第三十二章 投影與視圖（知識清單）-冀教版九年級數學下冊【含答案】

第三十二章投影與視圖

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性質

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知識清單

一、投影

（-）基本概念

投影：物體在光線照射卜,在某個平面（地面、墻面等）上留下影子的現象.

投影線：照射物體的光線.

投影面：影子所在的平面.

（二）投影的分類

1.中心投影

定義：由“同一點（點光源）”發出的光線形成的投影.

實例：手電筒、路燈、臺燈、蠟燭的光線形成的影子.

特征：

等高物體垂直地面放置時，離點光源越近，影子越短;離點光源越遠，影子越長.

等長物體平行地面放置時，離點光源越近，影子越長;離點光源越遠，影子越短.

投影線會匯聚于點光源，影子的形狀、大小會隨物體與光源、投影面的位置變化而明顯改變.

2.平行投影

定義：由平行光線照射形成的投影.

實例：太陽光、探照燈平行光線形成的影子（口唇利用日影計時）.

試卷第1頁，共10頁

特征：

同一時刻，等高物體垂直地面放置，影子長度相等.

同一時刻，不同物體的高度與影長成正比（構成相似三角形，可用于測量高度）.

投影線互相平行,影子的形狀、大小相對穩定.

3.正投影（特殊的平行投影）

定義：投影線垂直于投影面的平行投影.

性質：

物體的面壬任于投影面時，正投影與該面形狀、大小完全相同.

物體的面垂直于投影面時，正投影為線段.

物體的面傾斜于投影面時，正投影為原圖形的類似彩（形狀不變,大小縮?。?

二、視圖

（一）基本概念

視圖：物體在某一方向的正投影，是從特定角度觀察物體得到的平面圖形.

三視圖：從正面、左面、上面三個互相垂直的方向觀察物體，得到的三個正投影，分別是主

視圖、左視圖、俯視圖.

（二）三視圖的定義與位置

主視圖：從正面由前向后觀察物體得到的視圖,反映物體的長和高.

俯視圖：從上面由上向下觀察物體得到的視圖,反映物體的長和寬.

左視圖：從左面由左向右觀察物體得到的視圖,反映物體的高和寬.

位置規定：主視圖在左上方，俯視圖在主視圖正下方，左視圖在主視圖正右方.

（三）三視圖的畫法規則（核心：長對正、高平齊、寬相等）

長對正：上1幽與俯視圖的長度相等，且左右對齊.

高平齊：主視圖與左視圖的高度相等,且上卜對齊.

寬相等：地視圖與左視圖的寬度相等.

線條要求：看得見的輪廓線畫實線，看不見的輪廓線畫虛線.

（四）常見幾何體的三視圖

試卷第2頁，共10頁

幾何體主視圖左視圖俯視圖

正方體正方形正方形正方形

長方體長方形長方形長方形

圓柱長方形長方形圓

圓錐等腰三角形等腰三角形圓（含圓心）

球圓圓圓

三棱柱長方形/三角形長方形三角形

（五）由三視圖還原幾何體

I.先看俯視圖,確定幾何體在水平面的形狀與小正方體的分布.

2.結合主:視圖和左視圖,確定幾何體各部分的高度.

3.綜合三個視圖，想象井還原出立體圖形的形狀.

易錯總結

一、投影類易錯點

1.中心投影與平行投影混淆

中心投影：點光源（路燈、手電筒、蠟燭），光線相交于一點.

平行投影：平行光線（太陽光），光線互相平行.

易錯判斷

影子頂點連線能匯聚到一點一中心投影

影子互相平行一平行投影

2.中心投影：物體離光源遠近與影子長短搞反

物體豎直放：

離點光源越近一影子越短

離點光源越遠一影子越長

易錯點：題目常給圖讓判斷光源位置/人移動方向，一搞反就錯.

3.平行投影（太陽光）：同一時刻規律亂用

同一時刻：

物體高度之比=影長之比

易錯點：

試卷第3頁，共10頁

不同時刻也用這個比例；

不看是否“同一時刻、平行光”直接用相似.

4.正投影性質理解錯誤

物體某個面的正投影：

面平行投影面一形狀大小完全一樣

面垂直投影面T投影是線段

面傾斜-形狀相似、大小縮小

易錯點：

認為“只要是正投影，就一定和原圖一樣大

二、三視圖核心易錯點

1.三視圖“三句話”記混、用錯

長對正：中視圖與俯視圖（長對iF）

高平齊：主視圖與左視圖（高對齊）

寬相等：俯視圖與左視圖（寬相等）

易錯點：

俯視圖和左視圖寬不相等

畫歪、不對齊

2.看得見畫實線，看不見畫虛線

看得見的輪廓線：實線

看不見的輪廓線：虛線

易錯點：

內部有空腔、凹槽、被擋住的棱，忘畫虛線

虛線畫成實線，實線畫成虛線

3.圓錐俯視圖忘記畫圓心

圓錐俯視圖：圓+圓心（點）

易錯點：

只畫圓，不畫圓心.

