2026年天津高考數學最后沖刺復習2026年高考數學臨考沖刺卷03（全解全析）

2026年高考數學三輪臨考沖刺卷03（天津專用）

（考試時間：120分鐘，分值：150分）

注意事項：

1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共45分）

一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

e

1．（熱點）已知集合U{xZ|4x4}，A1,3，B0,2，則UAB（）

A．0,2B．0，2C．0,2D．2

【答案】A

【解析】已知U{xZ|4x4}，所以U{3,2,1,0,1,2,3}，

e

已知A{1,3}，可得UA{3,2,0,1,2}，

ee

已知B0,2，UA{3,2,0,1,2}，所以(UA)B{0,2}，故選A.

2．（新考法）設a，bR，則“ab”是“lnalnb”的（）

A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】若“ab”則ab0，

所以當ab0時，“lnalnb”不成立，故充分性不成立；

若“lnalnb”，因為ylnx是增函數，

所以ab0，所以“ab”，故必要性成立，

“ab”是“lnalnb”的必要不充分條件，故選B

3．（熱點）已知函數yf(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能是（）

A．f(x)xsinxB．f(x)|x|sinx

C．f(x)xcosxD．f(x)|x|cosx

【答案】B

【解析】根據fπ0，排除CD選項；

若f(x)xsinx，則f(x)xsinxxsinxfx，

則fx為偶函數，排除A，故選B

4．已知a，b是空間兩條不同的直線，，，為三個不同的平面，則下列命題正確的為（）

A．若∥，a，b，則a∥bB．若aP，a，則

C．若a，b，a∥b，則∥D．若，a，則a

【答案】B

【解析】對于A，若∥，a，b，則a∥b或a,b異面，故A錯誤；

對于B，若aP，則存在直線c，使得aPc，

由于a，則c，可得，故B正確；

對于C，若a，b，a∥b，則∥或,相交，故C錯誤；

對于D，若，a，設l，

只有當al時，才能得到a，故D錯誤，故選B.

5．（改編）下列說法不正確的是（）

A．對具有線性相關關系的變量x、y，且回歸方程為y0.3xm，若樣本點的中心為m,2.8，則實數

m的值是4

B．若隨機變量X服從正態分布N3,2，且PX40.7，則P3X40.2

C．若線性相關系數r越接近1，則兩個變量的線性相關程度越高

D．一組數據10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數為14

【答案】D

【解析】對A：樣本點的中心為x,y，所以xm，y2.8，

因為x,y滿足線性回歸方程，所以2.80.3mm，所以m4，A正確.

對B：若隨機變量X服從正態分布X3,2，且PX40.7，

則PX41PX40.3，則P3X40.5PX40.2，B正確；

對C：若線性相關系數r越接近1，則兩個變量的線性相關性越強，C正確；

1416

對于D，因為1060%6，所以第60百分位數為15，D錯誤；

2

故選：D.

