專題02 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型的三類綜合題型（壓軸題專項訓練）數學人教版2024八年級上冊（解析版）

1/10專題02三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型三類綜合題型目錄TOC\o"1-2"\h\u典例詳解類型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型類型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型類型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型壓軸專練類型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型如圖，B、C分別是∠DAE兩邊上的點，連結BC，形狀類似于英文字母A，故我們把它稱為“A”字模型。條件：如圖，在?ABC中，∠1、∠2分別為∠3、∠4的外角；結論：①∠1+∠2=∠A+180°；②∠3+∠4=∠D+∠E證明：①∵∠1=∠A+∠ACB∴∠1=∠A+180°-∠2∴∠1+∠2=∠A+180°。②在?ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在?ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。例1．如圖，從紙片中剪去，得到四邊形．如果，那么度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了三角形內角和定理，根據平角的定義得出，再根據三角形內角和定理得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴．故選：B．【變式1-1】如圖，在中，按圖中虛線把角度為的剪去，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】三角形的外角的定義及性質、三角形內角和定理的應用【分析】本題主要考查三角形外角的性質及三角形內角和，熟練掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和；如圖，由題意易得，然后根據三角形內角和可進行求解．【詳解】解：如圖，∴，∵，，∴；故選D．【變式1-2】如圖1，直線與的邊，分別相交于點，（都不與點重合）.

(1)若，①求的度數；②如圖2，直線與邊，相交得到和，直接寫出的度數.(2)如圖3，，分別平分和，寫出和的數量關系，并說明理由；(3)如圖4，在四邊形中，點，分別是線段、線段上的點，，分別平分和，直接寫出與，的關系.【答案】(1)①；②(2)，理由見解析(3).【分析】本題主要考查三角形內角和定理、三角形外角性質，掌握三角形內角和定理、角平分線的定義等知識點，靈活運用相關知識是正確解答的關鍵．（1）①根據三角形內角和定理，角平分線的定義進行計算即可；②根據①的結論即可解答；（2）由（1）的結論以及三角形內角和定理即可解答；（3）由（2）的結論可得，再根據三角形內角和定理進行解答即可．【詳解】（1）解：①如圖1，∵，∴，∵，∴；②由①方法可得：．（2）解：，理由如下：由（1）可得．∵，分別平分和，∴，∴，∴．（3）解：，理由如下：由圖2可得，，∵，分別平分和，∴，∴，∴．【變式1-3】【問題呈現】小明在學習了三角形有關內角與外角的相關知識后遇到這樣一個問題：如圖①，與分別為的兩個外角，則．【推理證明】∵與分別為的兩個外角，∴______，______，∴______．∵，∴．【初步應用】（1）如圖②，在紙片中剪去，得到四邊形，若，則的大小為______度．（2）如圖③，在中，、分別為外角、的平分線，則與的數量關系，并說明理由．【拓展提升】（3）如圖④，在四邊形中，、分別為外角、的平分線，若，求的度數．【答案】【推理證明】見解析；【初步應用】（1）；（2）；【拓展提升】．【知識點】三角形的外角的定義及性質、與角平分線有關的三角形內角和問題【分析】本題主要考查了角平分線的定義，三角形外角性質，三角形內角和定理，理解相關知識是解答關鍵．【推理證明】由三角形外角性質得，，再求與的和，最后由三角形內角和定理問題即可得證；【初步應用】（1）由進行變形為即可求解；（）由角平分線的定義得，，再由三角形內角和定理得出，然后把代入即可求解；【拓展提升】（3）延長、交于點，先求，再把代入即可求解．【詳解】證明：【推理證明】∵與分別為的兩個外角，∴，，∴．∵，（三角形內角和定理）∴．故答案為：；解：（1）∵，∴，故答案為：；（2）∵、分別為外角、的平分線，∴，，∴，∵，∴；（3）如圖所示，延長、交于點，∵，，∴，∴．類型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型圖1圖21）8字模型（基礎型）條件：如圖1，AD、BC相交于點O，連接AB、CD；結論：①；②。證明：在?ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在?COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；∵∠AOB=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D；在?ABO中，AB＜AO+BO；在?COD中，CD＜CO+DO；∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。2）8字模型（加角平分線）條件：如圖2，線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD；結論：2∠P=∠B+∠D證明：∵線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD∴∠BAP=∠PAD,∠BCP=∠PCD∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B①∠PAD+∠P=∠PCD+∠D②①+②得2∠P=∠B+∠D，則，即2∠P=∠B+∠D例2．如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結論中不能完全確定正確的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【答案】D【分析】利用三角形的外角性質，對頂角相等逐一判斷即可．【詳解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故選項A，B，C正確，故選D．【點睛】本題考查了對頂角的性質，三角形外角的性質，熟練掌握并運用兩條性質是解題的關鍵．【變式2-1】如圖，已知直線、相交于點，，，，．【答案】/30度【知識點】對頂角相等、三角形內角和定理的應用【分析】本題考查三角形內角和定理的應用，根據三角形內角和定理得，由對頂角相等得，再利用三角形內角和定理即可得出結論．解題的關鍵是掌握：三角形內角和為．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【變式2-2】（1）生活中處處需要和諧，幾何學也如此，如圖1所示的圖形我們稱之為“和諧8字形”，則、、、之間的數量關系．（2）在圖2中和的平分線和相交于P點，交叉形成了多個“和諧8字形”，若，，那么的度數是．【答案】/度【知識點】與角平分線有關的三角形內角和問題【分析】本題主要考查了三角形內角和定理，角平分線的定義，對頂角相等的性質，整體思想的利用是解題的關鍵．（1）利用三角形的內角和定理表示出與，再根據對頂角相等可得，然后整理即可得解；（2）根據（1）的關系式求出，，然后利用“8字形”的關系式結合角平分線列式整理即可得解；【詳解】解：（1），，又∵，；（2），，，，、分別是和的角平分線，，，又，；故答案為：（1），（2）【變式2-3】如圖，已知線段相交于點O，連接，我們把形如這樣的圖形稱為“八字圖形”．(1)求證：；(2)如圖②，若和的平分線和相交于點P，與分別交于點M，N．①觀察圖②，寫出另外兩組“八字圖形”中與（1）類似的結論：_________；②若，，求的度數；③根據②的結果直接寫出，，之間的關系（不需要證明）．【答案】(1)見解析(2)①(答案不唯一)；②；③【知識點】三角形的外角的定義及性質、與角平分線有關的三角形內角和問題【分析】本題主要考查了三角形外角的定義和性質、三角形的內角和定理、角平分線的定義、對頂角的性質等知識，理解并掌握三角形外角的定義和性質是解題關鍵．（1）利用三角形內角和定理和對頂角相等即可證明；（2）①根據“8字型”的定義判斷即可；②由（1）結論可得在和中，，在和中，，兩式相加再由角平分線的定義即可解答；③根據角平分線的定義可得，，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可獲得答案．【詳解】（1）證明：在中，，在中，，∵，∴；（2）解：①以線段為邊的“8字型”有：和，和，和；以點為交點的“8字型”有：和，和，和，和；故答案為：；②∵在和中，，在和中，，∴，∵平分，平分，∴，，∴，即，∴；③、、之間的關系為．理由如下：如下圖，