4.圓柱、圓錐、棱錐左視圖/主視圖畫錯形狀

圓柱T矩形

圓錐一等腰二角形

試卷第4頁，共10頁

正方體/長方體T矩形

易錯點：

把圓錐畫成三角形帶曲線；

把圓柱畫成梯形.

5.畫組合體三視圖：只看外表，不看內部結構

空心、挖孔、臺階、缺口，內部都有虛線.

易錯點：

只畫外框，不畫內部虛線.

三、由三視圖還原幾何體/數小正方體

1.順序錯誤

正確順序：

先看俯視圖一再看中視圖T最后看#視圖

易錯點：

一上來就看主視圖，直接數錯.

2.只看一個視圖就確定個數

主視圖一看列數和層數

左視圖一看行數和層數

俯視圖一看底層分布

易錯點：

只憑主視圖就說“最少幾個、最多幾個

3.求最少、最多個數時漏算/多算

最少：每列/行只留必要層數，其余為I

最多：每列/行全拉滿到最高層

易錯點：

最少算多，最多算少.

四、實際應用題易錯點

1.投影與相似三角形列式時對應邊寫反

高度高度b=影長a：影長b

易錯點：

島度比寫成影長反比，算出來答案完全相反.

試卷第5頁，共1()頁

2.判斷光源位置作圖不規范

中心投影：延長影子交于一點就是光源.

易錯點：

作圖不交于一點，隨便點一個點.

易錯訓練

1.下列哪種影子是平行投影（）

A.皮影戲中的影子B.太陽光下房屋的影子

C.路燈下行人的影子D.在手電筒照射下紙片的影子

2.下列不是中心投影的是（）

A.陽光下房屋的影子B.晚上在房間內墻上的手影

C.人在路燈下形成的影子D.皮影戲中的影子

3.如圖，晚上小明在路燈下沿路從力處徑直走到8處，這一過程中他在地上的影子（）

A.一直都在變短B.先變短后變長C.一直都在變長D.先變長后變短

4.興趣小組測量學校的旗桿，在陽光下，甲同學測得長1米的竹竿影長為1.5米，同一時刻

乙同學測量時發現旗桿的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學樓的墻壁上，墻壁垂

直地面，如圖所示，落在墻上的影長8C為2米，AB1BC,落在地面上的影長4B為9米,

12C.13.5D.15.5

5.若線段CO是線段的正投影，則48與的大小關系為（）

試卷第6頁，共10頁

A.AB>CDB.AB<CDC.AB=CDD.AB>CD

6.如圖所示幾何體的俯視圖是（）

7.如圖，小明網購了一個精美的正方體禮物盒,需要動手將平面展開圖折疊成立體紙盒,

則完成后的正方體紙盒是（）

8.如圖，A/iBC在燈光。的正下方，它在地面上形成的影子是A/nre,△NBC平行于地面,

且。到"8C的距離和18C與地面的距離相等，已知在“8C中，/4C8=90。,

/。=8。=2.下面關于44'8'。'的說法，其中正確的是（）

A.的面積為4&B.△W"C'的周氏為8+4及

C.A'B'=2>l2D."C=8

9.如圖，?塊周長為30cm的二角形硬紙板（記為△44。）平行于投影面時，在點光源。

試卷第7頁，共10頁

的照射下形成的投影是△44G（點小以。的對應點分別是點4、4、G），若

OB:BB\=3:4,則△仲￡的周長是（）

A.90cmB.70cmC.60cmD.60cm

10.如圖，將一塊面積為16cm2的三角形硬紙板川?C平行于投影面放置，在光源O的照射

下形成的投影是必￡尸.若。44）=2:3,則DAF的面積為（）

A.40cm2B.60cm2C.80cm2D.100cm2

11.如圖，圓錐的母線46長為6,底面直徑8C長為6,例為/出的中點.將圓錐側面沿母

線剪開并展平，在展開圖中“，C之間的距離為（）

12.用小立方體搭一個幾何體，使它的主視圖和俯視圖如圖所示，俯視圖中小正方形中的字

母表示在該位置小立方體的個數，則。+/>+。=.

主視圖俯視圖

13.如圖，畫出該幾何體的三視圖.

