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數學簡史主講人：寧銳第8章 微積分發(fā)展主題：18世紀數學發(fā)展1第1頁分析時代問題導讀？無限小算法推廣兩條路線及其結果，兩條路線特點是什么？歐拉主要數學貢獻及其意義是什么？微積分深入發(fā)展方向：積分技術與橢圓積分、微積分向多元函數推廣、無窮級數理論、函數概念深化、微積分嚴格化含義是什么？18世紀微積分應用發(fā)展特點，新分支形成過程及基本思想，比如常微分方程、偏微分方程、變分法等是什么？概述微分幾何發(fā)展、代數發(fā)展、數論發(fā)展。2第2頁分析時代概述？ 本章重點介紹了微積分深入發(fā)展方向，及在微積分影響下一些主要數學分發(fā)展。主要內容？ 恩格斯說：“人類精神最高勝利”。微積分產生推進了許多新數學分支產生，形成了“分析”這么一個在觀念和方法含有鮮明特點數學領域。18世紀是分析時代，也是向當代數學過渡主要時期。3第3頁一、無窮小算法發(fā)展兩條路線無窮小算法發(fā)展兩條路線 一是英國一批數學家以牛頓流數術為出發(fā)點微積分應用方向。二是歐洲大陸一批數學家沿著萊布尼茨路線分析方向。英國優(yōu)異代表有： 泰勒（泰勒公式，是微積分深入發(fā)展有力工具）、麥克勞林（微積分形式化努力，因為其幾何傳統(tǒng)沒有成功，旋轉橢球體引力定理）、棣莫弗、斯特林等。他們取得了許多微積分算法結果，而且也向微積分形式化方向但因為幾何傳統(tǒng)而不成功。4第4頁一、無窮小算法發(fā)展兩條路線 歐洲大陸： 新分析方向是在萊布尼茨后繼者推進下發(fā)展。雅各布.伯努利和約翰.伯努利，他們工作組成了現(xiàn)在初等微積分主要內容。18世紀微機分最主要貢獻是歐拉作出。歐拉（1707－1783），《無限小分析引論》、《微分學》、《積分學》是微積分學史里程碑式工作，歐拉引進了一批標準符號，對分析表述規(guī)范化起了很主要作用。除此之外，18世紀推進微積分還有法國學派，代表人物又克萊洛、達朗貝爾、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯和勒讓德等。5第5頁二、微積分發(fā)展幾個方面：（1）積分技術與橢圓積分：變量代換和部分分式等方法；橢圓積分，它們不能用已知初等函數來表示，普通形式為：

以后對橢圓函數普通研究在19世紀被阿貝爾和雅可比獨立地發(fā)展成深刻橢圓函數理論。6第6頁二、微積分發(fā)展幾個方面：（2）微積分向多元函數推廣：（3）無窮級數理論：調和級數，歐拉常數，悖論，級數收斂判別法則（4）函數概念深化：函數在17世紀引入，牛頓“生成量”，萊布尼茨首先使用“函數”（function），這時函數堪稱“像曲線上點橫坐標、縱坐標、切線長度、垂線長度等全部與曲線上點相關量”，約翰.伯努利，函數概念公式化，歐拉將伯努利將函數解析化，他將函數定義為：變量函數是一個由該變量與一些常數以任何方式組成解析表示式。函數概念大大豐富了，發(fā)覺了一系列超越函數，比如函數和函數。7第7頁二、微積分發(fā)展幾個方面：（5）微積分嚴格化嘗試： 代表人物是：達朗貝爾、歐拉、拉格朗日。 在嚴格化過程中，英國牛頓后繼者因為堅持幾何論證而顯得軟弱無力，而歐洲大陸數學家則力圖以代數化來克服微積分基礎困難。歐拉和拉格朗日在分析中引入了形式化觀點，而達朗貝爾極限觀點則為微積分嚴格表述提供了合理內核。（6）微積分應用與新分支 微積分