∵和分別平分和，∴，，在和中，，∴，在和中，，∴，∴，∴、、之間的關系為．類型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型圖1圖2基本模型：條件：如圖1，凹四邊形ABCD；結論：①；②。證明：連接AC并延長至點P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D；又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。延長BC交AD于點P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。即：，故。拓展模型1：條件：如圖2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；結論：∠O=（∠A+∠C）。證明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC；根據飛鏢模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。例3．如圖是一個“燕尾形”，已知，，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形外角的性質，解題關鍵是掌握三角形外角的性質．先利用三角形外角的性質得到，再利用三角形外角的性質求得，代入求出即可．【詳解】解：延長交于點E，是的一個外角，，，，是的一個外角，，，，，，解得：，故選：B．【變式3-1】如下圖．等于（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】三角形的外角的定義及性質、三角形內角和定理的應用【分析】本題考查了三角形外角、三角形內角和的知識，熟練掌握三角形的外角的性質與內角和定理是解題的關鍵．延長，交于點G，根據三角形外角的性質，得，，再根據三角形內角和的性質計算，即可得到答案．【詳解】如圖，延長，交于點G，∴，∵，∴，故選：C．【變式3-2】已知：，點B、C在的兩邊上，點P為平面內一點，且，則．【答案】或或【分析】本題考查了三角形的內角和與三角形的外角性質，全面分類、熟練掌握三角形的內角和與三角形的外角性質是解題的關鍵；分三種情況：當點P在的內部時，當點P在的外部時，若點P在上方，當點P在的外部時，若點P在下方，分別畫出圖形，利用三角形的內角和與三角形的外角性質即可求解．【詳解】解：當點P在的內部時，如圖，延長交于點D，則，∴；當點P在的外部時，若點P在上方，如圖，設交于點E，∵，∴，∴；當點P在的外部時，若點P在下方，如圖，設交于點E，∵，∴，∴；綜上：或或；故答案為：或或．【變式3-3】【探究】如圖①，試說明；【應用】（1）一張帆布折椅的側面示意圖如圖②所示，，，，，求椅面和椅背的夾角的度數；（2）如圖③，，，求的度數．【答案】探究：見解析；應用：（1）；（2）【知識點】三角形內角和定理的應用、三角形的外角的定義及性質【分析】本題側重考查三角形的外角性質及三角形內角和定理．探究：連結，并延長，如圖所示，先由外角的性質得①，②，再由①②即可得出結論；應用：（1）先由三角形的內角和求出，得到，再由探究的結論得到，代入求值即可；（2）連結，由探究可知，，即可得到，【詳解】探究：證明：連結，并延長，如圖所示，是的外角，①，是的外角，②，①②，得，即；應用：解：（1），，，，由探究可知；（2）連結，如圖所示．由探究可知③，④，③④，得，．一、單選題1．如圖，中，，直線交于點D，交于點E，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據三角形內角和定理求出，根據平角的概念計算即可．【詳解】解：，，，故選：D．【點睛】本題考查的是三角形內角和定理的應用，掌握三角形內角和等于是解題的關鍵．2．如圖，在由線段組成的平面圖形中，，則的度數為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖標記，然后利用三角形的外角性質得，，再利用互為鄰補角，即可得答案．【詳解】解：如下圖標記，，，，又，，，，故選C．【點睛】此題考查了三角形的外角性質與鄰補角的意義，熟練掌握并靈活運用三角形的外角性質與鄰補角的意義是解答此題的關鍵．3．如圖，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D、E分別是邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，若∠A=60°，則∠1+∠2=（

