基礎數學（第2冊）

第四章三角函數三角函數是研究現實世界中周期現象和圓周運動的重要數學工具，在測量、建筑、工程技術等領域具有廣泛的應用．本章將在初中所學銳角三角函數知識的基礎上，將角的概念推廣到任意角，重新認識正弦函數、余弦函數和正切函數等三角函數，并研究它們的圖像、性質及應用．我們以前學過的角的范圍是，但僅用這個范圍內的角并不能描述某些現實狀況，如鐘表的秒針圍繞機芯軸轉了一圈又一圈（圖4-1）等，這就需要我們對角的概念進行推廣。4.1.1角的概念的推廣1．任意角一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點O，按逆時針（或順時針）方向旋轉到另一位置OB所形成的圖形稱為角，如圖4-2所示．旋轉開始處的射線OA稱為角α的始邊，旋轉終止處的射線OB稱為角α

的終邊，射線的端點O稱為角α

的頂點．圖4-1圖4-2一般規定：按逆時針方向旋轉所形成的角稱為正角，按順時針方向旋轉所形成的角稱為負角．特別地，當一條射線沒有作任何旋轉時，也認為形成了一個角，這個角稱為零角，零角的始邊與終邊重合．這樣就將角的概念推廣到了任意角，可以有任意大小的正角、負角和零角．以前經常將角記為的形式，今后將常用小寫希臘字母α，β，γ，…來表示角．例如，在圖4-3中，正角，負角，正角．圖4-3正角和負角是表示具有相反意義的旋轉量，它的正負規定純屬習慣，這與正數、負數的規定是一樣的．為了研究的方便，我們經常在平面直角坐標系中討論角．將角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，就把這個角稱為第幾象限的角，或者說這個角在第幾象限．例如，角是第一象限的角，角是第二象限的角，角是第三象限的角，角是第四象限的角，如圖4-4所示．圖4-4銳角是第幾象限的角？第一象限的角一定是銳角嗎?想一想圖4-5特別地，如果一個角的終邊落在坐標軸上，則稱為界限角，它不屬于任何一個象限．例如，，，，，，，，角等都是界限角．2．終邊相同的角在同一直角坐標系中，作出，和角，如圖4-5所示．角可以看成是角的始邊繞坐標原點按逆時針方向旋轉到角的終邊位置后，繼續按逆時針旋轉一周所形成的角；角可以看成是角的始邊繞坐標原點按逆時針方向旋轉到角的終邊位置后，再按順時針方向旋轉一周所形成的角．提示通過觀察可以發現，，角的終邊都與角的終邊相同．我們把這些角稱為與角終邊相同的角．顯然，與角終邊相同的角有無數多個，它們可以分別寫成：……

