熱點題型9-3 概率與統計題型歸納（學生版）-2026新高考數學熱點題型全解全練

概率與統計題型歸納互斥、對立、獨立事件的概率解｜題｜策｜略1、互斥事件與對立事件的關系①互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者之一必須有一個發生．②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分不必要條件．判斷互斥對立事件可根據①利用互斥跟對立事件的定義來判斷，互斥事件的定義比對立的更嚴。②可以借助集合的方法來解決事件問題。3、獨立事件的概念與判斷：設A，B為兩個事件，若P(AB)=P(如果事件A，B互相獨立，那么A與B，A與B，A與B也都相互獨立．當P(B)>0時，A與B獨立的充要條件是P(A|B)=P(A)．1．（多選）（2025·湖北武漢·模擬預測）已知事件，且，則（

）A．事件與事件互為對立事件B．若事件與事件互斥，則C．若事件與事件互斥，則D．若，則事件與事件相互獨立2．（多選）（2025·江蘇鎮江·模擬預測）為響應校團委發起的“青年大學習”號召，某班組織了有獎知識競答活動.決賽準備了4道選擇題和2道填空題，每位參賽者從6道題中不放回地隨機抽取三次，每次抽取1道題作答.設事件為“第次抽到選擇題”，則下列結論中正確的是（

）A．與互斥；與互斥B．不管第幾次抽取，抽到選擇題的概率都相同C．D．3．（多選）（2026·云南大理·二模）已知甲盒中有2個白球和4個紅球，乙盒中有3個白球和2個紅球．先從甲盒隨機取出一球放入乙盒，設“從甲盒取出的球是白球”為事件，“從甲盒取出的球是紅球”為事件；再從乙盒中隨機取出一球，設“從乙盒取出的球是白球”為事件，“從乙盒取出的球是紅球”為事件，下列說法正確的是（

）A．，是互斥事件 B．，是獨立事件C． D．4．（2026·新疆·二模）已知事件的概率均不為0，下列說法正確的是（

）A．若，則事件與為對立事件B．若，則事件與為相互獨立事件C．若，則D．若，則5．（多選）（2025·四川瀘州·一模）記為事件的對立事件，已知，下列結論正確的是（

）A．若，則B．若與相互獨立，則C．若，則D．若，則古典概型的概率解｜題｜策｜略確認是否為古典概型：試驗樣本空間有限（樣本點總數有限），每個樣本點發生的可能性相等。明確樣本空間：列出或計算所有可能的基本事件總數

n。確定目標事件：明確所求事件包含哪些基本事件，并計數

m。4、計算概率：概率

P=m?檢查是否需考慮順序、分組等,注意計數時使用排列還是組合，確保分子分母一致。1．（2026·四川巴中·一模）某學校圍棋社團組織高一與高二的同學比賽，雙方各挑選業余一段、業余二段、業余三段三位選手，段位越高水平越高．已知高二每個段位的選手都比高一相應段位的選手強一些.比賽勝負僅由段位決定，段位高者獲勝；若段位相同，則高二選手獲勝.比賽共三局，每局雙方各派一名選手出場，且每名選手只賽一局，勝兩局或三局的一方獲得比賽勝利．在比賽之前，雙方都不知道對方選手的出場順序，則第一局比賽高一獲勝的概率為，在一場比賽中高二獲勝的概率為．2．（多選）（2026·湖南株洲·一模）某電腦程序每次等概率隨機輸出中的一個數，和分別表示輸出的前個數中的最大值和最小值．已知每次輸出都是獨立的，且可以重復輸出同一個數．則下列命題正確的是（）A． B．C． D．3．（2026·山東·一模）已知盒中有10張紙條，分別寫著1~10共10個數字，隨機抽出一張，則恰好抽到3的倍數或抽到4的倍數的概率是（

）A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.24．（2026·廣西南寧·一模）某市十景包含揚美古風、青山塔影、明山錦繡、望仙懷古、伊嶺神宮、九龍戲珠、南湖情韻、鳳江綠野、邕江春泛、龍虎猴趣，每個景點都有其獨特的魅力．某游客計劃從這10個景點中隨機選擇2個景點進行游玩，則青山塔影被選中的概率是．5．（2026·安徽淮南·一模）2025年12月11日淮南市科技館正式開館，淮南市某中學有甲、乙、丙、丁等7位學生約好2026年1月1日去科技館志愿服務．現將7位學生隨機分為3組，每組至少一人，則甲乙同組且丙丁同組的概率為（

