北京東城區2024-2025學年七下期末數學試卷（解析版）

東城區2024-2025學年度第二學期期末統一檢測初一數學考生須知1．本試卷共8頁，共三道大題，28道小題，滿分100分，考試時間100分鐘.2．在試卷和答題卡上準確填寫學校、班級、姓名和教育ID號.3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.4．在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.5．考試結束后，請將答題卡交回．一、選擇題（本題共8小題，每小題2分，共16分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.下列調查中，適宜用全面調查方法的是（）A.手機廠商檢測某型號手機的使用壽命B.班長了解全班同學的視力C.出版社調查全市青少年對一部文學作品的閱讀情況D.食品公司調查各省人民對粽子的喜愛程度【答案】B【解析】【分析】本題考查全面調查的適用情形．全面調查適用于范圍小、需精確數據且易操作的情況，而抽樣調查適用于范圍大、破壞性或成本高的情況．【詳解】解：．檢測手機壽命需破壞性測試，無法普查，應抽樣調查，故該選項不符合題意；．全班同學數量有限，可逐一檢查視力，適合全面調查，故該選項符合題意；．全市青少年群體龐大，普查成本過高，應抽樣調查，故該選項不符合題意；．各省人口眾多，無法逐一調查，需采用抽樣調查，故該選項不符合題意；故選：B．2.在平面直角坐標系中有下列四個點，在第二象限的點是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查的是各象限內點的坐標特點、坐標軸上點的坐標特點．本題主要考查的是各象限內點的坐標特點，各象限內點的坐標特點：第一象限點的坐標為，第二象限點的坐標為，第三象限點的坐標為，第四象限點的坐標為，坐標軸上點的坐標特點：點在x軸上，，點在y軸上，據此回答即可．【詳解】解：．點在第一象限，故該選項不符合題意；．點在x軸上，故該選項不符合題意；．點在第四象限，故該選項不符合題意；．點在第二象限，故該選項符合題意；故選：D．3.已知點在直線外，要求過點畫直線的平行線．某位同學先過點畫直線交于點，并使得，然后他通過將含有角的三角板從點處沿著直線平移畫出所要求作的直線．在點處，他的三角板擺放方法正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定是解題關鍵．根據同位角相等，兩直線平行即可得．【詳解】解：將三角板中的角與重合，再從點處沿著直線平移，當三角板中的角的頂點與點重合時，畫出的直線即為直線的平行線．理由是：同位角相等，兩直線平行．故選：C．4.以下四個命題中，是真命題的是（）A.若，則B.9的平方根是3C.的相反數是它本身D.點到兩條坐標軸的距離都是1【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了真假命題的判斷，不等式的性質，平方根的定義，相反數，點到坐標軸的距離等知識，逐一分析各選項是否符合數學定義或性質即可判斷．【詳解】解：A．若a，b，兩邊同乘時不等號方向改變，即，故A錯誤．B．9的平方根是，而3是算術平方根，故B錯誤．C．的相反數為，顯然不等于原數，故C錯誤．D．點到x軸的距離為，到y軸的距離為，均等于1，故D正確．故選：D5.如圖，在三角形中，，點，分別在，上，．在以下四個結論中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了根據平行線的性質求角的度數，由平行線的性質得出，其他均無法得出．【詳解】解：．∵，∴，故該選項符合題意；．無法得出，故該選項不符合題意；．無法得出，故該選項不符合題意；．無法得出，故該選項不符合題意；故選：A．6.某部門要在一條筆直的東西方向的馬路邊植樹，準備利用運輸車將樹苗從集中存放點處運送到四個發放點，發放點與存放點的方位如圖所示．在四個發放點中，與集中存放點距離最近的是（）A.發放點 B.發放點 C.發放點 D.發放點【答案】B【解析】【分析】本題考查了垂線段最短原理，根據直線外一點與直線上點的連線中，以垂線段為最短選擇即可．【詳解】解：根據題意可知，，根據直線外一點與直線上點的連線中，以垂線段為最短，可知發放點B與集中存放點距離最近故答案為：B．7.若實數在數軸上的對應點的位置如圖所示，則在下列結論中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了根據數軸判斷式子的正負，根據數軸可知：，，則，，故A，選項錯誤，B選項錯誤，由可得出可判斷C，由不等式的性質可判斷D．【詳解】解：根據數軸可知：，，則，，故A選項錯誤,B選項錯誤，∵，∴，∴，故選項C正確．，，∴，，∴，故D選項錯誤，故選：C8.