溫州樂成寄宿中學2026屆數學高一下期末經典模擬試題含解析

溫州樂成寄宿中學2026屆數學高一下期末經典模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若干個人站成一排，其中為互斥事件的是()A．“甲站排頭”與“乙站排頭”B．“甲站排頭”與“乙不站排尾”C．“甲站排頭”與“乙站排尾”D．“甲不站排頭”與“乙不站排尾”2．在等差數列中,，則（）A．5 B．8 C．10 D．143．若且，則下列四個不等式：①，②，③，④中，一定成立的是（）A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④4．平面與平面平行的充分條件可以是（）A．內有無窮多條直線都與平行B．直線，，且直線a不在內，也不在內C．直線，直線，且，D．內的任何一條直線都與平行5．圓上的一點到直線的最大距離為（）A． B． C． D．6．函數的最小正周期為π，若其圖象向左平移個單位后得到的函數為奇函數，則函數f（x）的圖象（）A．關于點對稱 B．關于點對稱C．關于直線對稱 D．關于直線對稱7．某市電視臺為調查節目收視率，想從全市3個縣按人口數用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，已知3個縣人口數之比為，如果人口最多的一個縣抽出60人，那么這個樣本的容量等于（）A．96 B．120 C．180 D．2408．矩形ABCD中，，，則實數（）A．-16 B．-6 C．4 D．9．已知直線yx+2，則其傾斜角為（）A．60° B．120° C．60°或120° D．150°10．正四棱錐的側棱長與底面邊長都是1，則側棱與底面所成的角為（）A．75°B．60°C．45°D．30°二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數的反函數為____________.12．中，若，，則角C的取值范圍是________.13．如圖,圓錐型容器內盛有水,水深,水面直徑放入一個鐵球后,水恰好把鐵球淹沒,則該鐵球的體積為________14．如圖是甲、乙兩人在10天中每天加工零件個數的莖葉圖，若這10天甲加工零件個數的中位數為，乙加工零件個數的平均數為，則______.15．設是等差數列的前項和，若，，則公差（___）．16．計算：______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，已知，，且AC邊的中點M在y軸上，BC邊的中點N在x軸上，求：頂點C的坐標；

直線MN的方程．18．土筍凍是閩南種廣受歡迎的特色傳統風味小吃某小區超市銷售一款土筍凍，進價為每個15元，售價為每個20元.銷售的方案是當天進貨，當天銷售,未售出的全部由廠家以每個10元的價格回購處理.根據該小區以往的銷售情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖:(1)估算該小區土筍凍日需求量的平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值代表)；(2)已知該超市某天購進了150個土筍凍，假設當天的需求量為個銷售利潤為元.(i)求關于的函數關系式;(ii)結合上述頻率分布直方圖，以額率估計概率的思想,估計當天利潤不小于650元的概率.19．已知向量與不共線，且，.（1）若與的夾角為，求；（2）若向量與互相垂直，求的值.20．在平面直角坐標系中，直線，.(1)直線是否過定點？若過定點，求出該定點坐標，若不過定點，請說明理由;(2)已知點，若直線上存在點滿足條件，求實數的取值范圍.21．如圖，等邊所在的平面與菱形所在的平面垂直，分別是的中點.（1）求證：平面；（2）若，，求三棱錐的體積

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

根據不能同時發生的兩個事件，叫互斥事件，依次判斷．【詳解】根據互斥事件不能同時發生，判斷A是互斥事件；B、C、D中兩事件能同時發生，故不是互斥事件；

故選A．【點睛】本題考查了互斥事件的定義．是基礎題．2、B【解析】試題分析：設等差數列的公差為，由題設知，，所以，所以，故選B.考點：等差數列通項公式.3、C【解析】

根據且，可得，，且，，根據不等式的性質可逐一作出判斷．【詳解】由且，可得，∴，且，，由此可得①當a=0時，不成立，②由，，則成立，③由，，可得成立，④由，若，則不成立，因此，一定成立的是②③，故選：C.【點睛】本題考查不等式的基本性質的應用，屬于基礎題.4、D【解析】