）A． B． C． D．條件概率與全概率公式解｜題｜策｜略1、條件概率：一般地,當事件B發生的概率大于0時(即P(B)>0),已知事件B發生的條件下事件A發生的概率,稱為條件概率,記作P(A|B),而且P(A|B)=P（1）如果B和C是兩個互斥事件，則PB∪C（2）設B和B互為對立事件，則PB2、全概率公式：設A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有PB=i=1nPAiP3、貝葉斯公式：設A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，PB>0，有PBAi=PA條件概率強調樣本空間受限，全概率是由原因推結果的分解求和，貝葉斯是由結果推原因的概率修正。1．（2026·重慶·一模）從1，2，3，4，5，6，7這7個數字中依次不放回地隨機選取兩個數字，記事件：“第一次抽到的數字是奇數”，事件：“第二次抽到的數字是偶數”，則（

）A． B．C． D．2．（2026·江蘇鎮江·模擬預測）兩位游客慕名來江蘇旅游，他們分別從太湖黿頭渚、蘇州拙政園、鎮江金山寺、常州恐龍園、南京夫子廟、揚州瘦西湖這6個景點中隨機選擇1個景點游玩.記事件“兩位游客中至少有一人選擇太湖黿頭渚”，事件“兩位游客選擇的景點不同”，則.3．（2026·海南海口·一模）已知，是隨機事件，若，，則（

）A． B． C． D．4．（多選）（2026·山東濟南·一模）現進行如下試驗：從中任選一個數，記為，若，則試驗結束；否則再從中任選一個數，記為，若，則試驗結束；否則再從中任選一個數，依次類推，直至選中1為止.記事件“試驗過程中，數字被選到”，表示事件發生的概率（），則（

）A．B．C．D．且5．（多選）（2025·江蘇南通·模擬預測）甲、乙兩個盒子中分別裝有大小、形狀、質地相同的1個黑球和2個紅球.現從兩個盒子中各任取一個球放入對方盒子中稱為一次操作，重復進行次操作后，甲盒子中恰有0個黑球，1個黑球，2個黑球分別記為事件，，，則（

