第2課時(shí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用課件2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第二冊(cè)

4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第2課時(shí)

性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟練應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)解題.(重點(diǎn))2.能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題.(難點(diǎn))等比數(shù)列的性質(zhì)pqp1/pp2pqp/q性質(zhì)3.等比數(shù)列{an}中，下標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)仍成等比數(shù)列推論1：a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…等式左右兩邊的項(xiàng)數(shù)相同|p|回顧引新知

已知量求和公式首項(xiàng)、公比與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公比與末項(xiàng)

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式回顧引新知等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn公式具的函數(shù)特性令回顧引新知新知探究問(wèn)題1

你能否用等比數(shù)列{an}中的Sm，Sn來(lái)表示Sm+n？提示思路一：Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n

=Sm+a1qm+a2qm+…+anqm

=Sm+qmSn.思路二：Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+an+m

=Sn+a1qn+a2qn+…+amqn

=Sn+qnSm.新知探究問(wèn)題2在等比數(shù)列等片段和的性質(zhì)中，你能用不同的方法推導(dǎo)Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…(n為偶數(shù)且q=-1除外)的關(guān)系嗎？證明：

問(wèn)題2在等比數(shù)列等片段和的性質(zhì)中，你能用不同的方法推導(dǎo)Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…(n為偶數(shù)且q=-1除外)的關(guān)系嗎？新知探究新知探究問(wèn)題3類比等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)中的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的性質(zhì)，等比數(shù)列是否也有相似的性質(zhì)？

新知探究問(wèn)題3類比等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)中的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的性質(zhì)，等比數(shù)列是否也有相似的性質(zhì)？提示若等比數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)有2n+1項(xiàng)，其偶數(shù)項(xiàng)和為S偶=a2+a4+…+a2n，其奇數(shù)項(xiàng)和為S奇=a1+a3+…+a2n-1+a2n+1，從項(xiàng)數(shù)上來(lái)看，奇數(shù)項(xiàng)比偶數(shù)項(xiàng)多了一項(xiàng)，于是我們有S奇-a1=a3+…+a2n-1+a2n+1=a2q+a4q+…+a2nq=qS偶，即S奇=a1+qS偶.

知識(shí)梳理

S3n-S2nqnSm典例分析學(xué)習(xí)筆記30頁(yè)例1

(1)已知等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，其和為-240，且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80，則公比q=

.

2

(2)在等比數(shù)列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n.

反思與感悟

學(xué)習(xí)筆記31頁(yè)跟蹤訓(xùn)練1(1)若等比數(shù)列{an}共有奇數(shù)項(xiàng)，其首項(xiàng)為1，其偶數(shù)項(xiàng)和為170，奇數(shù)項(xiàng)和為341，則這個(gè)數(shù)列的公比q為

，項(xiàng)數(shù)為

.29

(2)記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4=3，S8=9，則S12等于A.12 B.18 C.21

D.27√方法一

因?yàn)镾n為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S4=3，S8=9，易知等比數(shù)列{an}的公比q≠-1，所以S4，S8-S4，S12-S8成等比數(shù)列，所以(S8-S4)2=S4(S12-S8)，所以62=3(S12-9)，解得S12=21.方法二由方法一知，S4，S8-S4，S12-S8成等比數(shù)列，即3，6，12成等比數(shù)列，S12-S8=12，所以S12=S8+12=9+12=21.方法三

S8=S4+q4S4，即q4=2，則S12=S8+q8S4=21.

等比數(shù)列前n項(xiàng)和實(shí)際應(yīng)用

典例分析學(xué)習(xí)筆記31頁(yè)例2

《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，程大位著，共17卷，書中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”大致意思是：有一個(gè)人要到距離出發(fā)地378里的地方，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地.那么該人第一天所走路程里數(shù)為A.96 B.126 C.192

D.252√

等比數(shù)列前n項(xiàng)和實(shí)際應(yīng)用分析：由題意可知，每年生活垃圾的總量構(gòu)成等比數(shù)列，而每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構(gòu)成等差數(shù)列.因此，可以利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算.典例分析

提煉數(shù)據(jù)20

6遞增量：

5%增加量：1.5

14

公比：

1+0.05

通項(xiàng)公式：

學(xué)習(xí)筆記31頁(yè)跟著訓(xùn)練2

中國(guó)三大名樓之一的黃鶴樓因其獨(dú)特的建筑結(jié)構(gòu)而聞名，其外觀有五層而實(shí)際上內(nèi)部有九層，隱喻“九五至尊”之意，現(xiàn)打算在黃鶴樓內(nèi)部掛燈籠進(jìn)行裝飾，若在黃鶴樓內(nèi)部九層塔樓共掛1

533盞燈籠，且相鄰的兩層中，下一層的燈籠數(shù)是上一層燈籠數(shù)的兩倍，則內(nèi)部塔樓的頂層應(yīng)掛

盞燈籠.3

等比數(shù)列前n項(xiàng)和實(shí)際應(yīng)用

(2)這是待定系數(shù)法的應(yīng)用，可以將它還原為(1)中的遞推公式形式，通過(guò)比較系數(shù)，得到方程組；(3)利用(2)的結(jié)論可得出解答.典例分析

√

如圖，畫一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，再將此正方形各邊的中點(diǎn)相連得到第2個(gè)正方形，以此類推，記第n個(gè)正方形的面積為an，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.求{an}的通項(xiàng)公式及S2

024.跟蹤訓(xùn)練3

方法歸納：解數(shù)列應(yīng)用題

(二)抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá)．(三)把復(fù)雜數(shù)列適當(dāng)分為幾種簡(jiǎn)單的數(shù)列，應(yīng)用公式解題.

分組求和是一種常用的求和方法.

有固定比值關(guān)系的遞推數(shù)列可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.課堂小結(jié)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3隨堂演練

√2.已知一個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為1

011，偶數(shù)項(xiàng)之和為2

022，則這個(gè)數(shù)列的公比為A.8 B.-2 C.4

D.2√3.(多選)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比為q，若S2=1，S6=91，則A.S8=729 B.S8=820C.q=3 D.q=9√4.一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列{an}，全部項(xiàng)之和為偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍，前3項(xiàng)之積為64，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an=