2026屆湖南省汨羅市數學高一上期末考試模擬試題含解析

2026屆湖南省汨羅市數學高一上期末考試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．管理人員從一池塘內隨機撈出40條魚，做上標記后放回池塘.10天后，又從池塘內隨機撈出70條魚，其中有標記的有2條.根據以上數據可以估計該池塘內魚的總條數是（）A.2800 B.1800C.1400 D.12002．已知函數和，則下列結論正確的是A.兩個函數的圖象關于點成中心對稱圖形B.兩個函數的圖象關于直線成軸對稱圖形C.兩個函數的最小正周期相同D.兩個函數在區間上都是單調增函數3．已知扇形的圓心角為，半徑為10，則扇形的弧長為（）A. B.1C.2 D.44．函數單調遞增區間為A. B.C D.5．已知等腰直角三角形的直角邊的長為4，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為（）A. B.C. D.6．已知函數是定義在上的奇函數，，且，則（）A. B.C. D.7．已知向量，，且，若，均為正數，則的最大值是A. B.C. D.8．若，且，則（）A. B.C. D.9．已知，，，是球的球面上的四個點，平面，，，則該球的半徑為（）A. B.C. D.10．函數的定義域為（）A. B.C. D.R二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數，關于方程有四個不同的實數解，則的取值范圍為__________12．設函數f（x）=，則f（-1）+f（1）=______13．，，則_________14．若xlog23＝1，則9x+3﹣x＝_____15．如圖所示，將等腰直角沿斜邊上的高折成一個二面角，使得．那么這個二面角大小是_______16．函數的最大值為___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數()是偶函數.(1)求的值;(2)設,判斷并證明函數在上的單調性;(3)令若對恒成立,求實數的取值范圍.18．已知函數（1）求函數的最小正周期；（2）將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，若關于的方程在上有2個不等的實數解，求實數的取值范圍19．提高隧道的車輛通行能力可改善附近路段高峰期間的交通狀況.在一般情況下，隧道內的車流速度(單位：千米/小時)和車流密度(單位：輛/千米)滿足關系式：.研究表明：當隧道內的車流密度達到輛/千米時造成堵塞，此時車流速度是千米/小時.（1）若車流速度不小于千米/小時，求車流密度的取值范圍；（2）隧道內的車流量(單位時間內通過隧道的車輛數，單位：輛/小時)滿足，求隧道內車流量的最大值(精確到輛/小時)，并指出當車流量最大時的車流密度.20．設全集，，.求，，，21．已知函數（1）當時，求該函數的值域；（2）求不等式的解集；（3）若存在，使得不等式成立，求的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】由從池塘內撈出70條魚，其中有標記的有2條，可得所有池塘中有標記的魚的概率，結合池塘內具有標記的魚一共有40條魚，按照比例即得解.【詳解】設估計該池塘內魚的總條數為，由題意，得從池塘內撈出70條魚，其中有標記的有2條，所有池塘中有標記的魚的概率為：，又因為池塘內具有標記的魚一共有40條魚，所以，解得，即估計該池塘內共有條魚故選：C2、D【解析】由題意得選項A中，由于的圖象關于點成中心對稱，的圖象不關于點成中心對稱，故A不正確選項B中，由于函數的圖象關于點成中心對稱，的圖象關于直線成軸對稱圖形，故B不正確選項C中，由于的周期為2π，的周期為π，故C不正確選項D中，兩個函數在區間上都是單調遞增函數，故D正確選D3、D【解析】由扇形的弧長公式運算可得解.【詳解】解：因為扇形的圓心角為，半徑為10，所以由弧長公式得：扇形的弧長為故選：D4、A【解析】，所以．故選A5、D【解析】如圖為等腰直角三角形旋轉而成的旋轉體這是兩個底面半徑為，母線長4的圓錐，故S=2πrl=2π××4=故答案為D.6、C【解析】由得函數的周期性，由周期性變形自變量的值，最后由奇函數性質求得值【詳解】∵是奇函數，∴，又，∴是周期函數，周期為4∴故選：C7、C【解析】利用向量共線定理可得2x+3y=5，再利用基本不等式即可得出【詳解】∵，∴(3y－5)×1＋2x＝0，即2x＋3y＝5.∵x＞0，y＞0，∴5＝2x＋3y≥2，∴xy≤，當且僅當3y＝2x時取等號故選C.點睛】本題考查了向量共線定理和基本不等式，屬于中檔題8、D【解析】根據給定條件，將指數式化成對數式，再借助換底公式及對數運算法則計算即得.