）A． B．C． D．離散型隨機變量的分布列解｜題｜策｜略1、判斷分布類型確認隨機變量：明確問題中的隨機變量

X

及其可能取值識別分布類型：若為不放回抽樣且關心“次品數”、“合格數”等→

超幾何分布若為獨立重復試驗（每次成功概率相同）→

二項分布若為有限等可能抽樣且涉及特定計數→可考慮古典概型計算2、確定參數并計算概率：根據類型選用公式，依次計算

X

取每一個可能值的概率3、整理分布列，列成表格，驗證概率和為1應用與計算：求期望值或方差等。注意：先判斷類型再計算，避免公式誤用，注意隨機變量取值的完整性與互斥性計算后務必檢查概率總和是否為1（可避免計算錯誤）1．（2026·重慶·一模）甲、乙兩位同學參加投籃練習，由他們的投籃位置和命中情況確定得分可能為3分、2分、0分，根據以往練習統計數據，甲一次投籃得3分、2分、0分的概率分別為，乙不投3分球，他一次投籃得2分、0分的概率分別為．若甲、乙各投籃一次稱為一輪投籃，且甲、乙投籃相互獨立，每次投籃也互不影響．(1)記一輪投籃后，甲的得分為，乙的得分為，求；(2)記一輪投籃后，甲乙所得分數之和為隨機變量，求的分布列及數學期望．2．（25-26高三上·江西·月考）人工智能，是引領新一輪科技革命與產業變革的戰略技術，其研發過程融合了算法創新與工程實踐的深度智慧.某科技公司計劃開發三款不同的大語言模型.每款模型的研發分為兩個主要階段：算法設計評審和工程部署驗收.只有算法設計評審通過后，才能進入工程部署驗收，兩個階段相互獨立.只有同時通過這兩個階段，模型才能正式上線發布.已知三款模型通過算法設計評審的概率依次為，通過工程部署驗收的概率依次為.(1)求三款中恰有兩款通過算法設計評審的概率；(2)若已知三款中恰有一款通過算法設計評審，求通過的模型為的概率；(3)經過算法設計評審和工程部署驗收兩個階段后，三款模型能成功上線的數量為隨機變量，求的分布列及數學期望.3．（2026·江蘇徐州·一模）現有除顏色外都相同的3個紅球和3個白球，隨機取3個球放入一個不透明的袋中，記袋中紅球的個數為.從袋中隨機摸出一個球，并換入一個另一種顏色的球，經過次摸換，袋中的紅球個數記為.(1)求與；(2)求；(3)當時，求隨機變量的數學期望.4．（2026·四川巴中·一模）某素質訓練營設計了一項闖關比賽．規定：三人組隊參賽，每次只派一個人，且每人只派一次；如果一個人闖關失敗，再派下一個人重新闖關；三人中只要有人闖關成功即視作比賽勝利，無需繼續闖關．現有甲、乙、丙三人組隊參賽，他們各自闖關成功的概率分別為、、，假定、、互不相等，且每人能否闖關成功的事件相互獨立．(1)計劃依次派甲、乙、丙進行闖關，若，，，求該小組比賽勝利的概率；(2)若依次派甲、乙、丙進行闖關，則寫出所需派出的人員數目的分布，并求的期望；(3)已知，若甲只能安排在第一個派出，要使派出人員數目的期望較小，試確定乙、丙誰先派出．5．（2026·重慶九龍坡·一模）在重慶軌道交通故障排查演練中，三名工程師分別檢查三個不同的系統，假設甲發現故障的概率為，乙、丙兩人同時發現故障的概率是，甲、丙兩人均未發現故障的概率是，且三人各自能否發現故障相互獨立．(1)求乙、丙兩人各自發現故障的概率；(2)用X表示三人中發現故障的人數，求X的分布列和期望．二項分布及應用解｜題｜策｜略1、判斷是否為二項分布滿足以下3個條件可判定為二項分布：試驗次數固定：共進行

