專題06 統計案例原卷版

專題06統計案例【清單01】變量間的相關關系1、變量之間的相關關系當自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定的隨機性，則這兩個變量之間的關系叫相關關系．注意：相關關系與函數關系是不同的，相關關系是一種非確定的關系，函數關系是一種確定的關系，而且函數關系是一種因果關系，但相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系．2、散點圖將樣本中的個數據點描在平面直角坐標系中，所得圖形叫做散點圖．根據散點圖中點的分布可以直觀地判斷兩個變量之間的關系．（1）如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區域內，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關，如圖（1）所示；（2）如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區域內，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為負相關，如圖（2）所示．3、相關系數若相應于變量的取值，變量的觀測值為，則變量與的相關系數，通常用來衡量與之間的線性關系的強弱，的范圍為．（1）當時，表示兩個變量正相關；當時，表示兩個變量負相關．（2）越接近，表示兩個變量的線性相關性越強；越接近，表示兩個變量間幾乎不存在線性相關關系．當時，所有數據點都在一條直線上．（3）通常當時，認為兩個變量具有很強的線性相關關系．【清單02】線性回歸1、線性回歸線性回歸是研究不具備確定的函數關系的兩個變量之間的關系（相關關系）的方法．對于一組具有線性相關關系的數據（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸方程的求法為其中，，，（，）稱為樣本點的中心．2、殘差分析對于預報變量，通過觀測得到的數據稱為觀測值，通過回歸方程得到的稱為預測值，觀測值減去預測值等于殘差，稱為相應于點的殘差，即有．殘差是隨機誤差的估計結果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數據的效果以及判斷原始數據中是否存在可疑數據等，這方面工作稱為殘差分析．（1）殘差圖通過殘差分析，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適．（2）通過殘差平方和分析，如果殘差平方和越小，則說明選用的模型的擬合效果越好；反之，不合適．（3）相關指數用相關指數來刻畫回歸的效果，其計算公式是：．越接近于，說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好．【清單03】獨立性檢驗1、分類變量和列聯表（1）分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．（2）列聯表：①定義：列出的兩個分類變量的頻數表稱為列聯表．②2×2列聯表．一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{，}和{，}，其樣本頻數列聯表（稱為2×2列聯表）為總計總計從列表中，依據與的值可直觀得出結論：兩個變量是否有關系．2、等高條形圖（1）等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列聯表數據的頻率特征．（2）觀察等高條形圖發現與相差很大，就判斷兩個分類變量之間有關系．3、獨立性檢驗計算隨機變量利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗．0．100．050．0100．0050．0012．7063．8416．6357．87910．828【考點題型一】線性分析--相關系數、相關指數【例1】.下列說法正確的個數是（

）①線性相關系數越接近1，兩個變量的線性相關程度越強；②獨立性檢驗可以100%確定兩個變量之間是否具有某種關系；③在回歸分析中，可用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域中，說明這樣的模型比較合適，帶狀區域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高；④甲、乙兩個模型的決定系數分別約為0.88和0.80，則模型甲的擬合效果更好．A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-1】.下列說法錯誤的是（

）A．兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于1；B．用不同的模型擬合同一組數據，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好；C．設，且，則；D．若變量x和y滿足關系，則x與y負相關．【變式1-2】.已知5個成對數據的散點圖如下，若去掉點，則下列說法正確的是（）A．變量x與變量y呈正相關 B．變量x與變量y的相關性變強C．殘差平方和變大 D．樣本相關系數r變大【變式1-3】.以下關于統計分析的描述，哪一個是正確的？（

）A．樣本均值越接近總體均值，樣本的代表性越好．B．樣本標準差越大，數據的離散程度越?。瓹．相關系數的絕對值越接近1，表示兩個變量的線性關系越弱．D．決定系數R2越接近1，模型的解釋能力越強．【變式1-4】.關于線性回歸的描述，有下列命題：①回歸直線一定經過樣本點的中心；②相關系數r越大，線性相關程度越強；③決定系數越接近1擬合效果越好；④隨機誤差平方和越小，擬合效果越好．其中正確的命題個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-5】.對四組數據進行統計，獲得如圖散點圖，關于其相關系數的比較，正確的是（