……因此，所有與角終邊相同的角（包括角），都可以表示成與的整數倍的和，即都可以寫成的形式．所以，與角終邊相同的角的集合為

（4-1）需要注意的是，α

與之間是“+”號，如，應為．終邊相同的兩個角度數之差一定是的整數倍．例1指出下列各角是第幾象限的角：（1）-330°；（2）120°；（3）225°；（4）

-45°．解（1）-330°角的終邊落在第一象限，因此它是第一象限的角．（2）120°角的終邊落在第二象限，因此它是第二象限的角．（3）225°角的終邊落在第三象限，因此它是第三象限的角．（4）-45°角的終邊落在第四象限，因此它是第四象限的角．例2在0°~360°范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并指出它們是哪個象限的角：（1）-120°；（2）640°；（3）-950°12′．解（1）因為，所以與-120°角終邊相同的角為240°角，它是第三象限的角，所以-120°角是第三象限的角．（2）因為，所以與角終邊相同的角為角，它是第四象限的角，所以角是第四象限的角．（3）因為，所以與角終邊相同的角為角，它是第二象限的角，所以角是第二象限的角．例3寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把其中在范圍內的角寫出來：（1）60°；（2）-21°；（3）363°14′．解（1）與60°角終邊相同的角的集合為．當k=-1時，；當k=0時，；當k=1時，．因此，在-360°~720°范圍內與60°角終邊相同的角為-300°，60°和420°．（2）與-21°角終邊相同的角的集合為．當k=0時，；當k=1時，；當k=2時，．因此，在-360°~720°范圍內與-21°角終邊相同的角為-21°，339°和699°．（3）與363°14′角終邊相同的角的集合為．當k=-2時，；當k=-1時，；當k=0時，．因此，在-360°~720°范圍內與363°14′角終邊相同的角為-356°46′，3°14′和363°14′．在初中，我們學習過角的度量，規定圓周的所對的圓心角作為1度的角，記作．這種以“度”為單位來度量角的單位制稱為角度制．在數學和其他科學中，經常使用另一種方法來度量角．把等于半徑長的圓弧所對的圓心角稱為1弧度的角，記作1弧度或．這種以“弧度”為單位來度量角的單位制稱為弧度制．如圖4-6所示，用弧度制表示的這兩個圓心角分別是，．4.1.2弧度制圖4-6一般規定：正角的弧度是正數，負角的弧度是負數，零角的弧度是零．根據定義可知，在半徑為r的圓中，長度為l的圓弧所對的圓心角α的大小用弧度制表示就是（4-2）由于圓的周長為，所以圓周所對的圓心角的弧度大小為由此可得角度制與弧度制之間的轉換關系為即因此，角度與弧度的轉換公式為（4-3）（4-3）用弧度制表示角的大小時，通常可以省略單位“弧度”或“”。例如，通常可以寫作．表4-1中列出了一些特殊角的角度與弧度的對應關系．表4-1采用弧度制以后，角與實數之間就建立了一一對應的關系，每一個角都對應唯一的一個實數；反過來，每一個實數都對應唯一的一個角．用計算器進行角度與弧度轉換下面，我們以用CASIOfx－82ESPLUS型計算器將由角度轉換為弧度，將由弧度轉換為角度為例，介紹用計算器進行角度與弧度轉換的一般方法．（1）首先將由角度轉換為弧度．按ON鍵，打開計算器，然后依次按SHIFT鍵和MODE鍵，再按4鍵選擇弧度制，將計算器設置為弧度計算模式．（2）先輸入“135”，再依次按SHIFT，Ans，1鍵，改輸入值為角度“”，然后按=鍵，即可得到對應的弧度值“”．計算器輔助求值（3）接下來將由弧度轉換為角度．先按ON鍵（清屏），然后依次按SHIFT鍵和MODE鍵，再按3鍵選擇角度制，將計算器設置為角度計算模式．（4）按鍵，先輸入分子中的“11”，再依次按SHIFT，×10x

鍵輸入分子中的“”，然后按鍵，輸入分母“6”，再按鍵．（5）依次按SHIFT，Ans，2鍵，改輸入值為弧度“”，然后按=鍵，即可得到對應的角度值“330”．（6）依次按SHIFT鍵和AC鍵，關閉計算器．例4將下列各角由角度轉換為弧度：（1）108°；（2）-315°；（3）240°；（4）75°30′．解（1）；（2）；（3）；（4）例5將下列各角由弧度轉換為角度：（1）；（2）；（3）；（4）2.5．解（1）；（2）；（3）；（4）．4.2.1任意角的正弦、余弦和正切函數圖4-7在初中，我們學習過銳角三角函數，它們是以銳角為自變量，以直角三角形中邊的比值為函數值的三角函數，如圖4-7所示．,,.圖4-8在直角坐標系中，設角α

是一個任意角，在角α的終邊上任取一點，則點P到原點的距離為，如圖4-8所示，那么任意角的正弦、余弦和正切可以分別定義為（4-5）需要注意的是，當角α的終邊在y軸上時，終邊上任意一點的橫坐標x都等于0，此時正切函數無意義．根據相似三角形的知識，對于每一個確定的角α，其正弦、余弦和正切（當時）的值都是唯一確定的，且與點P在角α