n

次獨立試驗每次試驗只關注兩個結果：“成功”與“失敗”，1與0，“正確”或“錯誤”等成功概率恒定：每次試驗中成功概率

p

保持不變

記作：X確定參數與可能取值：明確參數n：試驗總次數，p：每次試驗的成功概率確定隨機變量取值：X（成功次數）的可能取值為0,1,2,…,n概率的計算：使用二項分布概率公式：P列出分布列并計算期望值等。2、二項分布列概率最大值的取得對二項分布列PX=kP(X=k)≥P(X=k-1)P(X=k)≥可解得pn+1-1≤k≤pn+1,k取這個范圍內整數，當k由0增加到n1．（2026·全國·模擬預測）投壺游戲起源于中國古代六藝中的“射”藝，是射禮的演變和延續．甲、乙兩位同學為了參加投壺游戲比賽，進行了大量的投壺訓練．從這些訓練數據中隨機抽取甲乙各100次投壺數據，其中甲投中目標的次數為80次，乙投中目標的次數為85次．假設每次投壺相互獨立，用頻率估計概率．(1)若現在讓甲投壺4次，求甲投中目標的次數X的分布列及期望；(2)通過分析甲、乙的訓練數據發現：若甲發揮正常，投中目標的概率為0.9，發揮不正常，投中目標的概率為0.5；若乙發揮正常，投中目標的概率為0.95，發揮不正常，投中目標的概率為0.6．設甲、乙發揮正常的概率分別為p，q，計算并比較p與q的大小．2．（2026·陜西寶雞·一模）為了了解全市高中學生體育鍛煉情況，現準備在某高中進行抽樣調查．已知該高中共有學生1200人，其中男生720人．現按學生性別采用分層抽樣方法抽取60人進行調查．調查中把每天鍛煉時間超過60分鐘的學生稱為“鍛煉積極者”，否則稱為“鍛煉不積極者”．已知在樣本中：男性“鍛煉積極者”共24人，女性“鍛煉積極者”共12人．(1)求抽取的60人中男生、女生各多少人．(2)從抽取的60人中隨機選取一人，設事件為“選到男生”，事件為“選到鍛煉積極者”，試判斷事件、是否相互獨立，并說明理由．(3)用上面的樣本估計總體，若從全市學生中抽取3人，記抽取的3人中“鍛煉積極者”的人數為X，求X的分布列和數學期望．3．（2026·湖北荊州·一模）某電商平臺對其售賣的一款家電開展甲、乙兩種促銷活動，活動規則如下：參加活動的消費者只能在甲、乙兩種活動中選擇一個參加，且僅能參加一次，最多購買一臺家電；活動甲設有4個不同的選擇題、3個不同的填空題，活動乙設有3個不同的選擇題、2個不同的填空題；參加活動的消費者在所選擇的促銷活動中先后抽取2個不同的題目作答，若兩題都答對，則享受按2折購買的優惠，答對一題可享受按5折購買的優惠，全部答錯只能享受按8折購買的優惠.小黃對該家電有購買需求，決定參加活動，其答對每道選擇題的概率均為0.8，答對每道填空題的概率均為0.4，每次答題相互獨立.(1)若小黃選擇參加活動乙，求第二題抽到的題目是填空題的概率；(2)該款家電原價為a元/臺，小黃應該選擇參加甲、乙中的哪個活動？請說明理由.4．（2026·重慶九龍坡·一模）某企業為了提高生產效率和產品質量，更新了機器設備，為了檢驗新機器生產零件的質量，該企業質檢部門要對新機器生產的零件抽樣檢測.(1)在調試生產初期，質檢部門抽檢該機器生產的10個零件中有2個為次品，現從這10個零件中隨機抽取3個零件，設抽取的零件為次品的個數為，求的分布列和數學期望;(2)在正式生產后，質檢部門從新機器生產的一批零件中隨機抽取100件進行檢驗，其中有3件為次品.用頻率估計概率，現從新機器生產的這批零件中隨機抽取個零件，記這個零件中恰有2件為次品的概率為，求取得最大值時的值.5．（2026·重慶·一模）一顧客參加某商場的抽獎活動，抽獎規則為:拋擲一枚質地均勻的骰子，若擲出的點數大于4，則中獎，否則不中獎，每次拋擲相互獨立.設該顧客抽獎次，中獎次數為.(1)若，求的分布列和期望；(2)若，，1，2，3，，，求的最大值；(3)設未出現連續兩次不中獎的概率為.求，，，并說明當足夠大時，的實際意義.超幾何分布及應用解｜題｜策｜略超幾何分布的解題步驟：模型識別與參數確定確認試驗符合不放回抽樣特征，并確定三個參數：總體容量

N，總體中“成功”元素個數

M，抽取樣本量

n

則隨機變量

XX

服從超幾何分布

X～H(N,M,n)。2、概率計算

利用超幾何概率公式直接計算

X=k

的概率：P3、分布列表示將

X

的所有可能取值及其對應概率整理為分布列（通常用表格形式呈現）。1．（2025·江西·模擬預測）為了保持某自然生態保護區的生態平衡，現用重捕法了解該保護區內某種動物的大致數量（單位：只），隨機在保護區內捕捉了100只該動物并做上標記，一段時間后再隨機捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有標記的數量．若以使得的概率最大時的值作為該保護區內這種動物的數量的估計值，則的估計值是．2．（2025·河北·模擬預測）某校航模社團共有名學生，研究“戰斗機航模”的有人，其中男生人女生人，另外人研究“無人機航模”．(1)從研究“戰斗機航模”的人中任意選出人宣傳該社團，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的概率；(2)從航模社團中任意選出人參加航模設計大賽，設表示來自研究“無人機航模”的人數，求的數學期望．3．（25-26高三上·重慶·期中）甲、乙兩工廠共同生產一種零件，經過抽樣調查，質檢人員發現:甲工廠生產的一批零件的合格品率為85%；乙工廠生產的另一批零件的合格品率為95%；若將這兩批零件混合放在一起，則合格品率為89%.(1)設甲工廠生產的這批零件有件，乙工廠生產的這批零件有件.求證:；(2)按照分層隨機抽樣的方法從兩個工廠生產的零件中隨機抽取5個，再從這5個零件中抽取3個，記這3個零件中來自乙工廠的個數為，求的分布列和數學期望.4．（2025·四川達州·模擬預測）年末促銷是商場常用清理庫存和資金回籠的一種措施.某商場對消費超過500元的消費者提供一次抽獎活動，抽獎箱中裝有10個同種材質且大小相同的紅球、黃球和綠球（綠球的個數最多），消費者從抽獎箱中同時抽取2個小球，若2個小球都是紅球即獲得一等獎，都是黃球即獲得二等獎，其余情況，均是不獲獎.若從抽獎箱中同時抽取2個小球，其中黃球和綠球各1個的概率是，某消費者抽獎一次.(1)求其獲得一等獎的概率；(2)記抽到的綠球個數為，求的分布列及其期望.5．（2025·山東濟寧·一模）為了解高三，1班和2班的數學建模水平，現從兩個班級中各隨機抽取10名學生參加數學建模能力比賽（滿分100分），成績如下：數據Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92；數據Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95．(1)求數據Ⅰ（高三，1班）的第80百分位數；(2)從上述成績在60分以下的學生中隨機抽取3人作下一步調研，設被抽到的3人中來自于高三，2班的學生人數為，求的概率分布列和數學期望．正態分布的應用解｜題｜策｜略利用正態曲線的對稱性求解相關概率問題，主要依據以下兩個基本性質：正態曲線關于直線