利用平面與平面平行的判定定理一一進行判斷，可得正確答案.【詳解】解：A選項，內有無窮多條直線都與平行，并不能保證平面內有兩條相交直線與平面平行，這無窮多條直線可以是一組平行線，故A錯誤；B選項,直線，，且直線a不在內，也不在內,直線a可以是平行平面與平面的相交直線，故不能保證平面與平面平行，故B錯誤；C選項,直線，直線，且，,當直線，同樣不能保證平面與平面平行，故C錯誤；D選項,內的任何一條直線都與平行,則內至少有兩條相交直線與平面平行，故平面與平面平行;故選:D.【點睛】本題主要考查平面與平面平行的判斷，解題時要認真審題，熟練掌握面與平面平行的判定定理，注意空間思維能力的培養.5、D【解析】

先求出圓心到直線距離，再加上圓的半徑，就是圓上一點到直線的最大距離．【詳解】圓心（2,1）到直線的距離是，所以圓上一點到直線的最大距離為，故選D．【點睛】本題主要考查圓上一點到直線距離最值的求法，以及點到直線的距離公式．6、C【解析】

利用最小正周期為π，求出的值，根據平移得出，然后利用對稱性求解.【詳解】因為函數的最小正周期為π，所以，圖象向左平移個單位后得到，由得到的函數是奇函數可得，即.令得，，故A,B均不正確；令得，，時可得C正確.故選C.【點睛】本題主要考查三角函數的圖像變換和性質.平移變換時注意平移方向和對解析式的影響，性質求解一般利用整體換元意識來處理.7、B【解析】

根據分層抽樣的性質,直接列式求解即可.【詳解】因為3個縣人口數之比為,而人口最多的一個縣抽出60人,則根據分層抽樣的性質,有,故選:B.【點睛】本題考查分層抽樣,解題關鍵是明確分層抽樣是按比例進行抽樣.8、B【解析】

根據題意即可得出，從而得出，進行數量積的坐標運算即可求出實數．【詳解】據題意知，,,．故選：．【點睛】考查向量垂直的充要條件，以及向量數量積的坐標運算,屬于容易題．9、B【解析】

根據直線方程求出斜率，根據斜率和傾斜角之間的關系即可求出傾斜角．【詳解】由已知得直線的斜率，則傾斜角為120°，故選：B．【點睛】本題考查斜率和傾斜角的關系，是基礎題．10、C【解析】如圖：是底面中心，是側棱與底面所成的角；在直角中，故選C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

首先求出在區間的值域，再由表示的含義，得到所求函數的反函數.【詳解】因為，所以，.所以的反函數是.故答案為：【點睛】本題主要考查反函數定義，同時考查了三角函數的值域問題，屬于簡單題.12、；【解析】

由，利用正弦定理邊角互化以及兩角和的正弦公式可得，進而可得結果.【詳解】由正弦定理可得，又，則,即，則，C是三角形的內角，則，故答案為：.【點睛】本題注意考查正弦定理以及兩角和的正弦公式的應用，屬于中檔題.正弦定理主要有三種應用：求邊和角、邊角互化、外接圓半徑.13、【解析】

通過將圖形轉化為平面圖形，然后利用放球前后體積等量關系求得球的體積.【詳解】作出相關圖形，顯然,因此，因此放球前，球O與邊相切于點M，故，則，所以，,所以放球后，而，而，解得.【點睛】本題主要考查圓錐體積與球體積的相關計算，建立體積等量關系是解決本題的關鍵，意在考查學生的劃歸能力，計算能力和分析能力.14、44.5【解析】

由莖葉圖直接可以求出甲的中位數和乙的平均數，求和即可．【詳解】由莖葉圖知，甲加工零件個數的中位數為，乙加工零件個數的平均數為，則．【點睛】本題主要考查利用莖葉圖求中位數和平均數．15、【解析】

