新高三數學暑假自學課精講精練基礎知識復習練習題專題09導數與函數的單調性(原卷版+解析)

高二數學暑假作業精講精練（新人教A版2019）專題09導數與函數的單調性基礎知識復習1．函數的單調性在某個區間(a，b)內，如果f′(x)>0，那么函數y＝f(x)在這個區間內單調遞增；如果f′(x)<0，那么函數y＝f(x)在這個區間內單調遞減．2．函數的極值(1)一般地，求函數y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當f′(x0)＝0時：①如果在x0附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，那么f(x0)是極小值．(2)求可導函數極值的步驟①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右兩側導數值的符號．如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值．3．函數的最值(1)在閉區間[a，b]上連續的函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數的最小值，f(b)為函數的最大值；若函數f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數的最大值，f(b)為函數的最小值．(3)設函數f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：①求函數y＝f(x)在(a，b)內的極值；②將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．【知識拓展】1．在某區間內f′(x)>0(f′(x)<0)是函數f(x)在此區間上為增(減)函數的充分不必要條件．2．可導函數f(x)在(a，b)上是增(減)函數的充要條件是對?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區間內都不恒為零．3．對于可導函數f(x)，f′(x0)＝0是函數f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件．典型習題強化1．已知偶函數f(x)的定義域為R，導函數為f'x，若對任意A．f0<0 B．9f?32．函數fxA．(?∞,ln2) C．(–∞,2) 3．若函數f(x)=1A．(?∞,?1] B．[?1,4．已知函數fx=mx3+A．3 B．13 C．2 D．5．已知函數fx的導函數f'A．在區間?1,1上，fx是增函數 B．在區間?3,C．?2為fx的極小值點 D．2為6．函數y=fx在定義域?32,3內可導，圖像如圖所示，記y=fxA．?13,1C．?32,7．已知函數fx=lnA．（0，1） B．0,C．（0，e） D．（0，+∞）8．已知函數fx=lnx?ax?A．1+e B．1?e C．1?9．函數f(x)=2A．(?∞,0) B．(?1,1) C．(0,1) 10．已知函數fx=(x+a)lnx，下列命題：（1）當a<0時，函數y=f(xA．1 B．2 C．3 D．411．函數fxA．當a=1時，fx在B．當a=1時，fx在C．對任意a>0,f'xD．存在a<0,f'x12．下列命題為真命題的個數是（）A．ln3<3ln2

C．215<15 13．已知f(x)=a2?A．?2 B．?1 C．1 14．已知定義在區間(0,π)上的函數f(15．若函數fx=x2+ax+16．已知f(①函數y=f(x)②函數y=f(x)的單調遞減區間為③函數y=f(x④若關于x的方程f(x)=a17．已知函數hx(1)當m=1時，求函數h(2)若hx?gx在18．已知函數fx(1)當a=0時，求f(2)當a>0時，討論f19．已知函數fx=ax2(1)求a的值；(2)討論fx(3)若λ>0，關于x的不等式λxfx≤e220．已知f'x是函數f(1)試討論f'x(2)當x≥0時，fx≥高二數學暑假作業精講精練（新人教A版2019）專題09導數與函數的單調性基礎知識復習1．函數的單調性在某個區間(a，b)內，如果f′(x)>0，那么函數y＝f(x)在這個區間內單調遞增；如果f′(x)<0，那么函數y＝f(x)在這個區間內單調遞減．2．函數的極值(1)一般地，求函數y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當f′(x0)＝0時：①如果在x0附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，那么f(x0)是極小值．