x=μ

對稱；2、曲線與

x

軸所圍成的總面積為

1。1．（2026·河北邢臺·一模）若隨機變量，且，則2．（多選）（2026·湖北荊門·模擬預測）目前新能源汽車越來越受到人們的關注與喜愛，其中新能源汽車所配備電池的充電量及正常使用年限是人們購車時所要考慮的重要因素之一．某廠家生產的某一型號的新能源汽車配備了兩組電池，且兩組電池能否正常使用相互獨立．每組電池的正常使用年限（單位：年），，，以下結論正確的是（

）A． B．C． D．這兩組電池正常使用年限都不超過20年的概率為0.753．（2026·湖南邵陽·一模）已知隨機變量，正實數滿足，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（多選）（2026·廣東肇慶·二模）已知隨機變量，則（

）A．B．越大，隨機變量的方差越大C．隨機變量的分布越集中，的值越小D．的取值在內是小概率事件5．（多選）（2026·陜西延安·一模）陜西省某中學體能測試成績服從正態分布，已知，則下列說法正確的是（

）（參考數據：）A．B．C．若隨機抽取3名學生，則至少2人成績超過75的概率為D．若隨機抽取100名學生，則成績超過85的人數期望為20隨機抽樣樣本的數字特征解｜題｜策｜略1、眾數反映數據出現最頻繁的取值，能夠體現數據的“最大集中點”，但它對數據整體的分布不敏感，容易忽略其他取值的信息，因此無法全面、客觀地反映總體特征。2、中位數將樣本數據按大小排列后位于中間位置，可視作頻率累積分布的中心分割點，它不受極端值影響，對數據中的異常值具有較好的穩健性，適用于偏態分布或存在極端值的數據描述。3、平均數綜合考慮了樣本中每一個數據的取值，能夠反映出數據總體的集中趨勢，包含較為豐富的總體信息。然而，平均數容易受到極端值（離群值）的影響，在數據分布嚴重偏斜或存在異常值時，其代表性可能會被削弱。如果直方圖的形狀是對稱的，那么平均數與中位數應該大體上差不多；但是如果直方圖的性質不是對稱的，那么和中位數相比，平均數總在“長尾巴”那邊。1．（多選）（2026·廣東湛江·一模）一組互不相等的數據從小到大排列為，去掉后，則下列選項正確的有（

）A．極差變大 B．平均數變大 C．中位數變小 D．分位數變大2．（多選）（2026·河北·模擬預測）已知一組樣本數據為7，1，3，4，5，1，5，6，則下列說法中正確的是（

）A．這組數據的極差是5 B．這組數據的中位數是4.5C．這組數據的第80百分位數是5.5 D．這組數據的方差是4.253．（2026·云南昭通·模擬預測）棉花的纖維長度是棉花質量的重要指標.在一批棉花中隨機抽測了400根棉花纖維的長度（單位：），整理得到下表數據：纖維長度（）頻數30406012010050根據表中數據，關于對樣本數據的分析，下列結論中正確的是（