終邊上的位置無關．因此，正弦、余弦和正切都是以角α

為自變量的函數，分別稱為角α

的正弦函數、余弦函數和正切函數，它們都是角α

的三角函數．在弧度制下，三角函數可以看作是以實數為自變量的函數．正弦函數、余弦函數和正切函數的定義域及值域如表4-3所示．表4-3三角函數定義域值

域RRR任意角α

的余切可以定義為定義域為正割可以定義為定義域為提示例1已知角α的終邊經過點P(5,-12)，求角α

的正弦、余弦和正切值．解因為x=5，y=-12，

，所以，，．表4-41．各象限角的三角函數值的正負號根據任意角的三角函數的定義，由于，所以三角函數值的正負號取決于角α

終邊上點P的坐標（x,y）．表4-4中列出了各象限角的三角函數值的正負號與點的坐標的對應關系．4.2.2三角函數的正負號α所在象限點

P的坐標xy第一象限+++++第二象限-++--第三象限----+第四象限+--+-為了便于記憶，我們把，，的正負號標在各個象限中，如圖4-9所示．圖4-9在第一象限全為正，在第二象限僅為正，在第三象限僅為正，在第四象限僅為正．此規律可簡記為“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．提示對于界限角，可以根據三角函數的定義求出其正弦、余弦和正切值．例如，零角的終邊與x軸的正半軸重合，并且r為點P到原點的距離，所以對于角α終邊上的任意點P(x,y)都有r=x，y=0．因此，根據三角函數的定義有2．界限角的三角函數值表4-5類似地，可以得到，，，等界限角的三角函數值，如表4-5所示．三角函數0010-1010-1010不存在0不存在0在已知角度大小的情況下，可以通過CASIOfx－82ESPLUS型計算器的sin，cos，tan鍵，方便地求出任意角的正弦、余弦、正切等三角函數值；同樣，在已知正弦、余弦、正切函數值的情況下，也可以通過CASIOfx－82ESPLUS型計算器，方便地求出指定范圍內的角．1．求已知角的三角函數值具體方法為：設置計算模式（角度制或弧度制）→按sin(或cos，tan)鍵→輸入角的大小→按=鍵顯示結果．2．已知三角函數值求角以正弦函數為例：在計算器的標準設置中，已知正弦函數值，只能計算器輔助求值求得（或）范圍內的角．具體方法為：設置角度或弧度計算模式→依次按SHIFT，sin鍵→輸入已知的正弦函數值→按=鍵顯示然后，可以再根據需要利用誘導公式，定范圍內的角．同理，在已知余弦函數值求角時，只能求得在（或）范圍內的角，然后，可根據需要利用誘導公式，（或）范圍內的角．等求出任意指等求出任意指定范圍內的角．同理，在已知余弦函數值求角時，只能求得在（或）范圍內的角，然后，可根據需要利用誘導公式，

等求出任意指定范圍內的角；在已知正切函數值求角時，只能求得（或）范圍內的角，然后，可根據需要利用誘導公式，等求出任意指定范圍內的角．例2判斷下列各三角函數值的正負號：（1）cos250°；（2）；（3）tan(-672°)；（4）．解（1）因為250°角是第三象限的角，所以．（2）因為角是第四象限的角，所以．（3）因為，48°角是第一象限的角，所以-672°角也是第一象限的角，．（4）因為，角是第四象限的角，所以角也是第四象限的角，．例3若且，則θ是第幾象限的角？解由知，θ

可能是第一或第二象限的角，或終邊在y軸的正半軸上的界限角；由知，θ

可能是第二或第三象限的角，或終邊在x

軸的負半軸上的界限角．綜上可知，θ是第二象限的角．例4求值：．解

例5用計算器求下列各三角函數值（精確到0.001）：（1）； （2）tan257°；（3）cos2.5；（4）cos27

°；（5）sin165°；（6）．解（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．例6已知sinx=0.7，0°~360°利用計算器求在范圍內的角x（精確到0.01°）．解利用計算器得到銳角為x1≈44.43°；利用，得到所求的鈍角為x2≈180°-44.43°=135.57°．故在0°~360°范圍內，正弦函數值為0.7的角為44.43°和135.57°．4.3.1單位圓在平面直角坐標系中，以原點為圓心，單位長度為半徑的圓稱為單位圓．如圖4-10所示，設任意角α