）A．75° B．120° C．105° D．210°【答案】B【分析】根據三角形的內角和等于180°求出∠ADE+∠AED，再根據翻折變換的性質可得∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，然后利用平角等于180°列式計算即可得解．【詳解】解：∵∠A=60°，∴∠ADE+∠AED=180°-60°=120°，∵△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，∴∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，∴∠1+∠2=180°-（∠A′ED+∠AED）+180°-（∠A′DE+∠ADE）=360°-2×120°=120°．故選：B．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，翻折變換的性質，整體思想的利用求解更簡便．4．在社會實踐手工課上，小茗同學設計了一個形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，根據三角形內角和定理求出再利用鄰補角的性質求出，再根據四邊形的內角和求出，根據鄰補角的性質即可求出的度數．【詳解】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，如圖，∵∴同理得∵∴∵∴∴∴,故選：B．【點睛】本題考查三角形內角和定理，多邊形內角和，三角形的外角的性質，鄰補角的性質，解題關鍵是會添加輔助線，將已知條件聯系起來進行求解．三角形外角的性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；鄰補角性質：鄰補角互補；多邊形內角和：．二、填空題5．如圖，將按由小到大的順序可以排列為．【答案】【分析】本題考查了三角形的外角性質，熟知三角形的一個外角大于和它不相鄰的任一個內角是解題的關鍵；根據三角形的外角性質解答即可．【詳解】解：∵是的外角，∴，同理，∴；故答案為：．6．如圖，．【答案】720°/720度【分析】連接DH，利用三角形外角性質得∠1=∠A+∠F，∠2=∠3+∠5，再利用四邊形內角和等于360°即可求解．【詳解】解：如圖，連接DH，∵∠1=∠A+∠F，∠2=∠3+∠5，∠1+∠2+∠B+∠C=360°∴∠A+∠F+∠3+∠5+∠B+∠C=360°，∵∠4+∠6+∠E+∠G=360°，∴∠A+∠F+∠3+∠5+∠B+∠C+∠4+∠6+∠E+∠G=720°，∵∠3+∠4=∠BHG，∠5+∠6=∠ADE，∴∠A+∠F+∠B+∠C+∠E+∠G+∠BHG+∠ADE=720°，故答案為：720°．【點睛】本題考查四邊形內角和，三角形外角性質，將所求角轉化成三角形與四邊形的內角，利用四邊形內角和定理和三角形外角性質求解是解題的關鍵．7．如圖，四邊形兩組對邊的延長線分別交于點E，F，，，若與互補，則的度數為．【答案】/40度【分析】本題主要考查三角形內角和定理和外角的性質，連接，可得，再根據三角形外角性質得，則，然后根據三角形內角和定理有，即，再解方程即可．【詳解】解：連接，如圖，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：．8．如圖，于點，于點，點在線段上，且．、分別平分和，則的度數是．【答案】/45度【分析】本題主要考查了平行線的性質，三角形內角和定理的應用及角平分線的定義，熟知相關知識點，正確添加輔助線是正確解答此題的關鍵．過點作，根據平行公理的推論證明，根據平行線的性質證明，，根據于點，于點，點在線段上，推出，即可求解．【詳解】解：過點作，，，，，，，，，，，，、分別平分和，，，，，，，．三、解答題9．如圖所示，的兩邊上各有一點，連接，求證．【答案】見解析【分析】根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和證明即可．【詳解】解：和是的外角，．又，．【點睛】本題主要考查三角形外角的性質，熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．10．如圖，平分，交于點F，平分交于點E，與相交于點G，．（1）若，求的度數；（2）若，求的度數．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據角平分線的定義可得∠ADP=，然后利用三角形外角的性質即可得解；（2）根據角平分線的定義可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根據三角形的內角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．【詳解】解：（1）∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF=，∵，∴，∴；（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=（38°+42°）=40°．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理及三角形外角的性質，角平分線的定義，熟記定理并理解“8字形”的等式是解題的關鍵．11．（1）如圖①，在凹四邊形中，請直接寫出與，，之間的數量關系．（2）根據圖②中的條件，利用（1）中你得出的結論計算的度數．（3）如圖③，在中，設，和的平分線，交于點O，過B作的平行線交的延長線于點，試用含的代數式表示．【答案】（1）；（2）；（3）＝【分析】本題考查三角形外角的性質和三角形內角和，掌握三角形外角的性質是解題的關鍵．（1）延長交于點D，利用外角的性質可得，，從而得到；（2）連接，利用（1）中得出的結論可知：，，兩式相加即可得解；（3）利用角平分線得到，再根據，即可求解．【詳解】解：（1），理由如下：延長交于點D，如圖①：