）A．棉花纖維的長度的極差估計值大于B．棉花纖維中，其長度低于的棉花纖維數占三分之一C．棉花纖維的長度的中位數估計值介于至之間D．棉花纖維的長度的平均值估計值介于至之間4．（多選）（2026·四川瀘州·二模）已知兩組樣本數據和，其中是的中位數，則這兩組樣本數據的（

）A．極差不相等 B．中位數相等C．平均數相等 D．標準差可能相等5．（多選）（2026·全國·模擬預測）已知甲、乙兩組樣本各有1000個數據，甲、乙兩組數據合并后得到一組新數據，則（

）A．若甲、乙兩組數據的平均數都為a，則新數據的平均數等于aB．若甲、乙兩組數據的極差都為b，則新數據的極差可能大于bC．若甲、乙兩組數據的方差都為c，則新數據的方差可能小于cD．若甲、乙兩組數據的中位數都為d，則新數據的中位數等于d頻率分布直方圖解｜題｜策｜略頻率分布直方圖的基本關系（1）面積即頻率：每個小矩形的面積=組距×頻率/組距=該組數據的頻率，且所有矩形面積之和為1。

（2）頻率、頻數與樣本容量的關系：頻率=頻數樣本容量頻率=樣本容量頻數?樣本容量=頻數÷頻率頻數=樣本容量×頻率2、利用直方圖估計數字特征的方法

（1）中位數：尋找使得直方圖左、右兩側面積均為0.5

的橫坐標值，即累積頻率首次達到或超過50%的位置。

（2）平均數：取每個小矩形的面積乘以該組區間中點橫坐標，再求和

（3）眾數：最高矩形所在區間的組中值，代表數據出現最集中的位置。補充說明方差的估計：可先估算各組數據與平均數之差的平方，再結合頻率加權計算。圖形理解：直方圖的縱坐標（頻率/組距）越高，表示該區間數據越密集；面積反映比例，是頻率分析的基礎。1．（2026·湖南株洲·一模）從某社區1萬余名居民中隨機調查了部分居民，獲得了他們的每日運動時長數據，整理得到如下頻率分布直方圖．

(1)求的值；(2)假設同組中的每個數據用該組區間的中點值代替，估計該社區全體居民的每日平均運動時長；(3)若用樣本的頻率估計總體的概率，現從該社區居民中隨機抽取4人，用表示每日運動時長在50分鐘以上的居民人數，求隨機變量的數學期望．2．（2026·河南南陽·模擬預測）某科技公司開發了一款AI繪畫軟件，為了測試該軟件生成的人像照片的真實度，工程師邀請了100名用戶對生成的照片進行評分（滿分100分）.將評分數據按，，，，，分成6組，并繪制了如下的頻率分布直方圖.

(1)求的值；(2)試估計這100名用戶評分的平均數；（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）(3)若從評分在內的用戶中，按分層隨機抽樣的方法抽取5人進行回訪，再從這5人中隨機抽取2人贈送會員，求這2人來自不同評分區間的概率.3．（2026·遼寧大連·一模）從某小區抽取100戶居民用戶進行月用電量調查，發現他們的用電量都在之間，進行適當分組后（每組為左閉右開的區間），畫出如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)估計月用電量樣本數據的中位數；(3)在該小區所有居民用戶中隨機抽取一用戶，已知的月用電量落在區間中，估計的月用電量恰好落在區間中的概率.4．（2026·河北邢臺·一模）某學校對某次高三質量檢測化學考試成績進行了匯總，并將化學成績按賦分規則轉換為等級分數(賦分后學生的等級分數全部位于內)，整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中m的值，并估計該校高三學生化學等級分數的第70百分位數；(2)用分層隨機抽樣的方法從等級分數位于內的學生中隨機抽出8人，再從這8人中隨機抽出3人，記ξ為這3人中等級分數位于內的人數，求ξ的分布列和數學期望.5．（2025·內蒙古赤峰·模擬預測）從某小區抽取100戶居民用戶進行用水量（單位：噸）調查，將他們的月用水量分成，五組，畫出頻率分布直方圖，如圖所示.(1)求的值，并求在被調查的用戶中，月用水量在內的戶數；(2)用比例分配的分層隨機抽樣方法從月用水量在和內的用戶中選取6戶，再從這6戶居民中任選3戶，記這3戶居民中月用水量在內的用戶數為，求的分布列與期望.獨立性檢驗解｜題｜策｜略獨立性檢驗的基本步驟

