2026屆重慶市云陽江口中學高一下數學期末經典試題含解析

2026屆重慶市云陽江口中學高一下數學期末經典試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知實數滿足約束條件，則目標函數的最小值為()A． B． C．1 D．52．中，，，，則的面積等于（）A． B． C．或 D．或3．如圖所示，某汽車品牌的標志可看作由兩個同心圓構成，其中大、小圓的半徑之比為，小圓內部被兩條互相垂直的直徑分割成四塊.在整個圖形中任選一點，則該點選自白色部分的概率為（）A． B． C． D．4．已知a，b為非零實數，且，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．5．若，，且與夾角為，則（）A．3 B． C．2 D．6．已知的三個頂點都在一個球面上，，且該球的球心到平面的距離為2，則該球的表面積為（）A． B． C． D．7．在中，角所對的邊分別為，若，，，則等于（）A．4 B． C． D．8．下列函數中，是偶函數且在區間上是增函數的是（）A． B．C． D．9．已知為等差數列，，，則等于（）.A． B． C． D．10．將函數f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的圖象向左平移個單位，所得到的函數圖象關于y軸對稱，則函數f（x）的最小正周期不可能是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，則與的夾角為______．12．根據黨中央關于“精準脫貧”的要求，石嘴山市農業經濟部門派3位專家對大武口、惠農2個區進行調研，每個區至少派1位專家，則甲，乙兩位專家派遣至惠農區的概率為_____．13．在四面體中，平面ABC，，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則四面體ABCD的體積為_______．14．已知數列滿足:,則___________.15．在數列中，，則___________.16．設，，，，則數列的通項公式=．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等比數列的公比，前項和為，且滿足.，，分別是一個等差數列的第1項，第2項，第5項.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和；（3）若，的前項和為，且對任意的滿足，求實數的取值范圍.18．如圖，邊長為2的正方形中，（1）點是的中點，點是的中點，將分別沿折起，使兩點重合于點．求證：（2）當時，求三棱錐的體積．19．已知等差數列的首項為，公差為，前n項和為，且滿足，.（1）證明；（2）若，，當且僅當時，取得最小值，求首項的取值范圍.20．在公差不為零的等差數列中，成等比數列.（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）設，設數列的前項和，求證.21．已知圓A：，圓B：.（Ⅰ）求經過圓A與圓B的圓心的直線方程；（Ⅱ）已知直線l：，設圓心A關于直線l的對稱點為，點C在直線l上，當的面積為14時，求點C的坐標.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

作出不等式組表示的平面區域，再觀察圖像即可得解.【詳解】解：先作出不等式組表示的平面區域，如圖所示，由圖可知目標函數所對應的直線過點時目標函數取最小值，則，故選：A.【點睛】本題考查了簡單的線性規劃問題，重點考查了數形結合的數學思想方法，屬基礎題.2、D【解析】

先根據余弦定理求AC，再根據面積公式得結果.【詳解】因為，所以或2，因此的面積等于或等于，選D.【點睛】本題考查余弦定理與三角形面積公式，考查基本求解能力，屬基礎題.3、B【解析】

設大圓半徑為，小圓半徑為，求出白色部分面積和大圓面積，由幾何概型概率公式可得．【詳解】設大圓半徑為，小圓半徑為，則整個圖形的面積為，白色部分的面積為，所以所求概率.故選：B.【點睛】本題考查幾何概型，考查面積型的幾何概型，屬于基礎題．4、C【解析】

，時，、、不成立；利用作差比較，即可求出．【詳解】解：，時，，，故、、不成立；，，．故選：．【點睛】本題考查了不等式的基本性質，屬于基礎題．5、B【解析】

由題意利用兩個向量數量積的定義，求得的值，再根據，計算求得結果．【詳解】由題意若，，且與夾角為，可得，.故選：B．【點睛】本題考查向量數量積的定義、向量的模的方法，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意不要錯選成A答案.6、C【解析】

先算出的外接圓的半徑，然后根據勾股定理可得球的半徑，由此即可得到本題答案.【詳解】設點O為球心，因為，所以的外接圓的圓心為AC的中點M，且半徑，又因為該球的球心到平面的距離為2，即，在中，，所以該球的半徑為，則該球的表面積為.故選：C【點睛】本題主要考查球的表面積的相關問題.7、B【解析】

根據正弦定理，代入數據即可。【詳解】由正弦定理，得：，即，即：解得：選B。【點睛】此題考查正弦定理：，代入數據即可，屬于基礎題目。8、A【解析】

逐一分析選項，得到答案.【詳解】A.是偶函數,并且在區間時增函數，滿足條件；B.不是偶函數,并且在上是減函數，不滿足條件；C.是奇函數,并且在區間上時減函數，不滿足條件；D.是偶函數，在區間上是減函數，不滿足條件；故選A.【點睛】本題考查了函數的基本性質，屬于基礎題型.9、B【解析】

利用等差數列的通項公式，列出方程組，求出首項和公差，由此能求出．【詳解】解：為等差數列，，，，，，，，，．故選：【點睛】本題考查等差數列的第20項的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用．10、D【解析】