試卷第8頁，共10頁

14.一透明的敞口正方體容器中裝有一些液體，棱48始終在水平桌面上,

容器底部的傾斜角為。JCBE=a,如圖所示).

探究：如圖①，液面剛好過棱C。，并與棱8"交于點。，此時液體的形狀為直三棱柱，其

三視圖及尺寸如圖②.

解決問題：

俯視圖

圖①圖②

(1)。。與4七的位置關系是n4。的長是_dm；

(2)求液體的體積.[參考算法：直棱柱體積(噎)=底面積(S.KQ)x高48]

15.如圖，南陽白河國家濕地公園有一燈柱MN,“為光源.某興趣小組為了測量燈柱MN

的高度，在燈柱同側豎:立為根長度均為1.4m的標桿和C。，點N,B,C在同一條直線

上.測得N8長度為9m,的影長8C為3m.

(I)求燈柱MN的高度；

(2)請畫出標桿。。的影子CE,并直接寫出CE的長度.

16.在公園有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一堵與地面互相垂直

的墻，且圓柱與墻的距離皆為120公分.敏敏觀察到高度90公分矮圓柱的影子落在地面上,

其影長為60公分；而高圓柱的部分影子落在墻上，如圖所示.

試卷第9頁，共10頁

已知落在地面上的影子皆與堵面互相重直，并視太陽光為平行光，在不計圓柱厚度與影子寬

度的情況下，請回答下列問題：

（1）若敏敏的身高為150公分，且此刻她的影子完全落在地面上，則影長為多少公分？

（2）若同一時間量得高圓柱落在墻上的影長為150公分，則高圓柱的高度為多少公分？請

詳細解釋或完整寫出你的解題過程，并求出答案.

試卷第10頁，共1（）頁

1.B

【分析】此題主要考查了中心投影、平行投影的性質，解決本題的關鍵是理解平行投影的形

成光源為太陽光.根據中心投影的光源為燈光，平行投影的光源為陽光，找到是太陽光的光

源即可.

【詳解】解：A.皮影戲中的影子是中心投影；

B.太陽光下房屋的影子是是平行投影；

C.路燈下行人的影子是中心投影；

D.在手電筒照射下紙片的影子是中心投影：

故選B.

2.A

【分析】本題考查了中心投影的判斷，根據中心投影是指光線從一個點（投影中心）發散形

成的投影逐一判斷即可.掌握相關知識是解題的關鍵.

【詳解】解：???中心投影的光線需從一點發散，

而A中陽光為平行光，光線不從一個點發散，

??.A不是中心投影，

B、C、D中光源均為點光源，光線從一點發散，是中心投影，

故選：A.

3.B

【分析】本題考查了中心投影：由同一點（點光源）發出的光線形成的投影叫做中心投

影.根據中心投影的特征可得小亮在地上的影子先變短后變長.

【詳解】解：在小痙從力處徑直走到路燈下時，他在地上的影子逐漸變短；當他走到路燈下，

再走到“處時，他在地上的影子逐漸變長，

???小亮在地I：的影子先變短后邊長，

故選：B.

4.A

【分析】本題考查相似三角形的應用.由題意可知在同一時刻物高和影長成正比，即在同一

時刻的兩個物體，影子，經過物體頂部的太陽光線三者構成的兩個直角三角形相似.經過旗

桿在教學樓上的影子的頂端作旗桿的垂線和經過旗桿頂的太陽光線以及旗桿所成三角形，與

竹竿，影子光線形成的三角形相似，這樣就可求出垂足到旗桿的頂端的高度，再加上墻上的

影高就是旗桿高.

答案第1頁，共8頁

【詳解】解：設從墻上的影子的頂端到旗桿的頂端的垂直高度是X米.

解得X=6.

旗桿高是6+2=8（米）.

故選：A.

5.D

【分析】根據正投影的定義和性質解答可得.

【詳解】若線段AB平行于投影面，則AB=CD,

若線段AB不平行于投影面，則AB>CD,

則AB>CD,

故答案選：D.

【點睛】本題考查/平行投影的知識點，解題的關鍵是熟練的掌握止投影的定義和性質.

6.C

【分析】本題考杳了幾何體的三視圖（俯視圖），解題的關鍵是明確俯視圖是從物體上方觀

察得到的視圖，需關注可見輪廓線為實線，不可見輪廓線為虛線.

從該幾何體的正上方觀察，整體呈現為橫向的矩形，內部有兩條不可見的豎直輪廓線，需用

虛線表示，且左右兩側為完整的矩形塊.