(1)提出零假設H0：X和Y相互獨立（即X和Y無關）

(2)根據2×2聯表給出的數據算出χ2=nad-bc2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(其中n=a+b+c+d)，得到隨機變量

(3)根據實際問題需要的可信程度（小概率值α）確定臨界值k0“X與Y有關系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過P(K2≥k0)×100%，即成立；否則就說沒有1-1．（多選）（2026·重慶·一模）某兒童醫院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良．為分析兩種療法效果是否有差異，采取有放回的簡單隨機抽樣的方法對治療情況進行檢查，得到如下數據：療法療效未治愈治愈甲1552乙663附常用小概率值及其相應的臨界值表為：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828計算得．則下列說法正確的是：（

）A．以頻率估計概率，有B．以頻率估計概率，有C．若取，可以認為療效與療法獨立D．若取，可以認為療效與療法獨立療法療效總數未治愈治愈甲155267乙66369總數211151362．（2026·湖北十堰·一模）某生態農場用精準農業技術種植番茄，研究兩種智能灌溉系統（型與型）對果實品質的影響.農場隨機選取200株番茄，記錄灌溉類型及果實糖度達標情況，得如下列聯表：灌溉系統糖度達標糖度不達標合計型6238100型4555100合計10793200(1)根據小概率值的獨立性檢驗，判斷番茄果實糖度達標與灌溉類型是否有關聯；(2)該農場同時測試無土栽培技術對產量的影響，已知單株番茄產量（）為，通過測試得到使用無土栽培時的分布列為：11.520.20.50.3使用傳統土壤栽培時的分布列為：0.81.21.60.40.40.2從這兩種方式栽培的番茄中隨機各抽取1株，若使用無土栽培技術與使用傳統土壤栽培時番茄的產量相互獨立，求抽到的2株番茄總產量大于的概率.附：，其中.0.050.010.0013.8416.63510.8283．（2026·湖北·二模）某健身房為了解“是否喜歡健身操”與年齡的關聯性，隨機調查了80位會員，得到的數據如表所示（單位：人）：年齡是否喜歡健身操合計喜歡健身操不喜歡健身操青年152540中年202040合計354580(1)根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為是否喜歡健身操與年齡有關聯？(2)已知會員小鄒選擇“動感單車”“瑜伽”“普拉提”三種項目的概率依次為，，；且小鄒在這三種項目中達到“訓練標準”的概率依次為，，．若小鄒某次訓練未達到目標，求他選擇的是“瑜伽”項目的概率。附：，．4．（2026·河北滄州·一模）2025年7月15日，搭載天舟九號貨運飛船的長征七號遙十運載火箭成功發射，標志著我國航天事業又邁上了一個新臺階.某中學為了解學生對我國航天事業發展的關注度，隨機地從該校學生中抽取一個容量為200的樣本進行調查，調查結果如下表：性別關注情況高度關注非高度關注女學生30男學生90以頻率估計概率，若在這200名學生中隨機抽取1人，該學生高度關注我國航天事業發展的概率為．(1)求的值；(2)根據小概率值的獨立性檢驗，判斷該校學生對航天事業發展的高度關注是否與學生性別有關．參考公式：，其中．臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8285．（2026·四川遂寧·一模）冬季氣溫驟降、空氣干燥且氣壓變化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，間質性肺病、肺纖維化，肺炎、支氣管炎患者等呼吸系統疾病患者對氧氣需求增加，尤其需要制氧機輔助，近年來，我國制氧機產業迅速發展，下表是某地區某品牌制氧機的年銷售量與年份的統計表：年份20212022202320242025年份代碼12345銷量（萬臺）23.52.589(1)求這種品牌制氧機的銷量關于年份代碼的線性回歸方程，并預測2027年這種品牌制氧機的銷量；(2)為了研究不同性別的學生對制氧機知識的了解情況，某校組織了一次有關制氧機知識的競賽活動，隨機抽取了男生和女生各100名，得到如下列聯表：學生制氧機知識合計了解不了解男生20女生40合計（ⅰ）根據已知條件，填寫列聯表；（ⅱ）根據小概率值的獨立性檢驗，判斷該校學生對制氧機知識的了解情況與性別是否有關聯；(3)從（2）的樣本中按對制氧機知識了解和不了解的學生人數進行分層抽取10人，再從這10人中隨機抽取4人做某項調查，記這4人中對制氧機知識不了解的人數為，試求的分布列和數學期望.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828回歸分析解｜題｜策｜略1、利用相關系數r判斷變量的相關性，當|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關性越強．當變量的線性相關性很強，或者從散點圖分析符合線性相關時，可以用最小二乘法的方法求回歸系數計算出x，y，i=1n(xi-x)(yi注意：樣本點不一定在經驗回歸直線上，但點(x，殘差分析：ei?=量化評價指標:殘差平方和