6．（新情境）如圖為眼睛分辨視標的數學模型，視標整體形狀為正方形，長和寬相等為H，視標筆畫寬度

和空白缺口寬度相等均為h，將視力值按0.1,0.2,0.3，，1.5劃分為15個等級，對應的視標筆畫寬度成等比數

，*

列hnn15nN，則公比為（）

1h15h15

A．15B．C．14D．15

15h1h1

【答案】C

，*

【解析】因為數列hnn15nN成等比數列，設公比為q，

1414h15h15

所以hhq，即q，所以公比為14．

151h

1h1

x3

7．已知函數f(x)2x1,g(x)log2xx1,h(x)xx1的零點分別為a,b,c，則a,b,c的大小順序為

（）

A．bcaB．bacC．cbaD．cab

【答案】A

x3

【解析】法1：由題意可知，a,b,c分別為y2,ylog2x,yx與y1x的函數圖象的交點的橫坐標，

圖象如圖：

由圖可知，bca；

法2：易知，f(x),g(x),h(x)均為增函數，

因為f00,g10，所以a0,b1，

因為h(0)10,h(1)10，所以0c1，

所以bca，故選A

ππ3π7π3π

8．（新考法）已知函數fxsinx在,內單調遞減，x是函數fx的一條

22888

π7π

對稱軸，且函數yfx為奇函數，則f（）

824

3311

A．B．C．D．

2222

【答案】B

3π7π

【解析】因為函數fx在,內單調遞減，

88

7π3π17π3π12π

所以T，得2，

882882

3π

因為x是函數fx的一條對稱軸，

8

3ππ

所以2kπ,kZ，①

82

ππ

因為函數yfxsinx是奇函數，

88

π

所以mπ,mZ，②，

8

由①②可得，42km2，

而2，所以2

2ππ

當2時，mπ,mZ，得mπ，mZ，

84

πππ

因為，所以，

224

π

即fxsin2x，

4

3π7πππ3π

當x,時，2x,，顯然此時函數單調遞減，符合題意，

88422

7π7πππ3

所以fsin2sin

2424432

2ππ

當2時，mπ,mZ，得mπ+，mZ，

84

πππ

因為，所以，

224

π

即fxsin2x，

4

3π7ππ

當x,時，2xπ,2π，顯然此時函數不是單調遞減函數，不符合題意，

884

7π3

所以f.

242

故選：B

2

9．（預測）橢圓C1與雙曲線C2有公共的焦點F1c,0，F2c,0，c0，拋物線C3的方程為y4cx，P為C1，

4

C2，C3的一個公共點，若tanPFF，則C，C2，C3離心率的乘積為（）

2131

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【解析】畫出簡圖：

x2y2x2y2

設橢圓方程為：1，雙曲線方程為：1，

a2b2m2n2

因為P為C1，C2，C3的一個公共點，

則PF1PF22a,PF1PF22m，

=+=-

聯立可得：PF1am,PF2am，

2

又拋物線C3的方程為y4cx，所以焦點坐標為：F2c,0，準線方程為：xc，

過點P分別向xc，及x軸作垂線，垂足分別為A,B,

則PAPF2BF1am，

4

又tanPFF，結合cos2PFFsin2PFF1，

2132121

34

易得cosPFF,sinPFF，

215215

43

所以PBamAF,FBam,

5125

222

結合勾股定理：PF1AF1PA，及F1F2F1BBF2可得：

8

2cam

5

，

21622

amamam

25

415

am

415

聯立方程可得：，

8

cm

415

cc88

所以4，

am415415

由拋物線離心率為1，所以C1，C2，C3離心率的乘積為4，

故選：D

第二部分（非選擇題共105分）

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。

2m

10．已知復數z3(2i),z15，則實數m的值是_______．

1i

【答案】6或15

2m2m1i

【解析】由z3(2i)63im1i63im6m3i，

1i1i1i

22

所以zm6m315，解得m6或15.

4

11．（熱點）在2xx1的展開式中，x2的系數為________．（用數字作答）

【答案】8

444

【解析】2xx12x1xx1,

4r4r

因為(x1)的展開式通項為C4x，

令4r2或4r1，解得：r2或r3，

223

所以x的系數為：2C4C41248.

12．直線x2y30被圓C截得的弦AB的中點為P(1,2)，且AB42，若點P關于原點的對稱點Q恰在

圓C上，則圓C的標準方程為____；

2

【答案】x2y213

【解析】過P點且垂直于直線x2y30的直線方程是：2xy40，圓心就在這條直線上.

P1,2關于原點的對稱點是Q1,2在所求圓上.

2ab40

2222

設所求圓的方程為：xaybr2，有題意得：1a2br2，

2

222

a1b222r

a2

2

解得：b0，所求圓的方程為：x2y213.

2

r13

13．（新情境）在學校大課間體育活動中，甲?乙兩位同學進行定點投籃比賽，每局比賽甲?乙每人各投籃一

次，若一方命中且另一方末命中，則命中的一方本局比賽獲勝，否則為平局．已知甲?乙每次投籃命中的概

43

率分別為和，且每局比賽甲?乙命中與否互不影響，各局比賽也互不影響．則進行1局投籃比賽，甲?