）A．B．C． D．【考點題型二】回歸方程【例2】.某中醫藥企業根據市場調研與模擬，得到研發投入（億元）與產品收益（億元）的數據統計如下：研發投入（億元）12345產品收益（億元）3791011(1)計算，的相關系數，并判斷是否可以認為研發投入與產品收益具有較高的線性相關程度？（若，則線性相關程度一般；若，則線性相關程度較高）(2)求出關于的線性回歸方程，并預測若想收益超過20（億元），則需研發投入至少多少億元？（結果保留一位小數）參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式，相關系數的公式分別為，，.參考數據：，，.【變式2-1】.在下表的統計量中，有一個數值不清晰，用m表示．x12345y6.37.48.18.7m已知表中數據的經驗回歸方程同時滿足：①過點；②x每增加一個單位，y增加0.9個單位，則當；時，．【變式2-2】.（多選）隨機抽取5家超市，得到其廣告支出（萬元）與銷售額（萬元）的數據如下：超市ABCD廣告支出24568銷售額3040606070下列說法正確的是（

）（參考公式：，；參考數據：）A．經驗回歸直線經過點 B．經驗回歸方程為C．樣本點的殘差為 D．預測廣告支出10萬元時的銷售額為80萬元【變式2-3】.某大學組織宣傳小分隊進行法律法規宣傳，某宣傳小分隊記錄了前9天每天普及的人數，得到下表：時間x（天）123456789每天普及的人數y8098129150203190258292310(1)從這9天的數據中任選2天的數據，以X表示2天中普及人數不少于200人的天數，求X的分布列和數學期望；(2)由于統計人員的疏忽，第5天的數據統計有誤，如果去掉第5天的數據，試用剩下的數據求出每天普及的人數y關于天數x的線性回歸方程.參考數據：，，.附：對于一組數據（，），（，），……，（，），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.【變式2-4】.某學院為了加強學生身體素質，特推出“校園輕氧打卡”活動，以下是前9天的打卡人數散點圖．(1)求出每天打卡人數y關于天數x的經驗回歸方程；(2)利用經驗回歸方程試著預測第10天的打卡人數；附：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．【考點題型三】獨立性檢驗【例3】.新型冠狀病毒疫情已經嚴重影響了我們正常的學習、工作和生活.某市為了遏制病毒的傳播，利用各種宣傳工具向市民宣傳防治病毒傳播的科學知識.某校為了解學生對新型冠狀病毒的防護認識，對該校學生開展防疫知識有獎競賽活動，并從女生和男生中各隨機抽取30人，統計答題成績分別制成如下頻數分布表和頻率分布直方圖.規定：成績在80分及以上的同學成為“防疫標兵”.

名女生成績頻數分布表：成績頻數101064附：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828(1)根據以上數據，完成以下列聯表，并判斷是否有%的把握認為“防疫標兵”與性別有關；男生女生合計防疫標兵非防疫標兵合計(2)以樣本估計總體，以頻率估計概率，現從該校女生中隨機抽取人，其中“防疫標兵”的人數為，求隨機變量的分布列與數學期望．【變式3-1】.現在，很多人都喜歡騎“共享單車”，但也有很多市民并不認可．為了調查人們對這種交通方式的認可度，某同學從交通擁堵嚴重的A城市和交通擁堵不嚴重的B城市分別隨機調查了20名市民，得到了一個市民是否認可的樣本，具體數據如下列聯表：AB總計認可15823不認可51217總計2020400.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.879附：．根據表中的數據，下列說法中，正確的是（

）A．沒有95%以上的把握認為“是否認可與城市的擁堵情況有關”B．有97.5%以上的把握認為“是否認可與城市的擁堵情況有關”C．可以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“是否認可與城市的擁堵情況有關”D．可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“是否認可與城市的擁堵情況有關”【變式3-2】.某學校在一次調查“籃球迷”的活動中，獲得了如下數據，以下結論正確的是（