RSS：越小擬合越好決定系數

R2：

越接近11．（多選）（2025·廣東·一模）一組樣本數據．其中，求得其經驗回歸方程為：，殘差為．對樣本數據進行處理：，得到新的數據，求得其經驗回歸方程為：，其殘差為，分布如圖所示，且，則（

）A．樣本負相關 B．C． D．處理后的決定系數變大2．（多選）（2025·河北·模擬預測）甲乙二人統計變量和變量，得到一組數據并進行回歸分析，甲同學首先求出變量的8個數據平均值為2，回歸直線方程，乙同學對甲的計算過程進行檢查，發現甲將一數據錯看成，甲乙二人將錯誤修正后得到正確回歸直線方程，則（

）A．變量的8個數據正確平均值為B．C．變量和變量正相關D．變量和變量的相關系數為43．（多選）（2025·河北秦皇島·二模）某科技公司統計了一款App最近5個月的下載量，如下表所示，若與線性相關，且經驗回歸方程為，則（

）月份編號12345下載量萬次54.543.52.5A．與負相關 B．C．第7個月的下載量估計為1.8萬次 D．殘差絕對值的最大值為0.24．（2026·陜西西安·一模）當前，人工智能技術以前所未有的速度迅猛發展，并逐步影響生活的方方面面，人工智能被認為是推動未來社會發展和解決人類面臨的全球性問題的重要手段.某公司在這個領域逐年加大投入，以下是近年來該公司對產品研發年投入額（單位：百萬元）與其年銷售量（單位：千件）的數據統計表.（百萬）12345（千件）0.511.535.5(1)根據統計表的數據及參考公式計算樣本相關系數，推斷兩個變量的相關程度；(2)根據（1）問的結果判斷是否可以用一元線性回歸模型來刻畫年銷售量和投入額之間的關系？如果可以，根據最小二乘法，建立銷售量關于投入額的經驗回歸方程；如果不可以，請說明理由.(3)該公司科研團隊發現樣本數據呈現出明顯的非線性相關的特征，得到年銷售量關于年投入額的非線性經驗回歸方程為，并計算出的殘差平方和，請根據統計表的數據及參考公式，比較線性經驗回歸方程和非線性經驗回歸方程的擬合效果哪種更好？并選擇擬合精度更高的方程，預測年投入額為6百萬元時，產品的銷售量約為多少？（計算結果保留到小數點后兩位）.參考公式及數據：，，，，，，.5．（2025·湖南永州·模擬預測）某經濟研究所為了解居民存款余額變化情況，對2009年至2024年居民存款余額進行統計分析，將2009年看成第1年，依次類推，得到第1~16年的居民存款余額（單位：萬億元）的散點圖，如圖所示：(1)已知從2021年開始，居民存款余額超過100萬億元，若從2009年至2024年中任取2年，求這2年中恰有一年居民存款余額超過100萬億元的概率；(2)由散點圖知，和的關系可用經驗回歸模型進行擬合，求關于的經驗回歸方程.參考數據：設，則.參考公式：對于一組數據，其經驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.（建議用時：30分鐘）1．（多選）（2025·云南昭通·模擬預測）甲罐中有5個紅球，5個白球，乙罐中有2個紅球，8個白球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機取出一球．表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，表示事件“從甲罐取出的球是白球”，表示事件“從乙罐取出的球是紅球”．則下列結論正確的是（

）A．為對立事件B．C．D．2．（多選）（2026·河南鄭州·模擬預測）任意拋擲一枚骰子一次，觀察它向上一面的點數，得到樣本空間為，若事件，事件，事件滿足，下列結論中正確的是（

）A．B．事件，，兩兩獨立C．當事件時，D