2025年下學期高中數學王元試卷

2025年下學期高中數學王元試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)\leq1})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((1,3])C.((2,3])D.([2,3])復數(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數單位）的共軛復數(\overline{z})在復平面內對應的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec{b}=(m,8))，若(\vec{a}\parallel\vec{b})，則實數(m=)（）A.-4B.4C.±4D.16函數(f(x)=\frac{\sinx\cdot\cosx}{1+\sinx+\cosx})的定義域為（）A.({x|x\neq2k\pi-\frac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}})B.({x|x\neq2k\pi-\pi,k\in\mathbb{Z}})C.({x|x\neq2k\pi-\frac{\pi}{2})且(x\neq2k\pi-\pi,k\in\mathbb{Z}})D.(\mathbb{R})已知(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2}))，(\tan\alpha=2)，則(\sin2\alpha+\cos^2\alpha=)（）A.(\frac{3}{5})B.(\frac{4}{5})C.1D.(\frac{6}{5})某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）（注：此處假設三視圖為一個底面半徑為1、高為3的圓柱挖去一個同底等高的圓錐）A.(\pi,\text{cm}^3)B.(2\pi,\text{cm}^3)C.(3\pi,\text{cm}^3)D.(4\pi,\text{cm}^3)已知等比數列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則公比(q=)（）A.2B.-2C.3D.-3執行如圖所示的程序框圖（注：假設框圖功能為計算(1+2+4+\dots+2^{n-1})的值），若輸入(n=5)，則輸出的(S=)（）A.15B.31C.63D.127已知拋物線(y^2=4x)的焦點為(F)，點(P)在拋物線上，且(|PF|=3)，則點(P)的橫坐標為（）A.1B.2C.3D.4函數(f(x)=x^3-3x^2+2)在區間([-1,3])上的最大值為（）A.2B.0C.-2D.4在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(C=60^\circ)，則(c=)（）A.(\sqrt{7})B.(\sqrt{19})C.7D.19已知函數(f(x)=\begin{cases}\log_2x,&x>0,\2^x,&x\leq0,\end{cases})則(f(f(-1))=)（）A.-1B.0C.1D.2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知(f(x)=x^3-ax^2+bx+c)在(x=1)處有極值，且(f(1)=0)，則(a+b=)________。若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2,\x-y\leq2,\y\leq2,\end{cases})則(z=x+2y)的最小值為________。已知直線(l:y=kx+1)與圓(C:x^2+y^2-2x-3=0)相交于(A,B)兩點，若(|AB|=2\sqrt{3})，則(k=)________。已知數列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n})，則其前10項和(S_{10}=)________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知等差數列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，且(a_3=5)，(S_5=25)。（1）求數列({a_n})的通項公式；（2）設(b_n=2^{a_n})，求數列({b_n})的前(n)項和(T_n)。18.（本小題滿分12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，且(2\cos^2\frac{B}{2}=\sqrt{3}\sinB)。（1）求角(B)的大小；（2）若(b=2)，(a+c=4)，求(\triangleABC)的面積。19.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)的中點。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求三棱錐(A_1-ADC_1)的體積。20.（本小題滿分12分）已知函數(f(x)=x^3-3x^2+2x+1)。（1）求函數(f(x))的單調區間；（2）求函數(f(x))在區間([0,2])上的最大值和最小值。21.（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓(C)的標準方程；（2）設直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點，(O)為坐標原點，若(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0)，求(m^2)的取值范圍。22.（本小題滿分12分）已知函數(f(x)=e^x-ax-1)（(e)為自然對數的底數，(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(f(x))的單調性；（2）若(f(x)\geq0)對任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求實數(a)的值；（3）在（2）的條件下，證明：(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}>\ln(n+1))（(n\in\mathbb{N}^*)）。參考答案及評分標準（僅供閱卷參考）一、選擇題A2.D3.C4.C5.D6.B7.A8.B9.B10.A11.A12.B二、填空題314.215.0或(\pm\frac{\sqrt{3}}{3})16.(\frac{10}{11})三、解答題（1）設等差數列({a_n})的公差為(d)，由(a_3=5)，(S_5=25)，得(\begin{cases}a_1+2d=5,\5a_1+10d=25,\end{cases})解得(a_1=1)，(d=2)，故(a_n=2n-1)。（5分）（2）(b_n=2^{2n-1}=\frac{1}{2}\cdot4^n)，則(T_n=\frac{1}{2}(4+4^2+\dots+4^n)=\frac{2(4^n-1)}{3})。（10分）（1）由(2\cos^2\frac{B}{2}=\sqrt{3}\sinB)，得(1+\cosB=\sqrt{3}\sinB)，即(\sqrt{3}\sinB-\cosB=1)，(2\sin(B-\frac{\pi}{6})=1)，(\sin(B-\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2})。又(B\in(0,\pi))，故(B=\frac{\pi}{3})。（6分）（2）由余弦定理(b^2=a^2+c^2-2ac\cosB)，得(4=(a+c)^2-3ac)，即(4=16-3ac)，解得(ac=4)，故(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}ac\sinB=\sqrt{3})。（12分）（1）連接(A_1C)交(AC_1)于點(O)，連接(OD)，則(O)為(A_1C)中點，又(D)為(BC)中點，故(OD\parallelA_1B)，又(OD\subset)平面(ADC_1)，(A_1B\not\subset)平面(ADC_1)，因此(A_1B\parallel)平面(ADC_1)。（6分）（2）(V_{A_1-ADC_1}=V_{C_1-ADA_1}=\frac{1}{3}\timesS_{\triangleADA_1}\timesC_1D_1)（此處需結合直三棱柱性質計算，最終結果為(\frac{2}{3})）。（12分）（1）(f'(x)=3x^2-6x+2)，令(f'(x)=0)，得(x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3})。當(x<1-\frac{\sqrt{3}}{3})或(x>1+\frac{\sqrt{3}}{3})時，(f'(x)>0)；當(1-\frac{\sqrt{3}}{3}<x<1+\frac{\sqrt{3}}{3})時，(f'(x)<0)。故單調遞增區間為((-\infty,1-\frac{\sqrt{3}}{3}))，((1+\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty))，單調遞減區間為((1-\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{\sqrt{3}}{3}))。（6分）（2）在區間([0,2])上，(f(0)=1)，(f(2)=1)，(f(1-\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{2\sqrt{3}}{9}+1)，(f(1+\frac{\sqrt{3}}{3})=-\frac{2\sqrt{3}}{9}+1)，故最大值為(\frac{2\sqrt{3}}{9}+1)，最小值為(-\frac{2\sqrt{3}}{9}+1)。（12分）（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，得(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4})。將點((2,1))代入橢圓方程，得(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{4}}=1)，解得(a^2=8)，(b^2=2)，故橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（6分）（2）聯立直線與橢圓方程，得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，由(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0)，得(x_1x_2+y_1y_2=0)，即((1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0)，代入韋達定理化簡得(5m^2=8(1+k^2))，故(m^2\geq\frac{8}{5})。（12