第10章 數的開方期末復習（知識清單）（解析版）-華東師大版(2024)八上

第10章數的開方一、平方根與算術平方根1.平方根的定義：如果一個數的平方等于a，那么這個數叫做a的平方根。正數有兩個平方根，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。2.算術平方根的定義：正數a的正的平方根，叫做a的算術平方根。算術平方根具有非負性，即算術平方根的結果總是非負的。零的算術平方根是零；負數沒有算術平方根。3.開平方：求一個非負數的平方根的運算，叫做開平方。二、立方根與開立方1.立方根的定義：如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根。正數的立方根是正數；負數的立方根是負數；零的立方根是零。立方根具有唯一性。2.開立方：求一個數的立方根的運算，叫做開立方。三、實數與數軸1.實數的定義：有理數與無理數統稱為實數。2.數軸上的點：數軸上的每一點必定表示一個實數；反過來，每一個實數（有理數或無理數）都可以用數軸上的一個點來表示。3.無理數的定義：無限不循環小數叫做無理數。四、運算與性質1.平方根與算術平方根的運算：會利用平方運算求平方根，會用數學符號“±√”表示平方根，用“√”表示算術平方根。能用計算器求一個數的平方根或算術平方根。2.立方根的運算：會用立方運算求立方根，會用數學符號“?”表示立方根。能用計算器求一個數的立方根。3.實數的大小比較：有理數的所有運算法則及運算律均適用于實數的運算。對于無理數的大小比較，通常可以取它們的近似值來進行。一、平方根與立方根的概念混淆1.平方根的理解：易錯點在于對平方根有兩個值（一個正數和一個負數）的理解不清，特別是當題目只要求算術平方根時，容易誤寫為兩個值。2.立方根的理解：立方根只有一個值，但學生在計算時容易受平方根的影響，錯誤地認為立方根也有正負兩個值。二、被開方數的取值范圍不清1.平方根的被開方數必須為非負數，學生在處理實際問題時，容易忽視這一點，對負數開平方。2.立方根的被開方數可以為任意實數，但學生在計算時，有時會因為對平方根的理解慣性，錯誤地認為立方根的被開方數也必須為非負數。三、開方運算與平方、立方運算的關系不清1.開平方與平方是互為逆運算，但學生在解題時，容易忽視這一點，特別是在解方程時，容易忘記對平方根的結果進行平方檢驗。2.開立方與立方也是互為逆運算，但學生在處理實際問題時，容易將開立方與平方根混淆，導致計算錯誤。四、無理數的處理不當1.無理數的表示：學生在表示無理數時，容易因為對根號的理解不清，導致表示錯誤。2.無理數的大小比較：無理數的大小比較通常需要通過取近似值來進行，但學生在比較時，容易忽視這一點，直接進行比較，導致錯誤。五、計算器的使用不當1.學生在使用計算器求平方根和立方根時，容易因為操作不當或理解不清，導致計算結果錯誤。2.特別是在處理復雜運算時，學生容易忽視計算器的精度限制，導致計算結果不準確。題型01平方根的概念1.下列說法中，錯誤的是（

）A．5是25的算術平方根 B．的平方根是C．0的平方根與算術平方根都是0 D．的平方根是【答案】D【分析】本題主要考查平方根，算術平方根的性質及計算方法，掌握以上知識是解題的關鍵．根據平方根和算術平方根的性質，逐一分析選項．【詳解】解：A.25的算術平方根是5，正確．B.，9的平方根是，正確．C.0的平方根和算術平方根均為0，正確．D.，16的平方根是，但選項僅指出，錯誤．故選：D．2.下列說法中正確的有（

