2025-2026學年海南省定安縣定安中學等校高三下冊第二次模擬考試數學試題 含答案

/海南定安縣2025-2026學年第二學期高三聯考數學試卷一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．設（i為虛數單位），則復數的虛部為（

）A． B．4 C． D．33．已知向量，，且，則（

）A．10 B．8 C． D．4．已知，則（

）A． B． C． D．15．從1至5的5個整數中隨機取出2個不同的數，則這兩個數都是偶數的概率是（

）A． B． C． D．6．已知點M是拋物線上的一點，點F是C的焦點，點為線段的中點，則（

）A．5 B．6 C．7 D．87．等差數列的前n項和為，已知，，則數列的前20項和為（

）A． B． C． D．8．已知正數，滿足.若不等式恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．設函數，則下列結論正確的是（

）A．的最小正周期為π B．的圖象關于直線對稱C．的一個零點為 D．的值域為10．已知數列滿足，，則（

）A． B．數列為等比數列C．數列的前項和 D．數列的通項公式為11．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點的直線與在第一、四象限的交點分別為A，B，與y軸的交點為D，若，則下列說法正確的有（

）A． B．雙曲線C的離心率為C．直線的斜率為 D．點D到雙曲線C上的點的距離的最小值為三、填空題12．曲線在點處的切線方程為_____.13．已知函數為奇函數，當時，，則_____.14．如圖，圓臺形容器內放進半徑分別為2和4的兩個實心鐵球，小球與容器下底面、容器壁均相切，大球與小球、容器壁、容器上底面均相切，若向該容器內注滿水，則水的體積為_____.四、解答題15．如圖，在中，，，，點D在邊上，且．(1)求；(2)求的面積．16．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，點M，N分別是棱，的中點.(1)證明：平面；(2)若，，平面平面，求直線與平面夾角的正弦值.17．已知函數.(1)若，求函數的極值；(2)若函數有兩個零點，求的取值范圍.18．已知點分別為橢圓：的左、右頂點，且，的離心率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)若傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，求弦長；(3)若直線：與橢圓C交于兩點，設直線，的斜率分別為，且，求的值.19．小明在暑假為了鍛煉身體，制定了一項堅持晨跑的計劃：30天晨跑訓練.規則如下：從第1天開始晨跑，若第天晨跑，則他第天晨跑的概率為，且他不能連續兩天沒有晨跑.設他第n天晨跑的概率為.(1)求，，的值；(2)求數列的通項公式；(3)若X，Y都是離散型隨機變量，則，記小明前n天晨跑的天數為X，求.參考答案及解析1．B解析：解一元二次方程，因式分解得，解得或，因此；已知，因此.2．C解析：由，則復數的虛部為.3．C解析：由得，所以，，則，所以.4．A解析：因為，所以，上下同除即可得，代入，可得.5．B解析：1至5的5個整數中，有兩個偶數，從1至5的5個整數中隨機取出2個不同的數，則這兩個數都是偶數的概率.6．D解析：如圖，由可得，準線為，又因點為線段的中點，則點的坐標為，而等于點到準線的距離，即.7．B解析：由題意得，，化簡得，又，，即，故，，，故數列的前20項和為.8．D解析：由題意可知，不等式恒成立，即，，即，，，，，，，當且僅當，即時等號成立，當時，取得最小值為8，，即，解得.9．AC解析：對于A：函數，根據周期公式可得，故A正確；對于B：令，解得，當時，，當時，，所以直線不是函數的對稱軸，故B錯誤；對于C：令，解得，當時，，所以是的一個零點，故C正確；對于D：對于函數，因為的值域為，所以的值域為，故D錯誤.10．ABC解析：，，取倒數得，即。選項A：，，正確；選項B：，是首項為、公比為的等比數列，正確；選項C：，，，正確；選項D：，，原式錯誤.11．ABD解析：由，且，得，由雙曲線的定義得，，所以，，又，所以，則，即，所以，故A正確；在中，，在中，，所以，則離心率，故B正確；在中，，，則，則，所以直線的斜率為3，又因為，所以直線的斜率為，故C錯誤；由C選項得，直線的方程為，令，得，即設雙曲線上點，則，即，因為，所以，則，所以，，，所以當時，有最小值，且為，所以，即點到上的點的距離的最小值為，故D正確.12．解析：因為，則，可得，即切線斜率為1，所以曲線在點處的切線方程為.13．解析：由函數為奇函數，得：，令，得：，，又因為當時，，得，因此.14．解析：作幾何體的軸截面圖如圖，分別是大球和小球的球心，是圓臺的軸截面等腰梯形兩腰和的延長線的交點.分別是球和球與圓臺側面的切點，分別是與圓臺上下底面的切點．則，且，，．過點作交于，顯然，可知四邊形為矩形，且，在直角三角形中，，且為銳角，則，由可得，所以，在直角三角形中，，得，所以．在直角三角形中，．在直角三角形中，,．即圓臺的上底面半徑，下底面半徑，高．可得圓臺的體積，所以水的體積為．故答案為：.15．(1)(2)解析：（1）由余弦定理得，，又，所以．（2）因為，，所以，，在中，由正弦定理得，，即，所以．16．(1)證明見解析(2)解析：（1）取中點，連接.因為為中點，所以為的中位線，所以且.在正方形中，為中點，所以且，所以且，所以四邊形是平行四邊形.所以.又平面平面，所以平面.（2）由于平面平面，平面平面，平面平面.以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則有.設平面的法向量，，所以，不妨令，得，得；又，設直線與平面夾角為，則，所以直線與平面夾角的正弦值為.17．(1)的極大值為，的極小值為(2)解析：（1）當時，，則，令，，，或，單調遞增，，，單調遞減，當時，取得極大值，，當時，取得極小值，，因此的極大值為，的極小值為.（2）函數，令，即，因為，所以，即令，則函數有兩個零點轉化為直線與曲線有兩個交點.又，因為恒成立，所以當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，則在處取得極小值，也是最小值，.當，，，，當，，，，要使直線與曲線有兩個交點，則，的取值范圍為.18．(1)(2)(3)解析：（1）由題意可得，即，由離心率，所以.故橢圓方程為：.（2）由（1）左頂點，直線?傾斜角為，斜率，故直線方程為，聯立橢圓方程消去得：，又，由韋達定理，得?，由弦長公式得：（3）如圖，作出符合題意的圖形，由題意可知直線：與橢圓交于,，設，，，，與橢圓聯立方程，消去可得.則，，根據，可得，即，整理得：，即，可得：，因為，為常數，則不恒成立，則，解得.19．(1)，，(2)(3)解析：（1）已知第1天一定晨跑，故，第2天晨跑的概率由第1天晨跑決定，故，第3天晨跑的情況分兩種：①第1天晨跑，第2天不晨跑，第3天晨跑，概率為，②第1天晨跑，第2天晨跑，第3天晨跑，概率為，故.（2）由題意得，時，第天晨跑的事件可分為兩種