【詳解】解：根據題意，該圖的俯視圖為：

故選：C.

7.A

【分析】本題主要考查了正方體的表面展開圖，解決本題的關鍵是根據正方體的表面展開圖

找出它們的相對面、相鄰面之間的位置關系進行判斷.

【詳解】解：A選項:如下圖所示，當在前面時,上面是左面是

故A選項符合題意;

答案第2頁，共8頁

前面應是，故B選項不符合題意;

上面應是,故C選項不符合題意;

D選項:兩個應是相對面，不能相鄰，故D選項不符合題意.

故選:A.

8.B

【分析】本題考查中心投影，相似三角形的性質，掌握中心投影的概念找出相似比是解題關

鍵.

分別求出力3、C“BC、邑械.，再依據中心投影的概念，根據距離相等推出相似比為;，利

用相似三角形的性質進行判斷即可.

【詳解】解：由題意，得48=+=)2?+22=2五，

C」S.=-xACxBC=-x4=2

A/iROCL=4C+BC+AB=4+2&,sc22t

由題意，得08=BB1,OC=CC\

OCOC1

由中心投影的性質，可知△/BCSAHB'C,相似比為

OC~0C+CC~2f

：?S&dwc'=4s“ye=4x2=8,故A選項錯誤；

C：=，G皿=8+4及,故B選項正確：

#B'=2AB=4五,B'C'=2BC=4,故C、D選項錯誤,

故選：B.

9.B

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，解題關鍵是掌握相似三角形的周長比等于相似

比是解題的關鍵.

答案第3頁，共8頁

根據題意可知△力8cs△44G，求出相似比，再根據相似三角形的周長比等于相似比計算

即可;

【詳解】解：投影可知：8s△/18CsZk44G，

08:=3:4,

OR:ORt=3:7,

「?4OAB與0。的相似比是3:7,

AB:彳4=3:7,

AABCS&ABG,

；.“BC與的相似比是3:7,

:AABC與△44G的周長比是3：7,

???△44C的周長為30cm,

303

30x7

70cm；

3

故選B.

10.D

【分析】本題考查了平行投影性質和相似三角形面積比，熟練掌握平行投影下圖形的相似性

質、相似三角形的相似比及其與面積比的關系，是解決本題的關鍵.

根據平行投影性質得△力8。與心￡尸相似，求出相似比，再根據面積比等于位似比的平方即

可求解.

【詳解】解：???。4：力。=2:3,

:.OA:OD=2:5.

由題意得：AABCs公DEF,

AB042

"~DE=~OD=5?

.義行―2丫一4

-S.DEF10中25,

答案第4頁，共8頁

二?SGEF=彳5“女=7'16=100仲］)

故選：D.

11.D

【分析】本題考查圓錐的展開圖和相關計算，正確掌握圓錐的相關計算是解題的關鍵.

先根據圓錐的側面展開圖是扇形，再根據公式的計算求出圓心角，判斷4c是直角三角形,

利用勾股定理即可求解.

【詳解】解:如下圖，

設側面展開圖圓心角的度數為〃。，

???圓錐的母線4r氏為6,底面直徑4C長為6,

6n冗,

------=64,

180

.?.〃=180,即NC4c=180°，

??.NC4M=90。，即三角形M4C是直角三角形,

丁M為力5的中點，

/.AM=-AB=3

2f

MC=y)AM2+AC2=^32+62=35/5.

故選：D.

12.5

【分析】本題考查了三視圖；由主視圖可得，俯視圖中最右邊一個正方形處有3個小立方體,

中間一列兩個正方形處各有1個小立方體，即可求出。+力+。的值.

【詳解】解：???由主視圖可得，俯視圖中最右邊一個正方形處有3個小立方體，中間一列兩

個正方形處各有1個小立方體，

b=I,c=1,

a+b+c=5.

故答案為：5.

13.見詳解

答案第5頁，共8頁

【分析】本題考查了幾何體的三視圖，根據要求，直接畫出該幾何體的三視圖，即可作答.

【詳解】解：該幾何體的三視圖如圖所示:

左視圖

俯視圖

14.(1)平行;3

(2)24dm

【分析】本題主要考查了棱柱體積的計算以及三視圖的認識，正確理解棱柱的體積的計算是

關鍵.

(1)根據水面與水平面平行可以得到與8E平行，利用勾股定理即可求得8。的長;

(2)液體正好是一個以小。。是底面的直棱柱，據此即可求得液體的體積.

【詳解】(1)解：???液體的形狀為直三棱柱,

：.CQ\\BE,

由三視圖可得AB=4而？，CQ=5dm,

???正方體容器A