）①一個數的算術平方根一定是正數；②一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；③的平方根記為；④表示的平方根．A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】此題考查了算術平方根和平方根，根據算術平方根和平方根的意義分別進行判斷即可．【詳解】解：①0的算術平方根是0，故原說法錯誤；②一個正數有兩個平方根，它們互為相反數，說法正確；③的平方根記為，原說法錯誤；④表示的平方根，說法正確．綜上可知正確的是②④，共2個，故選：B3.如果一個正數的平方根是與，那么的值為．【答案】【分析】本題考查了平方根，根據正數有兩個平方根，它們互為相反數可得，解方程即可求解，掌握平方根的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵一個正數的平方根是與，∴，∴，故答案為：．4.若一個正數的兩個平方根是和，則這個正數是．【答案】9【分析】本題考查了平方根和相反數的應用，解題的關鍵是求出a的值．一個正數有兩個平方根，它們互為相反數．根據平方根的定義和相反數，得出，求出，即得．【詳解】解：∵一個正數的兩個平方根是和，∴，解得，∴．故答案為：9．5.已知一個正數的兩個不相等的平方根分別是與．(1)求的值及這個正數；(2)若，求的值．【答案】(1)的值為0，正數的值為4(2)的值為1【分析】本題考查平方根的意義及求平方根、一元一次方程的應用等知識點，掌握一個正數有兩個平方根且互為相反數是解題的關鍵．（1）由一個正數的兩個平方根互為相反數求y值即可，求出x的值即可；（2）將代入得到關于k的方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意可知：，解得：；∴．答：求的值為0，正數的值為4（2）∵，∴，即，解得：．答：求的值為1．題型02立方根的概念1.下列結論正確的是（

）A．立方根等于本身的數只有 B．沒有立方根C．的算術平方根是 D．的算術平方根是【答案】D【分析】本題考查了算術平方根及立方根的知識，根據算術平方根及立方根的定義逐一分析即可求解，掌握算術平方根及立方根的定義是解題的關鍵．【詳解】解：立方根等于本身的數有，故錯誤；的立方根為，故錯誤；的算術平方根是，故錯誤；的算術平方根是，故正確；故選：．2.下列說法不正確的是（

）A．1的立方根是1 B．的立方根是C．的立方根是 D．125的立方根是【答案】D【分析】本題考查立方根的概念及求一個數的立方根，需根據各選項逐一判斷正誤．【詳解】解：A.1的立方根是1，故正確；B.的立方根是；故正確；C.的立方根是；故正確；D.125的立方根是；故錯誤；故選：D．3.方程的根是．【答案】【分析】本題考查了立方根的概念，根據立方根的概念即可求解，掌握立方根的概念是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．4.已知x為實數，，則的平方根為．【答案】【分析】本題主要考查平方根、立方根，熟練掌握其定義及性質是解題關鍵．根據題意得：，解出，代入，求出平方根．【詳解】解：，，解得，．故答案為．5.求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查立方根．（1）根據立方根的定義求解即可；（2）根據立方根的定義求解即可；（3）根據立方根的定義求解即可；【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．題型03算術平方根的非負性1.已知：，則的值為（

）A．0 B．4 C．12 D．16【答案】C【分析】此題考查了算術平方根非負數的性質，代數式求值，根據算術平方根非負數的性質，兩個非負數的和為0，則每個非負數均為0．由此可解出x和y的值，再代入計算．【詳解】∵，，∴，∴，∴．故選：C．2.若，則等于（