的終邊與單位圓相交于點P(x,y)，根據三角函數的定義，可得由此可見，角α

的正弦值和余弦值分別等于其終邊與單位圓的交點P的縱坐標y和橫坐標x．因此，角α

的終邊與單位圓的交點P

的坐標可以表示為

．圖4-10例1已知角α

=30°，求其終邊與單位圓交點的坐標．解設角α

的終邊與單位圓相交于點P(x,y)，根據三角函數的定義，可得，．因為α

=30°，所以，，故，．因此，角α

的終邊與單位圓的交點P的坐標為．4.3.2同角三角函數的基本關系式因為，，，所以當時，有于是就得到了同角三角函數的基本關系式：（4-6）（4-7）利用這兩個基本關系式，可以由一個已知的三角函數值，求出其他各三角函數值，還可以對同角的三角函數式進行化簡．一般用sin2α，cos2α分別表示(sinα)2，(cosα)2．提示例2已知，且α

是第二象限的角，求cosα和tanα．解因為，所以，解得．由于α

是第二象限的角，所以cosα

<0，故，例3已知，求下列各式的值：（1）； （2）．解因為，所以．；例4化簡：．解例5求證：．證法一因為所以．證法二因為又，，所以．證法三由sinα≠0知cosα≠1，所以1-cosα≠0，于是因此，原式成立．4.4.1的誘導公式對于任意角α，在平面直角坐標系中，角，-α，，的終邊與角的終邊有著特殊的關系．我們可以用幾個公式表述上述關系，這些公式就是三角函數的誘導公式．根據三角函數的定義可知，終邊相同的角的同名三角函數值相等．在平面直角坐標系中，角與角α

的終邊相同，所以當時，有（4-8）以上為弧度制下的表示形式，其角度制下的表示形式為利用上述公式，可以將任意角的三角函數轉化為范圍內角的三角函數．例1求下列各三角函數值：（1）； （2）cos405°；（3）．解

（1）；（2）；（3）．4.4.2-α

的誘導公式如圖4-11所示，設單位圓與任意角α，

-α的終邊分別相交于點P和點P’，則點P的坐標為(cosα,sinα)，點P’的坐標為(cos(-α),sin

(-α))．由于點P

和點P’關于x軸對稱，故它們的橫坐標相同，縱坐標互為相反數，所以圖4-11由同角三角函數的關系式知于是得到角-α

的誘導公式為（4-9）利用這組公式，可以將任意負角的三角函數轉化為正角的三角函數．例2求下列各三角函數值：（1）；（2）；（3）．解（1）；（2）；（3）．4.4.3的誘導公式如圖4-12所示，設單位圓與任意角α，的終邊分別相交于點P和點P’，則點P

的坐標為(cosα,sinα)，點P’的坐標為．由于點P和點P’關于原點中心對稱，故它們的橫坐標互為相反數，縱坐標也互為相反數，所以圖4-12由同角三角函數的關系式知于是得到角的誘導公式為（4-9）其角度制下的表示形式為根據公式（4-9）和（4-10）可得于是得到角的誘導公式為（4-11）其角度制下的表示形式為利用上述公式，可以將任意范圍內的角的三角函數轉化為銳角的三角函數．例3求下列各三角函數值：（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）（2）；（3）；（4）