54

乙平局的概率為__________；設共進行了10局投籃比賽，其中甲獲勝的局數為X，求X的數學期望

EX__________．

13

【答案】/0.652

20

43

【解析】由題意知甲?乙每次投籃命中的概率分別為和，

54

434313

則甲?乙平局的情況為兩人都投中或都不中，故平局概率為(1)(1)；

545420

431

甲每局獲勝的概率為(1)，

545

1

故共進行了10局投籃比賽，其中甲獲勝的局數為X，則XB(10,)，

5

1

故EX102，

5

14．在ABC中，AC2,BC1,C60，則CACB______；若點P為ABC所在平面內的動點，且

7

滿足PC，則PAPB的取值范圍是______．

3

537

【答案】7,

99

2221

【解析】CACBCACB2CACBcosC412217，

2

故CACB7，

2

PAPBPCCAPCCBPCPCCACBCACB

2

7116，

21PCCACBPCCACB

329

取AB中點D，則PCCACB2PCCD2PCCDcosPC,CD，

127

CDCACB，cosPC,CD1,1，

22

777

故PCCACB2PCCDcosPC,CDcosPC,CD,，

333

537

故PAPB,.

99

15．若不等式(xb)(ax22)0對任意的x(0,)恒成立，則4ab2的最大值為__________.

【答案】42

【解析】①當b0時，由(xb)(ax22)0得到ax220在x(0,)上恒成立，顯然a不存在；

②當b0時，由(xb)(ax22)0，可設f(x)ax22,g(x)xb，

由g(x)的大致圖象，可得f(x)的大致圖象，如圖所示，

a0

2222

由題意可知2則b，所以4ab24a24a42，

baaa

a

22

當且僅當4a，即a時，取等號，所以4ab2的最大值為42.

a2

綜上，4ab2的最大值為42.

三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

16．（本小題滿分13分）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若b3,c4,C2B,且

ab.

(1)求cosB；

(2)求a的值;

π

(3)求sin2B的值.

4

【解】（1）因為C2B,所以sinCsin2B2sinBcosB,………………2分

c42

由正弦定理可得：c2bcosB,所以cosB.………………4分

2b233

2a2c2b2a2169a27

（2）由余弦定理可得：cosB，………6分

32ac2a48a

7

所以3a216a210，解得：a或a3，

3

7

因為ab,所以a.………………8分

3

2π5

（3）因為cosB，所以B0,，所以sinB1cos2B，

323

5245

sin2B2sinBcosB2，………………10分

339

2

221

cos2B2cosB21，………………11分

39

πππ452124102

所以sin2Bsin2Bcoscos2Bsin…13分

444929218

17．（本小題滿分15分）如圖，已知多面體FABCDE的底面ABCD是邊長為2的正方形，DE底面ABCD，

DE//AF，且FA2DE2．

(1)證明：CD平面ADEF；

(2)求四棱錐CADEF的體積；

(3)求平面FCE與平面FAB所成角的余弦值．

【解】（1）DE底面ABCD，CD底面ABCD，

CDDE．……………2分

又CDAD,DEADD,DE,AD平面ADEF，

\CD^平面ADEF；………………4分

（2）由題意易知四邊形ADEF為直角梯形，

(12)2

S3．………………6分

梯形ADEF2

11

VSCD322；………………8分

CADEF3梯形ADEF3

（3）如圖，以A為原點，

AB,AD,AF所在的直線為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系，則

A(0,0,0),C(2,2,0),F(0,0,2),E(0,2,1),CE(2,0,1),FC(2,2,2)……………10分

易知AD平面FAB，

平面FAB的一個法向量m(0,1,0)，………………11分

設平面FCE的法向量n(x,y,z),nCE,nFC，

nCE2xz0z2x

,，

nFC2x2y2z0yx

令x1，得y,z2，所以n(1,1,2)，………………13分

nm6

cosn,m，由圖可得平面FCE與平面FAB所成角為銳角，

nm6

6

故平面FCE與平面FAB所成角的余弦值為．………………15分

6

x2y2

18．（新考法）（本小題滿分15分）已知橢圓C:1ab0過點0,1，其右焦點為F1,0.

a2b2

(1)求橢圓C的方程和離心率；

(2)過點M2,0的直線與橢圓C交于P，Q兩點，Q關于x軸對稱的點為N，判斷P,F,N三點是否共線，

并加以證明.