）A．－1 B．1 C． D．【答案】A【分析】此題考查了算術平方根和平方的非負性，代數式求值，根據非負數的性質，若兩個非負數之和為0，則每個非負數均為0．由此可解出x和y的值，再代入計算即可．【詳解】∵∴，．∴，，∴，∴．∴．故選：A．3.已知實數、滿足，則代數式的值為；【答案】1【分析】本題考查了非負數的性質，代數式求值，掌握非負數的性質的應用是解題關鍵．根據絕對值的非負性，算術平方根的非負性，求出x、y的值，再代入計算即可．【詳解】解：，，，，，，故答案為：1．4.若，則的值是．【答案】【分析】本題考查了非負數的性質，代數式求值，根據絕對值、完全平方及二次根式的非負性可得，，，求出的值再代入代數式計算即可求解，掌握幾個非負數的和為時，這幾個非負數都為是解題的關鍵．【詳解】解：根據題意得：，，，且，，，，，，，，故答案為：．5.若與互為相反數，試解關于x的方程．【答案】【分析】本題考查了絕對值和算術平方根的非負數，相反數的定義，運用平方根解方程，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．先理解題意得，算出，再代入，整理得，再運用平方根解方程，即可作答．【詳解】解：∵與互為相反數，∴，∵，∴，即，∴，把代入，得，即，∴，∴題型04開方運算1.下列計算正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查算術平方根的計算，熟練掌握算術平方根的定義是解題的關鍵，需注意平方根與算術平方根的區別．根據算術平方根的定義化簡即可得出答案．【詳解】解：A、，故本選項錯誤，不符合題意；B、，故本選項正確，符合題意；C、，故本選項錯誤，不符合題意；D、，故本選項錯誤，不符合題意；故選：D2.下列各式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查平方根、算術平方根及立方根的概念，根據定義逐一判斷即可，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：A、，故選項不符合題意；B、，故選項不符合題意；C、，正確，故選項符合題意；D、，故選項不符合題意；故選：C．3.方程的解是．【答案】【分析】本題考查立方根，根據立方根的定義求解即可．【詳解】解：∵，∴方程的解是，故答案為：．4.計算：，，．【答案】【分析】分別根據立方根、絕對值、平方根的定義來計算這三個式子．本題主要考查了立方根、絕對值、平方根的定義，熟練掌握各定義的含義是解題的關鍵．【詳解】解：，即故答案為：，，．5.求下列各式中的值：(1)；(2)．【答案】(1)或(2)【分析】本題考查利用平方根和立方根解方程，熟練掌握相關知識是解題的關鍵；（1）利用平方根解方程即可；（2）利用立方根解方程即可．【詳解】（1）解：，∴，∴或；（2），∴，∴．題型05無理數的表示1.如圖，在數軸上表示實數的點可能是（