4.4.4的誘導公式在中，若，則根據三角函數的定義，可得由此可以看出，當時，有于是得到角的誘導公式為（4-12）其角度制下的表示形式為根據公式（4-11）和（4-12）可得于是得到角的誘導公式為（4-13）其角度制下的表示形式為利用上述公式可以實現正弦和余弦之間的轉化，為我們以后的計算、化簡、證明提供很多方便．公式（4-8）、（4-9）、（4-10）、（4-11）、（4-12）、（4-13）統稱為三角函數的誘導公式．利用這些公式可以將任意角的三角函數轉化為銳角的三角函數．例4求證：（1）；（2）．證明（1）因為，所以原式成立．（2）因為，所以原式成立．4.5.1正弦函數的圖像和性質在研究三角函數的時候，習慣上采用字母x來表示角（自變量），如正弦函數為，余弦函數為等．正弦函數的定義域為實數集R．這里先用描點法作出它在區間上的圖像．把區間分成8等份，分別求出函數在各分點及區間端點的函數值，然后列表，如表4-6所示．表4-6以表中的x值為橫坐標，對應的y值為縱坐標，在直角坐標系中依次描出相應的點，然后用光滑的曲線依次連接這些點，即可得到函數在區間上的圖像，如圖4-13所示．圖4-13根據終邊相同的角的同名三角函數值相等，即可知，正弦函數在區間…，，，，，，，，…上的圖像，都與它在區間上的圖像形狀完全相同，只是位置不同而已．圖4-14我們把正弦函數在區間上的圖像向左或向右平移個單位，就可以得到在R上的圖像，如圖4-14所示．正弦函數的圖像稱為正弦曲線．事實上，要作正弦函數在區間上的圖像，如果對精確度要求不高的話，可以先找出五個關鍵點，分別為，，，將這五個關鍵點在直角坐標系中描出來，再用光滑的曲線將它們依次連接即可．這種作圖方法稱為“五點法”．提示由正弦曲線可知，正弦函數主要具有如下性質：（1）定義域正弦函數的定義域為R，即．（2）值域正弦函數的值域為．當時，取得最大值1；當時，取得最小值-1．正弦曲線夾在直線y=-1和y=1之間，即對于任意的實數x，都有成立，函數的這種性質稱為有界性．正弦函數是R上的有界函數．（3）周期性一般地，對于函數，如果存在一個不為零的常數T，使得當x

取定義域D內的每一個值時，都有，并且成立，則函數稱為周期函數，非零常數T稱為這個函數的一個周期．由于正弦函數的定義域為R，對于任意的，都有，并且

（誘導公式）成立，因此正弦函數是周期函數，

以及都是它的周期．在周期函數的所有周期中，如果存在一個最小的正數，那么就將它稱為最小正周期（習慣上直接簡稱為周期）．故正弦函數的周期為．（4）奇偶性正弦曲線關于原點O中心對稱，因此正弦函數是奇函數．（5）單調性當x由增大到時，正弦曲線逐漸上升，的值由-1增大到1；當x由增大到時，正弦曲線逐漸下降，的值由1減小到-1．根據周期性可知，正弦函數在每一個區間上都是增函數，其函數值由-1增大到1；在每一個區間上都是減函數，其函數值由1減小到-1．例1利用“五點法”作出函數在區間上的圖像．解按五個關鍵點列表，如表4-7所示．以表中的x值為橫坐標，對應的y

值為縱坐標，在直角坐標系中依次描出相應的點，然后用光滑的曲線依次連接這些點，即可得到函數在區間上的圖像，如圖4-15所示．圖4-15表4-7例2已知sinx=5-

a，求a的取值范圍．解因為，所以

，即，解得．因此，a的取值范圍是．例3求使函數取得最大值的x的集合，并指出最大值是多少．解設，則使函數取得最大值1的集合是，由，得．故所求集合為，函數的最大值為1．x010.710-0.71-1-0.7100.7114.5.2余弦函數的圖像和性質首先用描點法作出余弦函數在區間上的圖像．把區間分成8等份，分別求出函數在各分點及區間端點的函數值，然后列表，如表4-8所示．表4-8以表中的x值為橫坐標，對應的y值為縱坐標，在直角坐標系中依次描出相應的點(x,y)然后用光滑的曲線依次連接這些點，即可得到函數在區間上的圖像，如圖4-16所示．圖4-16余弦函數的定義域為R，由的值域為可知，余弦函數是R上的有界函數；由可知，余弦函數是周期函數，其周期為．圖4-17根據余弦函數的周期性，把在區間上的圖像向左或向右平移個單位，就可以得到在R上的圖像，如圖4-17所示．余弦函數的圖像稱為余弦曲線．綜上可知，余弦函數主要具有如下性質：（1）定義域余弦函數的定義域為R，即．（2）值域余弦函數的值域為[-1,1]．當時，取得最大值1；當時，取得最小值-1．余弦函數是R上的有界函數．（3）周期性余弦函數是周期為的周期函數．（4）奇偶性余弦曲線關于y

軸對稱，因此余弦函數是偶函數．（5）單調性當x由0增大到時，余弦曲線逐漸下降，的值由1減小到-1；當x由增大到時，余弦曲線逐漸上升，的值由-1增大到1．根據周期性可知，余弦函數在每一個區間上都是增函數，其函數值由-1增大到1；在每一個區間