一般地，以一個二元一次方程的解為坐標的點的全體叫作這個方程的圖象，關于的二元一次方程的圖象是一條直線，這條直線記作直線．若關于的二元一次方程的解的情況分別如表1、表2所示：表1．．．012．．．．．．765432．．．表2．．．012．．．．．．01234．．．則直線與直線的交點坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了兩直線的交點與二元一次方程的解，通過觀察兩個方程的解表，尋找同時滿足兩個方程的公共解，即為兩直線的交點坐標．【詳解】解：對比兩表數據，當時，表1中，表2中，滿足兩個方程．其他選項的坐標在表中均不滿足同時對應相同的y值．故直線與直線的交點坐標為故選：C二、填空題（本題共8小題，每小題2分，共16分）9.科技小組的同學們為了研究近年來北京市科技創新的情況，查閱了2019-2023年北京市專利授權量的數據，并繪制了趨勢圖，由此對2024年北京市專利授權量做出了預測．他們的預測值可能是___________千件（結果保留整數）．【答案】120【解析】【分析】本題考查統計圖的應用，根據趨勢圖可直接得出答案．【詳解】解：由圖可知，2024年對應的專利授權量為120千件，故答案為：120．10.若方程解滿足方程，則的值是___________．【答案】【解析】【分析】本題考查二元一次方程的解，先求出一元一次方程的解，代入，解方程即可．【詳解】解：解方程，得：，將代入，得：，解得，故答案為：．11.在一次有獎競答的活動中，組織者對每位選手的答題情況進行統計，小強和小亮的答題情況如圖1所示．（1）小亮答對的題數為___________；（2）若用扇形圖表示小亮答對題數、答錯或不答題數的占比情況，則“答對”所在扇形的圓心角是___________．【答案】①.②.【解析】【分析】此題考查而來條形統計圖和扇形統計圖的信息關聯，讀懂題意是關鍵．（1）根據小強答題總數減去小亮打錯或不答的題數即可得到答案；（2）利用乘以“答對”的占比即可得到答案．【詳解】（1）解：由圖1可知，小亮答對的題數為，故答案為：（2），故答案為：12.已知是關于x，y的二元一次方程的解，則代數式的值為___________．【答案】44【解析】【分析】本題考查了二元一次方程的解，代數式求值，整體代入的思想是解題的關鍵．把x，y的值代入方程即可求出m與n的關系式，然后再整體代入計算即可．【詳解】解：根據題意，把代入得，，∴．故答案為：44．13.若關于的方程的解大于2且小于4，則的整數值為___________．【答案】5【解析】【分析】本題考查了解一元一次方程，解不等式．先求出x關于k的解，再根據“解大于2且小于4”求出k的取值范圍，最后找出的整數值即可．【詳解】解：，∴，∵關于的方程的解大于2且小于4，∴，∴，∴的整數值為5，故答案為：5．14.已知，則的近似值是___________（精確到）．【答案】【解析】【分析】本題考查了無理數的估算，根據題干所給數據作答即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．15.小紅購買了2個白色的兔爺泥塑模型和1個白色的京劇臉譜面具，準備涂色后送給喜歡傳統文化的母親．小紅涂色時間少于7小時，且涂色1個臉譜面具比1個兔爺模型時間少0.5小時，設涂色1個兔爺模型需小時．依據題意所列的關于的不等式為___________，的取值范圍是___________．【答案】①.②.【解析】【分析】本題考查一元一次不等式的實際應用，理解題意，準確找出題中的不等關系是解題的關鍵，設涂色1個兔爺模型需小時，則涂色1個臉譜面具需小時，根據題意涂色時間少于7小時，即可列出不等式，解不等式即可得到的取值范圍．【詳解】解：設涂色1個兔爺模型需小時，則涂色1個臉譜面具需小時，由題可得：，解不等式得：，∵臉譜面具的涂色時間不能為負數，∴，解得：，∴，故答案為：；．16.在平面直角坐標系中，已知點．點P是線段上一動點，以O，A，P為頂點的三角形的面積記作．（1）___________（填“存在”或“不存在”）一點，使得；（2）將線段向下平移t個單位長度，若存在一點P，使得，則t的最大值是___________．【答案】（1）不存在；（2）5．【解析】【分析】本題主要考查平面直角坐標系中三角形面積的計算，點到直線距離，平移變換等知識點，掌握這些知識點和數形結合是解題的關鍵．（1）以為底計算三角形面積，即可求得P點到是距離，根據題意和圖即可判斷；（2）根據平移性質和圖象數形結合即可．【小問1詳解】解：設P點到的距離為h，則，由題意知，所以，又因為點P是線段上一動點，h不可能為1，所以不存在一點，使得；故答案為：不存在；【小問2詳解】由（1）知，只要,則，又因為，所以由圖可知，將線段向下平移t個單位長度，若存在一點P，使得，則t的最大值是5．故答案為：5．三、解答題（共68分，第17題7分，第18題5分，第19題6分，第20-25題，每題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17.