根據兩個和的關系得到公差條件，解得結果.【詳解】由題意可知，，即，又，兩式相減得，.【點睛】本題考查等差數列和項的性質，考查基本分析求解能力，屬基礎題.16、【解析】

在分式的分子和分母中同時除以，然后利用常見的數列極限可計算出所求極限值.【詳解】.故答案為：.【點睛】本題考查數列極限的計算，熟悉一些常見數列極限是解題的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）邊AC的中點M在y軸上，由中點公式得，A，C兩點的橫坐標和的平均數為1，同理，B，C兩點的縱坐標和的平均數為1．構造方程易得C點的坐標．（2）根據C點的坐標，結合中點公式，我們可求出M，N兩點的坐標，代入兩點式即可求出直線MN的方程．解：（1）設點C（x，y），∵邊AC的中點M在y軸上得=1，∵邊BC的中點N在x軸上得=1，解得x=﹣5，y=﹣2．故所求點C的坐標是（﹣5，﹣2）．（2）點M的坐標是（1，﹣），點N的坐標是（1，1），直線MN的方程是=，即5x﹣2y﹣5=1．點評：在求直線方程時，應先選擇適當的直線方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直或經過原點的直線，故在解題時，若采用截距式，應注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點斜式，應先考慮斜率不存在的情況．18、（1）（2）(i)（）；(ii)【解析】

(1)設日需求量為，直接利用頻率分布圖中的平均數公式估算該小區土筍凍日需求量的平均數；（2）(i)分類討論得（）；(ii)由（i）可知，利潤，當且僅當日需求量，再利用互斥事件的概率和公式求解.【詳解】解：（1）設日需求量為，依題意的頻率為；的頻率為；的頻率為；的頻率為．則與的頻率為．故該小區土筍凍日需求量的平均數，．（2）（i）當時，；當時，．故（）（ii）由（i）可知，利潤，當且僅當日需求量．由頻率分布直方圖可知，日需求量的頻率約為，以頻率估計概率的思想，估計當天利潤不小于元的概率為．【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖中平均數的計算和分段函數解析式的求法，考查互斥事件的概率的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）根據平面向量的數量積即可解決．（2）根據兩個向量垂直，數量積為0即可解決．【詳解】解：（1）（2）由題意可得：，即，，

.【點睛】本題主要考查了平面向量的數量積，及兩個向量垂直時數量積為0的情況，屬于基礎題．20、（1）過定點，定點坐標為；（2）或.【解析】

(1)假設直線過定點，則關于恒成立，利用即可結果；(2)直線上存在點,求得,故點在以為圓心，2為半徑的圓上，根據題意，該圓和直線有交點，即圓心到直線的距離小于或等于半徑，由此求得實數的取值范圍.【詳解】（1）假設直線過定點，則，即關于恒成立，∴，∴，所以直線過定點，定點坐標為（2）已知點,，設點，則，，∵,∴,∴所以點的軌跡方程為圓，又點在直線：上，所以直線：與圓有公共點，設圓心到直線的距離為，則，解得實數的范圍為或.【點睛】本題主要考查直線過定點問題以及直線與圓的位置關系，屬于中檔題.解答直線與圓的位置關系的題型，常見思路有兩個：一是考慮圓心到直線的距離與半徑之間的大小關系；二是直線方程與圓的方程聯立，考慮運用韋達定理以及判別式來解答.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】

解法一：（1）取中點，連接，，證出，利用線面平行的判定定理即可證出.（2）取中點，連接，利用面面垂直的性質定理可得平面，過作于，可得平面，由即可求解.解法二：（1）取中點，連接，證出平面，平面，利用面面平行的判定定理可證出平面平面，再利用面面平行的性質定理即可證出.（2）取中點，連接，根據面面垂直的性質定理可得平面，再由，利用三棱錐的體積公式即可求解.【詳解】解法一：（1）取中點，連接，.因為分別是的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）取中點，連接，則，且，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面同