上都是減函數，其函數值由1減小到-1．例4利用“五點法”作出函數在區間上的圖像．解按五個關鍵點列表，如表4-9所示．

表4-9以表中的x值為橫坐標，對應的y值為縱坐標，在直角坐標系中依次描出相應的點(x,y)，然后用光滑的曲線依次連接這些點，即可得到函數在區間上的圖像，如圖4-18所示．圖4-18例5求使函數y=cos2x取得最大值的x

的集合，并指出最大值是多少．解設u=2x，則使函數y=cosu取得最大值1的集合是，由，得．故所求集合為，函數y=cos2x的最大值為1．4.5.3正切函數的圖像和性質正切函數的定義域為．首先用描點法作出正切函數在區間上的圖像．把區間分成8等份，分別求出函數在各分點及區間端點的函數值，然后列表，如表4-10所示．表4-10以表中的x值為橫坐標，對應的y值為縱坐標，在直角坐標系中依次描出相應的點(x,y)然后用光滑的曲線依次連接這些點，即可得到函數在區間上的圖像，如圖4-19所示．正切函數的定義域為．由誘導公式可知，正切函數是周期函數，其周期為。圖4-19圖4-20根據正切函數的周期性，把在區間上的圖像向左或向右平移個單位，就可以得到在定義域內的圖像，如圖4-20所示．正切函數的圖像稱為正切曲線．從圖4-20中可以看出，正切曲線是由被相互平行的直線所隔開的無窮多支曲線組成的．綜上可知，正切函數主要具有如下性質：（1）定義域正切函數的定義域為．（2）值域正切函數的值域為R．當

且x

無限接近于

時，的函數值接無限近于無窮大，但沒有最大值；當且x

無限接近于時，的函數值無限接近于無窮小，但沒有最小值．（3）周期性正切函數是周期為π

的周期函數．（4）奇偶性正切曲線關于原點O中心對稱，因此正切函數是奇函數．

（5）單調性當x

由增大到時，正切曲線逐漸上升，的值由增大到．根據周期性可知，正切函數在每一個開區間

上都是增函數，其函數值由增大到．例6利用“五點法”作出函數在區間上的圖像．解按五個關鍵點列表，如表4-11所示．

圖4-18表4-11以表中的x值為橫坐標，對應的y

值為縱坐標，在直角坐標系中依次描出相應的點(x,y)，然后用光滑的曲線依次連接這些點，即可得到函數y=-tanx在區間上的圖像，如圖4-21所示．例7求函數y=tan2x的定義域和單調區間．解設u=2x，由y=tanu的定義域為，可知，即．所以y=tan2x的定義域是．因為正切函數在區間上是增函數，所以，解得．因此，函數y=tan2x的單調區間是．在物理和工程技術的許多問題中，經常會遇到形如的函數（其中A，ω，φ

是常數）．例如，在簡諧運動中位移與時間的函數關系就是形如的函數．這個函數與函數有什么關系呢？顯然函數是函數的特殊情況，其中A=1，ω=1，φ=0.下面我們以函數的圖像為基礎，通過改變參數A，ω，φ來研究函數的圖像．圖4-221．探索對函數圖像的影響先看函數，和的圖像之間的關系．利用“五點法”在同一直角坐標系上分別作出函數，和在區間上的圖像，如圖4-22所示．從圖4-22中可以看出，只要把圖像上所有點的縱坐標都伸長為原來的2倍，橫坐標不變，就可以得到函數的圖像；同理，只要把圖像上所有點的縱坐標縮短為原來的，橫坐標不變，就可以得到函數的圖像根據周期函數的定義可以看出，三個函數的周期沒有發生變化，都是．利用正弦函數的周期性，把函數和的圖像向左右延伸，就可以得到函數和在R

上的圖像．當A取其他值時也有類似情況．因此，函數的圖像可以看作是把圖像上所有點的縱坐標伸長（當A>1時）或縮短（當0<A<1時）為原來的A倍（橫坐標不變）而得到的，從而函數的值域為[-A,A]，最大值為A，最小值為-A，通常稱A為振幅．先看函數，和的圖像之間的關系．利用“五點法”在同一直角坐標系上分別作出函數，