(2)求可導函數極值的步驟①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右兩側導數值的符號．如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值．3．函數的最值(1)在閉區間[a，b]上連續的函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數的最小值，f(b)為函數的最大值；若函數f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數的最大值，f(b)為函數的最小值．(3)設函數f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：①求函數y＝f(x)在(a，b)內的極值；②將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．【知識拓展】1．在某區間內f′(x)>0(f′(x)<0)是函數f(x)在此區間上為增(減)函數的充分不必要條件．2．可導函數f(x)在(a，b)上是增(減)函數的充要條件是對?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區間內都不恒為零．3．對于可導函數f(x)，f′(x0)＝0是函數f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件．典型習題強化1．已知偶函數f(x)的定義域為R，導函數為f'x，若對任意A．f0<0 B．9f?3【答案】C【解析】令x=0，則2令g(x)當x>0時，由2∴2xf(x)又因為偶函數f(∴g(x)=x∴g(?3)∴g(2)>g(由題意，不妨假設f(x)=c>0故選：C.2．函數fxA．(?∞,ln2) C．(–∞,2) 【答案】B【解析】f'(由f'(x)所以f(x)故選：B3．若函數f(x)=1A．(?∞,?1] B．[?1,【答案】A【解析】解：∵f(x)∴f'(x)∴1?2sin令t=sinx，則t∈0,1，即?∴a≤?2t+1t，令gt∴gt在0,1上單調遞減，∴a≤g1=?故選：A．4．已知函數fx=mx3+A．3 B．13 C．2 D．【答案】B【解析】函數fx=m令f'x<0∵m>0，fx的單調遞減區間是∴0，4是方程3m∴0+4=∴m=故選：B.5．已知函數fx的導函數f'A．在區間?1,1上，fx是增函數 B．在區間?3,C．?2為fx的極小值點 D．2為【答案】D【解析】由導函數f'x在區間?1,0上為單調遞減，在區間0,1上為單調遞增，則選項A在區間?3,?2上，f'x>由圖像可知f'?2=0，且?3,?2為單調遞增區間，?由圖像可知f'2=0，且1,2為單調遞增區間，2,3為單調遞減區間，則2為f故選：D.6．函數y=fx在定義域?32,3內可導，圖像如圖所示，記y=fxA．?13,1C．?32,【答案】C【解析】f'x≥0結合圖像可得y=fx單調遞增區間為則f'x≥故選：C．7．已知函數fx=lnA．（0，1） B．0,C．（0，e） D．（0，+∞）【答案】B【解析】解：由題意可得f'x當m≤0時，f'x>0恒成立，則f(x當m>0時，由f'x>0，得x>m，由f'x<所以函數的增區間為(m,+∞所以函數的最小值為f解得0<m<故選：B8．已知函數fx=lnx?ax?A．1+e B．1?e C．1?【答案】B【解析】解：由題意得：∵f'當a<0時，f'x=1x當a>0時，令f'x=1x?a=0，解得x=1a，當x∈0,1a時，f'x>令ba=k，則b=ak，所以?lna+若1?k≤0，即k≥1，則φ'若k<1，由φ'a=0，得a=11?k，此時φ故選：B9．函數f(x)=2A．(?∞,0) B．(?1,1) C．(0,1) 【答案】B【解析】函數f(x)當a≤0時，f'(x當a>0時，令f'(x當x∈a6,+∞時，∵函數f(x)的一個單調遞增區間為1,+∞，故得：∴x在(?1,1)時，f'(故選：B．10．