）A．點 B．點 C．點 D．點【答案】C【分析】本題主要考查了實數與數軸，無理數的大小估算，根據夾逼法可得出，且靠近4，結合數軸即可得出答案．【詳解】解：，且靠近，即，且靠近4，則在數軸上表示實數的點可能是點M，故選：C2.如圖，點表示的數為1，以點為圓心，為半徑畫弧交數軸于點，則點表示的數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查實數與數軸．根據題意得，結合點表示的數為1，點在點左側，從而得到點表示的數．【詳解】解：根據題意得，∵點表示的數為1，點在點左側，∴點表示的數為，故選：A．3.數軸上點A表示的數為，將點A沿數軸向右平移2個單位長度到達點B，則點B所表示的數．【答案】/【分析】本題考查了實數與數軸，掌握數軸上點的移動規律是解題的關鍵．根據數軸上點的平移規律得到點對應的數即可．【詳解】解：∵點表示的數為，將點沿數軸向右平移個單位長度到達點，∴點表示的數為．故答案為：．4.如圖，正方形的面積為，頂點在數軸上，且表示的數為1．現以點為圓心，的長為半徑畫弧，交數軸于點（點在點的右側），則點表示的數為．【答案】/【分析】本題考查開平方，實數與數軸，正方形的面積，熟練掌握實數與數軸的關系是解題的關鍵．根據正方形的面積公式求得邊的長，即為的長，即可得到點與原點的距離，進而得到點所表示的數．【詳解】解：由正方形面積公式得，∴（負值舍），由作圖可知，∵頂點在數軸上，且表示的數為1，∴點到原點的距離為，∴點表示的數為，故答案為：．5.現有五個實數：，，，，4．其中四個數分別對應如圖所示數軸上的點A，B，C，D(1)點A表示數___________；點B表示數___________；點D表示數___________；(2)①用圓規在數軸上精確地表示出（提示：注意觀察正方形的面積）；②將上述五個數按從小到大的順序用“”連接【答案】(1)；；(2)①見解析；②【分析】本題主要考查了實數與數軸，利用數軸比較大小，解題的關鍵是熟練掌握實數與數軸．（1）根據數軸上點的特點，結合數軸得出答案即可；（2）①根據正方形的面積，得出正方形的邊長，然后以0所表示的點為圓心，以的長為半徑畫弧，則此弧與數軸正方向的交點所表示的數為；②利用數軸上點的特點進行解答即可．【詳解】（1）解：點A表示數為；點B表示數為；點D表示數為．故答案為：；；．（2）解：①如圖，∵正方形的面積為：，∴正方形的邊長；②根據數軸可得，．題型06無理數的大小比較1.下列實數比較大小，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查實數大小比較，根據實數比較大小的法則對各選項進行逐一分析即可．【詳解】解：，故A選項錯誤；，故B選項錯誤；，則，故C選項錯誤；，則，故D選項正確；故選：D2.若，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查實數的大小比較，先利用夾逼法估算a，b的值，再比較大小即可．【詳解】解：∵，，∴，，即，，∴，，又，∴，故選：C．3.比較大?。海ㄌ睢啊薄啊被颉啊保敬鸢浮俊痉治觥勘绢}主要考查了實數的大小比較，利用平方法將無理數的大小轉化為有理數的大小比較成為解題的關鍵．將無理數的大小轉化為有理數的大小比較即可．【詳解】解：∵，，且，∴．故答案為：4.比較大?。?；．【答案】【分析】本題主要考查了實數比較大小，根據，可得；根據可得，，據此可得答案．【詳解】解：∵，∴；∵，∴，∴，，∴；故答案為：；．5.比較下列各組數的大小：(1)與2；(2)與2.5；(3)與．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了實數的大小比較，能靈活運用立方根的定義進行變形是解此題的關鍵．（1）先求出，再比較即可；（2）先求出，再比較即可；（3）先求出，再比較即可．【詳解】（1）解：∵，，∴；（2）解：∵，，∴；（3）解：∵，，∴．題型07用計算器計算無理數1.用計算器求的近似值，其按鍵順序正確的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】此題主要考查了利用計算器求算術平方根和立方根，根據計算器求算術平方根和立方根的按鍵方法求解即可．【詳解】用計算器求的近似值，其按鍵順序正確的是故選：A．2.利用計算器依次按鍵如圖：則計算器顯示的結果與下列各數中最接近的一個是（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9【答案】B【分析】本題考查了計算器——平方根和立方根，由按鍵順序可知算式為，然后估算的取值，即可作答．【詳解】解：依題意，由按鍵順序可知算式為，∵，∴，∴，∴最接近的一個是0.6，故選：B3.用計算器計算（結果精確到0.01）：（1）；（2）．【答案】4.828.02【分析】本題考查了立方根的定義，熟練掌握該定義是本題解題的關鍵．立方根的定義：如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根．利用立方根的定義即可得到結果．【詳解】（1）；（2）．故答案為：4.82，8.02．4.若按DY-570型科學計算器的鍵后，再依次按鍵，則顯示的結果為．【答案】【分析】本題考查了計算器，解決本題的關鍵是熟記計算器的基礎知識．【詳解】根據題意，得，故答案為：．5.用計算器求下列各式的值（結果保留小數點后兩位）：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了計算器與算術平方根，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）按照題干要求，運用計算器進行計算，結果保留小數點后兩位，即可作答．（2）按照題干要求，運用計算器進行計算，結果保留小數點后兩位，即可作答．（3）按照題干要求，運用計算器進行計算，結果保留小數點后兩位，即可作答．【詳解】（1）解：依題意，；（2）解：依題意，；（3）解：依題意，．題型08平方根與立方根的綜合1.一個自然數a的算術平方根為x，那么的立方根是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了算術平方根與立方根，熟練掌握算術平方根與立方根的性質是解題關鍵．先根據算術平方根求出，再根據立方根的性質即可得．【詳解】解：∵一個自然數的算術平方根為，∴，∴，∴的立方根是，故選：C．2.下列說法中，正確