夯實基礎：勾股定理的作圖及典型計算（解析版）

勾股定理的作圖及典型計算夯實基礎篇一、單選題：1．如圖是由邊長為0.5m的正方形地磚鋪設的地面的一部分，一個掃地機器人沿圖中所示的折線從，則它所走的路程是（

）A．3m B． C． D．【答案】B【分析】根據圖形，運用勾股定理分別求出AB、BC的長，即可解答．【詳解】解：由圖片可知：AB、BC均為長1寬0.5的矩形的對角線，∴，，∴故選B．【點睛】本題考查了勾股定理，涉及了正方形的性質等相關知識，精準識圖、合理使用相關知識是本題的解題關鍵．2．如圖所示，，若數軸上點A所表示的數為a，則a的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據圖示，可得：點A是以B為圓心，以為半徑的圓與數軸的交點，再根據兩點間的距離的求法，求出a的值為多少即可．【詳解】解：由勾股定理得：，∴，∴點A是以B為圓心，以為半徑的圓與數軸的交點，且在左側，∴．故選：C．【點睛】本題考查了數軸和實數及勾股定理，能求出的長是解此題的關鍵．3．在中，，，．現將按如圖那樣折疊，使點落在上的點處，折痕為，則的長為（

）A．3 B．4 C．6 D．【答案】A【分析】首先利用勾股定理求出，進一步可得，設，則，，在中，由勾股定理得，，列出解方程求解即可得出答案．【詳解】解：在中，由勾股定理得，，∵將沿折疊，點與點重合，∴，，∴設，則，，在中，由勾股定理得，，即解得，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了翻折變換，勾股定理等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．4．如圖，長方形中，，，將此長方形折疊，使點D與點B重合，折痕為．則的長為（