【解】（1）由題意得，b1，c1，所以a2b2c22，……2分

x2

所以橢圓C的方程為y21，……………3分

2

c2

離心率e.…………5分

a2

（2）P,F,N三點共線.

證明如下：

由題意可知直線PQ的斜率存在，

設直線PQ的方程為ykx2，

ykx2

2222

由x2得12kx8kx8k20，

y21

2

8k28k22

設Px,y，Qx,y，則Nx,y，x1x2，x1x2，……8分

11222212k212k2

yy

∵k=1，k=2，

PF-NF-

x111x2

y1y2y11x2y2x11

∴kPFkNF…………10分

x111x2x111x2

kx21xkx2x13kxx2kxx4k

12211212

x111x2x111x2

2

8k22k8k24k8k3

3k

222，…………14分

12k12k12k0

x111x2

=

∴kPFkNF，∴P,F,N三點共線.………………15分

19．（創新）（本小題滿分15分）已知數列an是各項均為正數的等比數列，且a12，a2a464.對于任意

*

kN，在ak和ak1之間插入k個數xk1，xk2，…，xkk，使得ak，xk1，xk2，…，xkk，ak1這k2個數構成

等差數列，記新得到的數列為bn.

(1)求數列an的通項公式；

*

(2)記cnbn1bn，證明對于任意的nN，cncn1；

n(n1)

2

(3)求（其中nN*）.

bk

k1

【解】（1）設數列an的公比為q，因為數列an是各項均為正數，

故an0nN，q0，

2

因為a2a464，a3a2a4，………………1分

2a3

所以a364，解得a38，而a12，則公比q2，……………3分

a1

n1n

所以數列an的通項公式為ana1q2.………………4分

k1kk

ak1ak222

（2）由（1）得等差數列ak,xk1,xk2,,xkk,ak1的公差d，

kk1k1k1

當bn,bn1,bn2[ak,ak1]時，bn1bnbn2bn1dk，則cncn1；

當bn[ak,ak1),bn2(ak1,ak2]時，

kk1

22

則bn1ak1，cd,cd，………………6分

nkk1n1k1k2

k1kk

22k21k2

cc2()0，因此cc，

n1nk2k1k2k1(k2)(k1)nn1

所以cncn1.………………8分

k1k

k1k(k1)(22)k2

（3）依題意，在(2,2),k2內的數列{bn}的所有項和為3(k1)2，

2

nn(n1)n(n1)

數列{bk}中，2項及前面的項數和為n[123(n1)]n，

22

n(n1)

2

當n2時，23n012n2…………10分

bk22223[122232(n1)2]

k1

012n2

令Sn122232(n1)2，

123n2n1

則2Sn122232(n2)2(n1)2，

12n2n1n1n1n1

兩式相減得Sn1222(n1)221(n1)2(2n)21，

n123nn1

解得Sn(n2)21，而222222，……………13分

n(n1)

2

因此n1n1n1n1，

bk223Sn223[(n2)21](3n2)21

k1

n(n1)

2

當n1時，滿足上式，

bkb1a12

k1

n(n1)

2

所以n1.……………15分

bk(3n2)21

k1

20．（本小題滿分16分）已知函數fxxalnx（a0）.

(1)函數fx在定義域內無極值，求a的取值范圍；

a

(2)函數gxfxx2x（a0），gx有三個不同的極值點x，x，x，xxx；

2123123

（ⅰ）求a的取值范圍；

1

（ⅱ）證明xxx2a.

123a

xlnxxa

【解】（1）fx（x0），

x

令Fxxlnxxa（x0），

因為函數fx在定義域內無極值，

所以函數fx無變號零點，即函數Fx在0,上無變號零點.………1分

由Fxlnx20，得x1，

e2

11

當x0,時，Fx0，當x,時，Fx0，

e2e2

11

所以Fx在0,上單調遞減，在,上單調遞增，……3分

e2e2

11

所以Fx的極小值為Fa，

e2e2