【詳解】因為，于是得，，又因為，則有，即，因此，，而，解得，所以.故選：D9、D【解析】由題意，補全圖形，得到一個長方體，則PD即為球O的直徑，根據條件，求出PD，即可得答案.【詳解】依題意，補全圖形，得到一個長方體，則三棱錐P-ABC的外接球即為此長方體的外接球，如圖所示：所以PD即為球O的直徑，因為平面，，，所以AD=BC=3,所以，所以半徑，故選：D【點睛】本題考查三棱錐外接球問題，對于有兩兩垂直的三條棱的三棱錐，可將其補形為長方體，即長方體的體對角線為外接球的直徑，可簡化計算，方便理解，屬基礎題.10、D【解析】利用指數函數的性質即可得出選項.【詳解】指數函數的定義域為R.故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】作出的圖象如下：結合圖像可知，，故令得：或，令得：，且等號取不到，故，故填.點睛：一般討論函數零點個數問題，都要轉化為方程根的個數問題或兩個函數圖像交點的個數問題，本題由于涉及函數為初等函數，可以考慮函數圖像來解決，轉化為過定點的直線與拋物線變形圖形的交點問題，對函數圖像處理能力要求較高.12、3【解析】直接利用函數的解析式，求函數值即可【詳解】函數f（x）=，則==3故答案為3【點睛】本題考查分段函數的應用，函數值的求法，考查計算能力13、【解析】將平方，求出的值，再利用弦化切即可求解.【詳解】，，，，，所以，所以.故答案為：14、【解析】由已知條件可得x＝log32，即3x＝2，再結合分數指數冪的運算即可得解.【詳解】解：∵，∴x＝log32，則3x＝2，∴9x＝4，，∴，故答案為：【點睛】本題考查了指數與對數形式的互化，重點考查了分數指數冪的運算，屬基礎題.15、【解析】首先利用余弦定理求得的長度，然后結合三角形的特征確定這個二面角大小即可.【詳解】由已知可得為所求二面角的平面角，設等腰直角的直角邊長度為，則，由余弦定理可得：，則在中，，即所求二面角大小是.故答案為：16、【解析】根據二次函數的性質，結合給定的區間求最大值即可.【詳解】由，則開口向上且對稱軸為，又，∴，，故函數最大值為.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）單調遞增函數.見解析（3）【解析】（1）由題意得，推出得，從而有，解出即可；（2）先求出函數的解析式，再根據單調性的性質即可得判斷函數的單調性，再利用作差法證明即可；（3），令，換元法得在上恒成立，利用分離變量法求出函數在上的最值，從而可求出的取值范圍【詳解】解:(1)由是偶函數得，可得，∴，即，得，解得:；(2)由(1)可知，,，和在上單調遞增，為在上的單調遞增函數，證明:任取，那么，，，，，則,，，即那么，為在上的單調遞增函數；(3)由(2)可知，那么，令,則，,，轉化為在上恒成立，即在上恒成立，而函數和在上單調遞增，則函數在上單調遞增，∴，∴，故：實數的取值范圍為【點睛】本題主要考查對數型函數的奇偶性與單調性的綜合，考查恒成立問題，屬于中檔題18、（1）（2）【解析】（1）利用三角恒等變換化簡，由周期公式求解即可；（2）先求出的解析式，再把所求轉化為方程在上有2個不等的實數解，令，根據圖象即可求得結論【小問1詳解】解：，即，所以函數的最小正周期為【小問2詳解】解：由已知可得，方程在上有2個不等的實數解，即方程在上有2個不等的實數解令，因為，，，，，令，則，，作出函數圖象如下圖所示：要使方程在上有2個不等的實數解，則19、（1）；（2）最大值約為3250輛/小時，車流密度約為87輛/千米.【解析】（1）把代入已知式求得，解不等式可得的范圍（2）由（1）求得函數，分別利用函數的單調性和基本不等式分段求得最大值，比較可得【詳解】解：（1）由題意知當(輛/千米)時，(千米/小時)，代入得，解得所以當時，，符合題意；當時，令，解得，所以綜上，答：若車流速度不小于40千米/小時，則車流密度的取值范圍是.（2）由題意得，當時，為增函數，所以，等號當且僅當成立；當時，即，等號當且僅當，即成立.綜上，的最大值約為3250，此時約為87.答：隧道內車流量的最大值約為3250輛/小時，此時車流密度約為87輛/千米.【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數模型的應用，對于已經給出函數模型的問題，關鍵是直接利用函數模型列出方程、不等式或利用函數性質求解20、或，，，或【解析】依據補集定義求得，再依據交集定義求得；依據交集定義求得，再依據補集定義求得.【詳解】，，，則或，則，則或21、（1）；（2）或；（3）【解析】（1）令，函數化為，結合二次函數的圖象與性質，即可求解；（2）由題意得到，令，得到，求得不等式的解集，進而求得不等式的解集，得到答案；（3）令，轉化為存在使得成立，結合函數的單