計算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了實數的混合運算，掌握相關運算法則即可；（1）利用實數的混合運算法則即可求解；（2）利用實數混合運算法則即可求解；【小問1詳解】解：原式【小問2詳解】解：原式18.解方程組：【答案】【解析】【分析】本題考查了解二元一次方程組．利用代入消元法解方程組即可．【詳解】解：，把①代入②，得，解得．把代入①，解得，所以，原方程組的解是．19.解不等式組，并將解集表示在數軸上．【答案】，數軸見解析【解析】【分析】本題考查解一元一次不等式組，分別求出兩個不等式的解集，再求出公共部分，最后在數軸上表示出來即可．【詳解】解：5x+2>3x-3由①，得，解得．由②，得，解得．所以，原不等式組的解集是．在數軸上表示為：20.完成下面的證明．如圖，點在同一條直線上，與交于點．求證：．證明：，___________（___________）（填推理的依據）．___________．，___________（___________）（填推理的依據）．．【答案】；同位角相等，兩直線平行；；；兩直線平行，內錯角相等．【解析】【分析】本題考查了平行線的判定與性質，根據平行線的判定與性質即可完成證明．【詳解】解：證明：，（同位角相等，兩直線平行）．．，（兩直線平行，內錯角相等）．．故答案為：；同位角相等，兩直線平行；；；兩直線平行，內錯角相等．21.如圖，，點在邊上，過點作直線，交于點，平分．（1）求證：；（2）求的度數．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】此題考查了平行線的判定、三角形外角的性質等知識，熟練掌握平行線的判定是關鍵．（1）證明，根據內錯角相等兩直線平行即可得到結論；（2）根據三角形外角的性質即可得到的度數．【小問1詳解】解：∵，∴，∵平分．∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】∵，，∴22.如圖，，點在邊上，且不與點重合．按要求補全圖形，并回答問題：（1）過點畫直線；（2）點（異于點）在（1）中所畫的直線上，則的度數是___________；（3）在（2）的條件下，以點為原點，直線為軸建立平面直角坐標系．若點的坐標為，且點與點的距離為4，則點的坐標為___________【答案】（1）見解析（2）或（3）或【解析】【分析】本題考查作圖—復雜作圖、坐標與圖形性質、平行線的性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．（1）結合平行線的性質畫圖即可．（2）當點A在點P的左側時，可得；當點A在點P的右側時，可得，進而可得答案．（3）當點A在點P的左側時，可得點A的坐標為，即；當點A在點P的右側時，可得點A的坐標為，即，進而可得答案．【小問1詳解】解：如圖，直線l即為所求．【小問2詳解】解：當點A在點P的左側時，∵直線，∴；當點A在點P的右側時，∵直線，∴．綜上所述，的度數是或．故答案為：或．【小問3詳解】解：當點A在點P的左側時，∵點P的坐標為，點A與點P的距離為4，∴點A的坐標為，即；當點A在點P的右側時，∵點P的坐標為，點A與點P的距離為4，∴點A的坐標為，即．綜上所述，點A的坐標為或．故答案為：或．23.如圖，每個小正方形的邊長均為1，網格線的交點叫作格點，三角形的頂點都是格點．將三角形先向下平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度后得到三角形．（1）畫出三角形；（2）寫出所有與相等的角；___________；（3）求三角形的面積．【答案】（1）見解析（2）（3）5【解析】【分析】本題主要考查了平移作圖，平移的性質，平行線的性質，網格中求三角形面積，正確畫出對應的圖形是解題的關鍵．（1）根據所給平移方式確定位置，描出，并順次連接即可；（2）由平移的性質可得，再由平行線的性質即可得到答案；（3）利用割補法求解即可．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求；【小問2詳解】解；由平移的性質可得，∴；∴與相等角有；【小問3詳解】解：．24.已知，比較A與B的大小，并說明理由．【答案】時，；時，；時；理由見解析【解析】【分析】本題主要考查了整式的加減運算及比較大小，熟練掌握運算法則是解題關鍵．用作差法比較與的大小，先計算并化簡，得到，再根據與的大小關系（分、、三種情況），判斷與的大小．詳解】解：；當時，∵，即；當時，∴，即；當時，∴，即．25.某校七年級1班數學小組在“低碳生活”實踐活動中，了解到每個人的日常消費都會產生二氧化碳排放．為了解同學們家庭的碳排放情況，該小組隨機抽取了該校部分七年級學生家庭，收集了這些家庭2024年的人均碳排放量的數據，并對數據進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a．