∵是的外角，∴．∵是的外角，∴，∴，即與之間的關系為；（2）連接，如圖②：

根據圖②中的條件，利用（1）中得出的結論可知：，，∴，即；（3）在中，，∵和的平分線、交于點O，∴，∴．∵，∴，∴，即用含的代數式表示的度數為．12．（1）已知：如圖（1）的圖形我們把它稱為“8字形”，試說明：．（2）如圖（2），分別平分，若．求的度數．（3）如圖（3），直線平分平分的外角，猜想與的數量關系是______；（4）如圖（4），直線平分的外角平分的外角，猜想與的數量關系是______．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根據三角形的內角和等于和對頂角的性質即可得證；（2）設，，解方程即可得到答案；（3）根據直線平分，平分的外角，得到，從而可以得到，再根據，得到即可求解；（4）連接,求得，，再根據，，，，即可求解．【詳解】解：（1）如圖.

，，．，；（2）如圖.

，分別平分，，設，，則有，，（3）如圖.

直線平分，平分的外角，，，∴，∴∵∴∴∴，即．（4）連接

直線平分的外角，平分的外角，，，∵，∴同理得到：∴∴∵180°，∴，【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內角和定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．13．如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品——圓規．我們不妨把這樣圖形叫做“規形圖”，請發揮你的聰明才智，解決以下問題：(1)觀察“規形圖”，試探究與之間的關系，并說明理由；(2)請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊恰好經過點B、C，若，直接寫出的結果；②如圖3，平分，平分，若，求的度數；③如圖4，的10等分線相交于點，若，求的度數．【答案】(1)，見解析(2)①；②；③【分析】（1）首先連接并延長，然后根據外角的性質，即可判斷出；（2）①由（1）可得，然后根據，，即可求出的值；②由（1）可得，再根據，求出的值；然后根據，即可求出的度數；③設，，結合已知可得，，再根據（1）可得，，即可判斷出的度數．【詳解】（1）解：，理由如下：如圖，連接并延長．根據外角的性質，可得，，又∵，，∴，故答案為：；（2）①由（1）可得，∵，，∴；②由（1）可得，∴，∴，∴；③設，，則，，則，，解得，所以，即的度數為．【點睛】此題還考查了三角形的外角的性質，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．14．