已知函數fx=(x+a)lnx，下列命題：（1）當a<0時，函數y=f(xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】解：因為fx=(x+a（1）當a<0時f'x=xlnx+x+ax，令Fx=xlnx+x+a，則F'x=lnx+2，令F'x=0，解得x=e?2，所以x∈0,e?2時F'x<0，即Fx在0,e?2（2）當a>0時fx=(x+a)lnx=0，所以x=1或x=?a（3）因為Fx=xlnx+x+a是由gx=xlnx+x上（下）平移a個單位，由（1）可知gx=xlnx+x的圖象如下所示，由圖可知，當0<a<e?2時，Fx（4）由（3）可知當?e?2+a>0，即a>e?2時，Fx故選：D11．函數fxA．當a=1時，fx在B．當a=1時，fx在C．對任意a>0,f'xD．存在a<0,f'x【答案】AD【解析】對于A，當a=1時，ff'0=1，故f對于B，當a=1時，f作出函數y=ex,可以看到y=ex,即f'x=ex+當x∈?π,x1時，f'x>0，fx遞增，當x∈x1,故當a=1時，fx在對于C，f'x=e令f'x=e令F(x)令F'(x)故當x∈(π4+2當x∈(5π4+2所以當x=2kπ+即當x=?3π4,又sin(?3π4又因為在(?π,?3π4當x=2kπ+即當x=π4,又sinπ4eπ4當x∈?π,+∞所以當?1a<?22e3π當?1a=22eπ即存在a<0,f'x故選：AD12．下列命題為真命題的個數是（）A．ln3<3ln2

C．215<15 【答案】ACD【解析】設函數f(x)當0<x≤e2時，f'(x故f(x)=ln對于A，由3<4<e2即ln33對于B，e<π<e2，故f(e)<f(π)對于C，16>15>e2故ln2<ln1515對于D，8>e2，故f即3eln2<故選：ACD13．已知f(x)=a2?A．?2 B．?1 C．1 【答案】AD【解析】設y=x?1?ln所以y=x?1?lnx在所以lnx<x?1,x∈(1,∴1ln又f1lnx所以f(x)所以f'(x)=a令g(x)=xex?∴a2?1≥1所以a的值可以為?2，2故選：AD.14．已知定義在區間(0,π)上的函數f(【答案】0,π2【解析】對函數f(x)當x∈0,π2，f'(故答案為：0,π15．若函數fx=x2+ax+【答案】a≥?【解析】解：f'x要使函數fx=x2+ax+5e即x2+2+ax+5+a即a≥?x2而?=?1當且僅當1+x=41即a≥?4故答案為：a≥?16．已知f(①函數y=f(x)②函數y=f(x)的單調遞減區間為③函數y=f(x④若關于x的方程f(x)=a【答案】①④【解析】由f(x)=0得：|x|=0由題意可知：f(當x≥0時，f(x當0≤x<1時，f'(x)>0，f則此時f(x)當x<0時，f(x)=?xe由此可作出y=f(觀察圖象可得函數y=f(x)的單調遞減區間為(?∞,0)函數y=f(x)在x=1時有極大值，即函數若關于x的方程f(x)=a有三個不同的根，則實數a的取值范圍是故答案為：①④．17．已知函數hx(1)當m=1時，求函數h(2)若hx?gx在【答案】(1)答案見解析(2)?∞【解析】(1)當m=1時設μx=h'μ'∴μx即h'x在?∞,當x∈?∞,而當x∈0,+∞,x∈0,故函數增區間為0,+∞，減區間為(2)m+1≤令f令p∴px在0,+∞遞增，而∴?x1∈1當x∈0,x1時，f'x<0,fx在∴f因為x12又∵y=xex,由（**）可得x∴f故m取值范圍為?∞18．已知函數fx(1)當a=0時，求f(2)當a>0時，討論f【答案】(1)單調增區間為0,π2(2)答案見解析【解析】(1)解：當a=0時，函數f可得f'x當x在區間0,π上變化時，f'x，f（x00,πππf'0+0-f（x）極小值1↗極大值π↘-1所以fx的單調增區間為0,π2；f(2)解：由題意，函數fx可得f'當a≥1時，a+cosx≥所以x∈[0,π]時，f'x≥又因為f0=1，所以f（x當0<a<1時，令f'x由?1<?a<0可知存在唯一的x所以當x∈[0,x0)時，當x∈x0,π時，因為f0=1，f①當12aπ2?1>②當12aπ2?1≤綜上可得，當0<a≤2π2時，fx19．已知函數fx=ax2(1)求a的值；(2)討論fx(3)若λ>0，關于x的不等式λxfx≤e2【答案】(1)1(2)fx在0,1上遞增，在1,(3)[【解析】(1)解：因為函數fx所以fe=ae則f'e所以函在x=e處的切線方程為y?又因為切線過點2e,2e所以2e即2ae2(2)由（1）知；fx=x令gx=2當0<x<1時，g'x<0所以g即當0<x<1時，f'x>0所以fx在0,1上遞增，在1,(3)因為x的不等式λxfx≤e所以e2λx?即feλx≥f因為fx在1,所以eλx≥x在區間即λ≥lnxx令hx=ln當0<x<e時，h'x>0所以當x=e時，hx