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文檔簡介
教考銜接4?“算兩次”在解三角形中的運用
“算兩次”就是從兩個不同的角度或用兩種不同的方法、途徑表
示同一數學對象，根據結果的唯一性，得到方程的方法.“算兩次”在
運用的過程中要求學生能用數學的眼光看問題，找尋等量關系，對學
生的數學抽象、數學建模等思維能力提出了較高要求，在解三角形中
經常通過特定關系的邊、角或面積，通過“算兩次”的方法找到解決
問題的關鍵點.
真題展示
2
技法探究技法1
“邊”算兩次1.同一邊算兩次【例1】
在四邊形
ABCD
中，
AB
＝3，
AD
＝4，
BC
＝2，
CD
＝
1，則四邊形
ABCD
面積的最大值為
?.
反思感悟
本題選取了兩個三角形的公共“邊”為切入口，在不同的三角形
中利用余弦定理兩次表示邊
BD
，即在△
ABD
中，
BD
2＝25－24cos
A
；在△
CBD
中，
BD
2＝5－4cos
C
，從而得到6cos
A
－cos
C
＝5，獲
知角之間的關系.
9
反思感悟
本題選取兩個三角形的公共角
B
為切入口，分別在兩個不同的三
角形內利用余弦定理對角進行表示，構建方程進行求解.解題的關鍵是
尋找兩個三角形的公共元素，在兩個三角形內分別利用正、余弦定
理、勾股定理進行邊、角互化，獲得等量關系.2.補角算兩次【例4】
（2021·新高考Ⅰ卷19題）記△
ABC
的內角
A
，
B
，
C
的對
邊分別為
a
，
b
，
c
.已知
b
2＝
ac
，點
D
在邊
AC
上，
BD
sin∠
ABC
＝
a
sin
C
.
（1）證明：
BD
＝
b
；解：證明：因為
BD
sin∠
ABC
＝
a
sin
C
，所以由正弦定
理得，
BD
·
b
＝
ac
，又
b
2＝
ac
，所以
BD
·
b
＝
b
2，又
b
＞0，所以
BD
＝
b
.（2）若
AD
＝2
DC
，求cos∠
ABC
.
反思感悟
本題選取兩個三角形中的相關“角”，兩個角互為補角即∠
BED
＋∠
ABC
＝π為切入口，通過兩次計算相關角的余弦值，從而得到
a
，
b
，
c
的數量關系，結合已知條件及余弦定理求解.3.相關角算兩次【例5】
在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的對邊分別為
a
，
b
，
c
，滿
足
a
＝4，
C
＝2
B
.
（1）若
b
＝2，求
c
；
反思感悟
本題選取相關角為切入口，在兩個三角形內分別表示出相關角
C
，
B
的正切值，再借助
C
＝2
B
以及其正切值的等量關系，取得問題
的關鍵點，獲得結論.技法3
“面積”算兩次1.同一面積算兩次【例6】
△
ABC
中，內角
A
，
B
，
C
的對邊分別為
a
，
b
，
c
，若△
ABC
的面積
S
＝（
b
＋
c
）2－
a
2，則sin
A
＝
?.
反思感悟
本題以三角形的面積為突破口，采用“算兩次”的方法對面積進
行表示，從而得到等量關系進而得解.2.相關面積算兩次【例7】
在△
ABC
中，內角
A
，
B
，
C
的對邊分別為
a
，
b
，
c
，
點
D
為線段
AB
的中點，
a
＋
b
＝5，∠
ACB
＝120°，∠
ACD
＝30°，
則
a
＝
?.
反思感悟
本題的解法多樣，但由于
D
為線段
AB
的中點，此時△
ADC
和△
BDC
面積相等，如果把面積作為解題“橋梁”，在兩個三角形中進行
面積的表示，充分運用“算兩次
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