）男生女生籃球迷3015非籃球迷4510附:，0.100.050.012.7063.8416.635A．有的把握認為是否是籃球迷與性別有關B．有的把握認為是否是籃球迷與性別有關C．在犯錯誤的概率不超過的前提下，可以認為是否是籃球迷與性別有關D．在犯錯誤的概率不超過的前提下，可以認為是否是籃球迷與性別有關【變式3-3】.（多選）為了了解居家學習期間性別因素是否對學生體育鍛煉的經常性有影響，某校隨機抽取了40名學生進行調查，按照性別和體育鍛煉情況整理出如下的22列聯表：性別鍛煉情況合計不經常經常女生/人14721男生/人81119合計/人221840臨界值表如下：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828根據這些數據，給出下列四個結論中正確的是（

）A．依據頻率穩定于概率的原理，可以認為性別對體育鍛煉的經常性有影響B．依據頻率穩定于概率的原理，可以認為性別對體育鍛煉的經常性沒有影響C．根據小概率值α=0.05的獨立性檢驗，可以認為性別對體育鍛煉的經常性有影響，這個推斷犯錯誤的概率不超過0.05D．根據小概率值α=0.05的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷性別對體育鍛煉的經常性有影響，因此可以認為性別對體育鍛煉的經常性沒有影響【變式3-4】.學校為了解學生對“公序良俗”的認知情況，設計了一份調查表，題目分為必答題和選答題．其中必答題是①、②、③共三道題，選答題為④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道題，被調查者在選答題中自主選擇其中道題目回答即可．現從④、⑥、⑧、⑩四個題目中至少選答一道的學生中隨機抽取名學生進行調查，他們選答④、⑥、⑧、⑩的題目數及人數統計如表：選答④、⑥、⑧、⑩的題目數1道2道3道4道人數(1)現規定：同時選答④、⑥、⑧、⑩的學生為“公序良俗”達人．學校還調查了這位學生的性別情況，研究男女生中“公序良俗”達人的大概比例，得到的數據如下表：性別“公序良俗”達人非“公序良俗”達人總計男性女性總計請完成上述列聯表，并根據小概率值的獨立性檢驗，分析“公序良俗”達人與性別是否有關．(2)從這名學生中任選名，記表示這名學生選答④、⑥、⑧、⑩的題目數之差的絕對值，求隨機變量的分布和數學期望．參考公式：，其中．附表見上圖．【變式3-5】.電動車的安全問題越來越引起廣大消費者的關注，目前電動車的電池有石墨烯電池與鉛酸電池兩種.某公司為了了解消費者對兩種電池的電動車的偏好，在社會上隨機調查了500名市民，其中被調查的女性市民中偏好鉛酸電池電動車的占，得到以下的2－2列聯表：偏好石墨烯電池電動車偏好鉛酸電池電動車合計男性市民200100女性市民合計500(1)根據以上數據，完成2×2列聯表，依據小概率的獨立性檢驗，能否認為市民對這兩種電池的電動車的偏好與性別有關；(2)采用分層抽樣的方法從偏好石墨烯電池電動車的市民中隨機抽取7人，再從這7名市民中抽取2人進行座談，求在有女性市民參加座談的條件下，恰有一名女性市民參加座談的概率；(3)用頻率估計概率，在所有參加調查的市民中按男性和女性進行分層抽樣，隨機抽取5名市民，再從這5名市民中隨機抽取2人進行座談，記2名參加座談的市民中來自偏好石墨烯電池電動車的男性市民的人數為X，求X的分布列和數學期望.參考公式：，其中.參考數據：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.8281．已知一組數據滿足線性回歸關系，且經驗回歸方程為，若，則（

）A．30 B．60 C．630 D．12002．高溫可以使病毒中的蛋白質失去活性，從而達到殺死病毒的效果，某科研團隊打算構建病毒的成活率與溫度的某種數學模型，通過實驗得到部分數據如下表：溫度x（℃）6810病毒數量y（萬個）302220由上表中的數據求得回歸方程為，可以預測當溫度為14℃時，病毒數量為（

）參考公式：，A．12 B．10 C．9 D．113．在研究線性回歸模型時，樣本數據所對應的點均在直線上，用表示解釋變量與響應變量之間的線性相關程度，則（

）A． B． C．1 D．34．已知變量與變量線性相關，與的樣本相關系數為，且由觀測數據算得樣本平均數，，則由該觀測數據算得經驗回歸方程可能是（

）A． B．C． D．5．白術是常見的大宗藥材，最早記載于《神龍本草經》，又叫于術?片術，具有補脾健胃，燥濕利水等功效.今年白術從1月份到5月份每公斤的平均價格（單位：元）的數據如右表：根據上表可得回歸方程，則實數的值為（