抽取的七年級學生家庭2024年的人均碳排放量的數據的頻數分布表如下：年人均碳排放量/噸頻數百分比48%791062b．抽取的七年級學生家庭2024年的人均碳排放量的數據在這一組的是：c．抽取的七年級學生家庭2024年的人均碳排放量的數據的頻數分布直方圖如下：根據以上信息，回答下列問題：（1）這里采用的調查方式是___________（填“全面調查”或“抽樣調查”）；（2）填空：___________，___________，并把頻數分布直方圖補充完整；（3）估計該校七年級個學生家庭中，2024年的人均碳排量不超過3噸的家庭大約有多少戶？【答案】（1）抽樣調查（2），頻數分布直方圖見解析（3）【解析】【分析】本題考查了頻數分布表和頻數分布直方圖，旨在考查學生的數據處理能力．（1）由題意即可求解；（2）計算出總人數即可求解；（3）計算出樣本中人均碳排量不超過3噸的家庭級所占比例即可求解．【小問1詳解】解：解：由題意得：采用的調查方式是抽樣調查；故答案為：抽樣調查【小問2詳解】解：總人數為：（人），∴，；故答案為：；【小問3詳解】解：（戶）．答：估計該校七年級個學生家庭中，2024年的人均碳排放量不超過3噸的家庭大約有戶．26.為慶祝3月14日“國際數學日”，某校七年級策劃了“漫畫數學”活動，并設置了創意和青苗兩個獎項，以獲獎作品作為圖案向某店鋪定制紀念冊與環保袋，其中紀念冊作為創意獎獎品，環保袋作為青苗獎獎品．已知定制3本紀念冊和5個環保袋，共需支付55元；定制5本紀念冊和10個環保袋，共需支付100元．（1）該店鋪的紀念冊和環保袋單價分別是多少元？（2）為了吸引顧客，該店鋪推出了優惠方案：消費滿1000元，一律打九折．七年級計劃發放200個獎品，其中紀念冊不少于64本，總費用不超過1200元，有哪幾種定制方案？說明理由．【答案】（1）店鋪的紀念冊每本10元，環保袋每個5元（2）三種定制方案，理由見解析【解析】【分析】本題考查二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用，理解題意，正確求解是解答的關鍵．（1）設該店鋪的紀念冊每本x元，環保袋每個y元，根據題意正確列出方程組，然后求解即可；（2）設定制紀念冊m本，則定制環保袋個，依題意可判斷總費用超過1000元．根據題意列出不等式求得，結合已知條件求解即可得出方案．【小問1詳解】解：設該店鋪的紀念冊每本x元，環保袋每個y元．根據題意，得解得,答：該店鋪的紀念冊每本10元，環保袋每個5元；【小問2詳解】解：設定制紀念冊m本，則定制環保袋個，其中．依題意，當時，總費用為，即可判斷總費用超過1000元．根據題意，得．解得．∵且整數，∴，，，有三種定制方案：方案1：紀念冊64本，環保袋136個，總費用為（元）；方案2：紀念冊65本，環保袋135個，總費用為（元）；方案3：紀念冊66本，環保袋134個，總費用為（元）．27.在四邊形中，，平分交于點，延長交于點．點為線段上的動點，連接，過點作交于點．（1）當點與點重合時，①依題意補全圖；②若，則___________；（2）當點運動到某個位置時，恰好使得．①猜想與的位置關系，并證明；②平分交于點．用等式表示的數量關系，并證明．【答案】（1）①補圖見解析；②（2）①，證明見解析；②，證明見解析【解析】【分析】（）①根據題意補全圖形即可；②由角平分線的定義得，由平行線的性質得，進而根據角的和差即可求解；（）①由垂直可得，進而根據平行線的判定即可求證；②由角平分線的定義和平行線的性質可得，即得，由根據平行線的性質可得，即得，再根據三角形的外角性質即可求證；本題考查了平行線的判定和性質，角平分線的定義，三角形外角性質等，掌握以上知識點是解題的關鍵．【小問1詳解】解：①補圖如下：②∵平分，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：；【小問2詳解】解：①．證明：如圖，∵，，∴，∴；②．證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，即．28.在平面直角坐標系中，對于點和長度為的線段給出如下定義：若線段平行于軸（或與軸重合），則將線段向下平移個單位長度，得到線段；若線段平行于軸（或與軸重合），則將線段向右平移個單位長度，得到線段．若點在以為頂點的正方形的邊上，則稱點是線段的“方田點”．已知點的坐標為，點的坐標為．（1）在這四個點中，___________是線段的“方田點”；（2）點，若線段上存在線段的“方田點”，則的取值范圍是___________；（3）點，點是線段的“方田點”，將點向下平移個單位長度，得到點．若線段的“方田點”都是線段的“方田點”，直接寫出的取值范圍．【答案】（1），（2）（3）或【解析】【分析】本題考查了新定義、坐標與圖形變化—平移、一元一次方程的應用，理解線段的“方田點”的