）A．13 B．12 C．10 D．8【答案】A【分析】設為x，則為，在由勾股定理有，即可求得．【詳解】解：由折疊的性質可知，設為x，則為，∵四邊形為長方形∴，∴在中由勾股定理有即化簡得解得，故選：A．【點睛】本題考查了折疊問題求折痕或其他邊長，主要可根據折疊前后兩圖形的全等條件，把某個直角三角形的三邊都用同一未知量表示出來，并根據勾股定理建立方程，進而可以求解．5．如圖，在的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點，，都在格點上，于點，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據面積相等的方法，即可求出答案．【詳解】解：由題意可得，的面積是：，∵是的高，，∴，解得，，故選：．【點睛】本題考查利用勾股定理計算三角形的相關知識，幾何圖形與網格的結合考查三角形的相關知識，理解和掌握三角形的知識是解題的關鍵．6．如圖，的頂點，，在邊長為的正方形網格的格點上，則邊長的高為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據勾股定理解答即可．【詳解】解：，，邊長的高，故選：C．【點睛】此題考查勾股定理，關鍵是根據如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么解答．7．如圖，以數軸的單位長度線段為邊長作一個正方形，以表示數2的點為圓心，正方形對角線長為半徑畫半圓，交數軸于點和點，則點表示的數是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用勾股定理得出正方形對角線長，再利用數軸的性質得出點表示的數．【詳解】解：∵以數軸的單位長度線段為邊作一個正方形，，∵以表示數的點為圓心，∴點表示的數是：，故選：C．【點睛】本題主要考查了勾股定理以及實數與數軸．正確掌握實數與數軸的關系是解題關鍵．二、填空題：8．小麗同學在學習了利用勾股定理在數軸上表示無理數的方法后，進行如下操作：首先畫數軸，原點為，在數軸上找到表示數2的點，然后過點作，且；再以為圓心，的長為半徑作弧，交數軸正半軸于點，如圖，那么點表示的數是__．【答案】【分析】由勾股定理求出的長，再根據作圖知，即可求解．【詳解】解：在中，，，．以點為圓心，為半徑與正半軸交點表示的數為．故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理，實數與數軸．熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．9．如圖，在中，，點A，B在數軸上對應的數分別為1，長為半徑畫弧，交數軸的負半軸于點D，則點D對應的數是_____．【答案】##【分析】先用溝勾股定理求出，進而即可得到答案．【詳解】解：∵在中，，∴，∵以A為圓心，以為半徑畫弧，∴，∴點D表示的實數是．故答案為：．【點睛】本題主要考查勾股定理以及數軸上的點表示實數，掌握勾股定理是關鍵．10．如圖，在的網格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，點O，A，B，C在網格的交點（格點）上，點，在第三象限內的格點上找一點D，使與全等，則點D的坐標為______．【答案】【分析】根據網格及勾股定理確定點D的位置，然后讀出點的坐標即可．【詳解】解：如圖所示，，，AB=AB，∴，故點，故答案為：．【點睛】題目主要考查坐標與圖形，全等三角形的判定，勾股定理解三角形等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．11．如圖，在邊長為1的小正方形網格中，點，，，均在格點上，為上任意一點，則的值為________．【答案】12【分析】根據勾股定理表示出，，代入即可解得．【詳解】∵，，∴，故答案為：12．【點睛】此題考查了勾股定理，解題的關鍵是用勾股定理表示出邊長．12．如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1，的三個頂點均在格點上，則邊上的高為________．【答案】【分析】先求解，再利用勾股定理求解，再利用等面積法建立方程即可．【詳解】解：由題意可得：，上的高為2，∴，由勾股定理可得：，設上的高為，∴，∴，∴邊上的高為．故答案為：．【點睛】本題考查的是網格三角形的面積的計算，等面積法的應用，勾股定理的應用，二次根式的除法應用，熟練的求解網格三角形的面積是解本題的關鍵．13．如圖，在2×2的正方形網格中，每個小正方形邊長為1，點A，B，C均為格點，以點A為圓心，AB長為半徑作弧，交格線于點D，則CD的長為_______________.【答案】##【分析】連接AD，根據半徑相等，得出，再根據勾股定理即可求出DE的長，即可得出CD的長．【詳解】連接AD，∵以點A為圓心，AB長為半徑作弧，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了在格點圖中勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理并作出正確的輔助線是本題的關鍵．14．在中，，，，，分別是斜邊和直角邊上的點，把沿著直線折疊，頂點的對應點是點，如果點和頂點A重合，則的長為___________．【答案】【分析】設，則，根據折疊的性質，勾股定理列方程求解即可；【詳解】解：設，則，由題意得，由勾股定理得，∴，解得，即的長為；故答案為：【點睛】本題考查了折疊的性質，勾股定理，熟練掌握折疊的性質，靈活使用勾股定理是解題的關鍵．15．如圖，在長方形中，，，將沿對角線翻折，點落在點處，交于點，則線段的長為________．【答案】【分析】根據將沿對角線翻折，點落在點處，交于點，可得到，從而得到，在中，利用勾股定理即可解答．【詳解】∵在長方形中，，，∴，∴，∵將沿對角線翻折，點落在點處，交于點，∴，∴，∴，設，則，在中，，∴，解得：，∴．故答案為：【點睛】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，解題的關鍵是靈活運用矩形的折疊結合勾股定理解答問題．三、解答題：16．作圖：請在同一個數軸上用尺規作出的對應的點．【答案】見解析【分析】在數軸上表示的點上作垂線，然后以表示的點為圓心，1為半徑畫弧交垂線于一點，然后連接原點和這個點，進而再以原點為圓心，這段長為半徑畫弧，最后問題可求解．【詳解】解：如圖，點A即為所求．【點睛】本題主要考查了勾股定理及實數與數軸，熟練掌握勾股定理及實數與數軸是解題的關鍵．17．在如圖所示的方格中，每個小方格的邊長都為1．(1)在圖中畫出長度為與的線段，要求線段的端點在格點上．(2)在圖中畫出一個三條邊長分別為，，的三角形，使它的頂點都在格點上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據長為4，寬為1的長方形的對角線長為，長為4，寬為1的長方形的對角線長為，進行作圖即可；（2）可先畫3的線段，根據勾股定理可得長為的線段是長為2，寬為1的矩形的對角線，是邊長為2的正方形的對角線，據此作圖即可．【詳解】（1）解：線段，即為所求，如圖所示：（2）解：即為三條邊長分別為，，的三角形．如圖所示：【點睛】本題主要考查了作圖?應用于設計作圖，無理數概念、勾股定理以及三角形有關知識的綜合運用．解題時首先要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結合對應幾何圖形的性質和基本作圖的方法作圖．18．如圖，△ABC中，，，，為上一點，連接，將沿折疊，點C落在邊上的D點處，求的長．【答案】的長是3．【分析】先利用勾股定理求出的長，再利用折疊的性質得到角、邊的大小，在中，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：在中，由勾股定理可知：∴ 由折疊的性質得：，，設，則，，∴在中，∴解得∴的長是3．【點睛】此題考查了勾股定理，翻折變換（折疊問題），解題的關鍵是熟練掌握相關基礎性質．19．如圖，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折疊，使AB落在直線AC上．(1)BC＝______；(2)求重疊部分（陰影部分）的