）月份12345每公斤平均價格77109137168199A．46 B．47 C．48 D．496．下列說法正確的是（

）A．某班共有學生50人，現按性別采用分層隨機抽樣的方法抽取容量為5的樣本，若樣本中男生有2人，則該班女生共有20人B．數據，，，，，，，的第80百分位數為8C．線性回歸分析中，樣本相關系數的絕對值越大，成對樣本數據的線性相關性越強D．線性回歸模型分析中，模型的決定系數越小，模型的擬合效果越好7．（多選）下列說法中正確的是（

）A．數據1，2，2，3，4，5的極差與眾數之和為7B．若隨機變量X服從二項分布，且，則C．X和Y是分類變量，若值越大，則判斷“X與Y獨立”的把握性越大D．若隨機變量X服從正態分布，且，則8．（多選）下列說法正確的是（

）A．若隨機變量，則B．殘差平方和越大，模型的擬合效果越好C．若隨機變量，則當減小時，保持不變D．一組數據的極差不小于該組數據的標準差9．（多選）下列命題正確的是（

）A．線性回歸直線不一定經過樣本點的中心B．設，若，，則C．兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于1D．一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中不放回地隨機摸出20個球作為樣本，用隨機變量X表示樣本中黃球的個數，則服從二項分布，且10．經統計，用于數學學習的時間（單位：小時）與成績（單位：分）之間的關系近似于線性相關關系.對某小組學生每周用于數學的學習時間與數學成績進行數據收集如表：151618192210298115120若由表中樣本數據求得線性回歸方程為，則實數.11．一部年代創業劇《乘風踏浪》，讓遼寧葫蘆島成為許多人心馳神往的旅游度假目的地.為了更好地了解游客需求，優化自身服務，提高游客滿意度，隨機對1200位游客進行了滿意度調查，結果如下表：男性女性合計滿意5605401100不滿意4060100合計6006001200根據列聯表中的數據，經計算得到（精確到0.001）；依據數據可作出的判斷是.附：.0.10.050.012.7063.8416.63512．臺州是全國三大電動車生產基地之一，擁有完整的產業鏈和突出的設計優勢.某電動車公司為了搶占更多的市場份額，計劃加大廣告投入、該公司近5年的年廣告費（單位：百萬元）和年銷售量（單位：百萬輛）關系如圖所示：

令，數據經過初步處理得：，，，，，，，現有①和②兩種方案作為年銷售量y關于年廣告費x的回歸分析模型，其中a，b，m，n均為常數.(1)請從相關系數的角度，分析哪一個模型擬合程度更好？(2)根據（1）的分析選取擬合程度更好的回歸分析模型及表中數據，求出y關于x的回歸方程，并預測年廣告費為6（百萬元）時，產品的年銷售量是多少？(3)該公司生產的電動車毛利潤為每輛200元（不含廣告費、研發經費）.該公司在加大廣告投入的同時也加大研發經費的投入，年研發經費為年廣告費的199倍.電動車的年凈利潤受年廣告費和年研發經費影響外還受隨機變量影響，設隨機變量服從正態分布，且滿足.在（2）的條件下，求該公司年凈利潤的最大值大于1000（百萬元）的概率.（年凈利潤=毛利潤×年銷售量-年廣告費-年研發經費-隨機變量）.附：①相關系數，回歸直線中公式分別為，；②參考數據：，，，.13．隨著互聯網的高速發展和新媒體形式的不斷豐富，微短劇作為一種新興的文化載體，正逐漸成為拓展文化消費空間的重要途徑.某媒體為了了解微短劇消費者的年齡分布，隨機調查了200名消費者，得到如下列聯表：年齡不超過40歲年齡超過40歲合計是微短劇消費者3045不是微短劇消費者合計100200(1)根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為“是微短劇消費者”與“年齡不超過40歲”有關聯？(2)記2020~2024年的年份代碼x依次為1，2，3，4，5，下表