坐標公式即可求得（2）由三點共線，由三點共線且可知是邊中點，可建立一個分解后的向量恒等式，第12頁/共16頁從而建立關于的二元一次方程組，由此即可求解.【小問1詳解】因為，從而結合圖形可知，這表明又是的中位線，即分別是的中點，，所以，.【小問2詳解】由三點共線可知，使得，存在同理由而，三點共線可知，且由（1）可知是邊中點，，，所以，而顯然不共線，所以只能，解得.18.已知復數.（1）若為純虛數，求.（2）若關于的方程有兩個不同的根，且兩個根都能寫成題中的形式，分別求下面兩種情況下（i）兩個根都是實數；（ii）兩個根都是虛數.【答案】（1）的值：（2i）ii）【解析】1）根據純虛數定義即可求解；第13頁/共16頁（2i）由已知虛部為0，得到ii）由已知兩根為共軛復數，設出兩根列方程組求出兩根，利用韋達定理即可求解.【小問1詳解】因為為純虛數，所以，所以；【小問2詳解】（i）因為兩個根都是實數，所以的虛部為，所以當，解得，當或，時，時，，所以方程的兩個根為所以和，，；（ii）因為兩個根都是虛數，所以兩根為共軛復數，設兩根分別為，，且，所以，解得或，所以，或，，所以，.19.在中，內角的對邊分別是，已知，且.（1）求（2）若（3）若；為內一點且為銳角三角形，求，求長度的最大值；的周長的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）第14頁/共16頁【解析】1）由正弦定理將角轉化為邊可得