利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，對稱性和周期性，求得函數的最小正周期為，由此得出結論．【詳解】解：將函數的圖象向左平移個單位，可得的圖象，根據所得到的函數圖象關于軸對稱，可得，即，．函數的最小正周期為，則函數的最小正周期不可能是，故選．【點睛】本題主要考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，對稱性和周期性，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

設與的夾角為，由條件，平方可得，由此求得的值．【詳解】設與的夾角為，，則由，平方可得，解得，∴，故答案為．【點睛】本題主要考查兩個向量的數量積的定義，向量的模的定義，已知三角函數值求角的大小，屬于中檔題．12、【解析】

將所有的基本事件全部列舉出來，確定基本事件的總數，并確定所求事件所包含的基本事件數，然后利用古典概型的概率公式求出答案．【詳解】所有的基本事件有：（甲、乙丙）、（乙，甲丙）、（丙、甲乙）、（甲乙、丙）、（甲丙、乙）、（乙丙、甲）（其中前面的表示派往大武口區調研的專家），共個，因此，所求的事件的概率為，故答案為．【點睛】本題考查古典概型概率的計算，解決這類問題的關鍵在于確定基本事件的數目，一般利用枚舉法和數狀圖法來列舉，遵循不重不漏的基本原則，考查計算能力，屬于基礎題．13、【解析】

設,再根據外接球的直徑與和底面外接圓的一條直徑構成直角三角形求解進而求得體積即可.【詳解】設,底面外接圓直徑為.易得底面是邊長為3的等邊三角形.則由正弦定理得.又外接球的直徑與和底面外接圓的一條直徑構成直角三角形有.又外接球的表面積為,即.解得.故四面體體積為.故答案為：【點睛】本題主要考查了側棱垂直于底面的四面體的外接球問題.需要根據題意建立底面三角形外接圓的直徑和三棱錐的高與外接球直徑的關系再求解.屬于中檔題.14、0【解析】

先由條件得，然后【詳解】因為所以因為，且所以，即故答案為：0【點睛】本題考查的是數列的基礎知識，較簡單.15、-1【解析】

首先根據，得到是以，的等差數列.再計算其前項和即可求出，的值.【詳解】因為，.所以數列是以，的等差數列.所以.所以，，.故答案為：【點睛】本題主要考查等差數列的判斷和等差數列的前項和的計算，屬于簡單題.16、2n+1【解析】由條件得，且，所以數列是首項為4，公比為2的等比數列，則．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)；(3)【解析】

（1）利用等比數列通項公式以及求和公式化簡，得到，由，，分別是一個等差數列的第1項，第2項，第5項，利用等差數列的定義可得，化簡即可求出，從而得到數列的通項公式．（2）由（1）可得，利用錯位相減，求出數列的前項和即可；（3）結合（1）可得，利用裂項相消法，即可得到的前項和，求出的最大值，即可解得實數的取值范圍【詳解】（1）由得，所以，由，，分別是一個等差數列的第1項，第2項，第5項，得，即，即，即，因為，所以，所以.（2）由于，所以，所以，，兩式相減得，，所以（3）由知，∴，∴，解得或.即實數的取值范圍是【點睛】本題考查等比數列通項公式與前項和，等差數列的定義，以及利用錯位相減法和裂項相消法求數列的前項和，考查學生的計算能力，有一定綜合性．18、（1）見解析；（2）【解析】試題分析：（1）由題意，,∴，∴．（2）把當作底面，因為角=90°，所以為高；過作H垂直于EF，H為EF中點（等腰三角形三線合一）；BE＝BF＝BC，；，，，．考點：折疊問題，垂直關系，體積計算．點評：中檔題，對于折疊問題，要特別注意“變”與“不變”的幾何元素，及幾何元素之間的關系．本題計算幾何體體積時，應用了“等體積法”，簡化了解題過程．19、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）根據等差數列的前n項和公式,變形可證明為等差數列.結合條件,,可得,進而表示出.由為等差數列,表示出,化簡變形后結合不等式性質即可證明.（2）將三角函數式分組,提公因式后結合同角三角函數關系式化簡.再由平方差公式及正弦的和角與差角公式合并.根據條件等式,結合等差數列性質,即可求得.由,即可確定.當且僅當時，取得最小值,可得不等式組,即可得首項的取值范圍.【詳解】（1）證明:等差數列的前n項和為,則所以,,故為等差數列,因為,,所以,解得,因為,得故,從而.（2）而.由條件又由等差數列性質知：所以,因為,所以,那么.等差數列,當且僅當時,取得最小值.,所以.【點睛】本題考查了等差數列前n項和公式的應用,等差數列通項公式定義及變形式應用.三角函數式變形,正弦和角與差角公式的應用,不等式組的解法,綜合性強,屬于難題.20、（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）根據題意列出方程組，利用等差數列的通項公式化簡求解即可；（Ⅱ）將的通項公式代入所給等式化簡求出的通項公式，利用裂項相消法求出，由推出，由數列是遞增數列推出.【詳解】（Ⅰ）設等差數列的公差為（），因為，所以解得，所以.（Ⅱ），.因為，所以，又因為，所以數列是遞增數列，于是.綜上，.【點睛】本題考查等差數列的基本量的求解，裂項相消法求和，數列性質的應用，屬于中檔題.21、（I）（Ⅱ）或【解