和的圖像，如圖4-23所示．從圖4-23中可以看出，只要將函數圖像上每個點的橫坐標都縮短為原來的，縱坐標不變，就可以得到函數的圖像；同理，只要將函數圖像上每個點的橫坐標都伸長為原來的2倍，縱坐標不變，就得可以到函數的圖像．2．探索ω對函數圖像的影響圖4-23根據周期函數的定義可以得到因此，π

是函數的周期，4π

是函數的周期．利用正弦函數的周期性，把函數和

的圖像向左右延伸，就可以得到函數和在R上的圖像．當ω

取其他值時也有類似情況．因此，函數的圖像可以看作是把圖像上每個點的橫坐標伸長（當0<ω<1時）或縮短（當ω>1時）為原來的倍（縱坐標不變）而得到的，從而函數的周期，通常稱周期的倒數

為頻率．先看函數，

和的圖像之間的關系．利用“五點法”在同一直角坐標系上分別作出函數，

和的圖像，如圖4-24所示．從圖4-24中可以看出，只要將函數的圖像向左平移個單位長度就可以得到函數的圖像；同理，只要將函數的圖像向右平移個單位長度就可以得到函數的圖像．根據周期函數的定義可以看出，三個函數的周期沒有發生變化，都是2π．利用正弦函數的周期性，把函數

和的圖像向左右延伸，就可以得到函數和在R上的圖像．3．探索φ對函數圖像的影響圖4-24例1

已知函數，求這個函數的振幅、周期、初相，并作出該函數的圖像．解函數的振幅為2，周期，初相為．法一：按五個關鍵點列表，如表4-12所示．表4-12以表中的x

值為橫坐標，對應的y

值為縱坐標，在直角坐標系中依次描出相應的點(x,y)，然后用光滑的曲線依次連接這些點，即可得到函數在區間上的圖像，如圖4-30所示．利用函數周期性，即可得到函數在R上的圖像．法二：步驟一作出正弦函數y=sinx的圖像，如圖4-31所示；步驟二將函數y=sinx的圖像向左平移個單位長度，得到函數的圖像，如圖4-32所示；圖4-30圖4-31圖4-32步驟三將函數圖像上每個點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖像，如圖4-33所示；步驟四將函數圖像上每個點的縱坐標伸長為原來的2倍（橫坐標不變），即可得到函數的圖像，如圖4-34所示．圖4-33圖4-34如果某種變化著的現象具有周期性，那么它就可以借助三角函數來描述．下面通過幾個例子來說明三角函數在實際問題中的簡單應用．例1在圖4-35中，點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向．若已知簡諧運動的振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運動到最大距離時開始計時．（1）求物體相對于平衡位置的位移x(cm)和時間

t(s)之間的函數解析式；對于具有實際意義的數學模型，需要根據實際背景及問題的條件，判斷定義域．（2）求該物體在t=5s時的位置．圖4-35解

（1）設x和t之間的函數解析式為由題意知A=3；，即；當t=0時，x=3sinφ=3，即sinφ=1，又因為

，所以．因此，函數解析式為

，即

．（2）令t=5，得．故該物體在t=5s時的位置是在點O的左側，與點O的距離為1.5m．例2如圖4-36所示，某地一天從6時到14時（包括6時和14時）的溫度變化曲線近似地滿足函數（其中A>0，ω

>0，0<φ<π）．（1）求這一天的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數解析式．圖4-36解（1）由圖4-36可知，從6時到14時的圖像是函數半個周期的圖像，所以，則這一天的最大溫差是20℃．（2）由圖4-36可知，

；又因為

，所以．于是函數為．將x=6，y=10代入上式，解得．綜上所述，這段曲線的函數解析式為反三角函數一般用“arc+函數名”的形式表示，如反正弦函數表示為，反余弦函數表示為等．如圖4-40所示為正弦函數在R上的圖像.圖4-401．反正弦函數由圖4-40可知：（1）正弦函數在R上無反函數．（2）在區間上，正弦函數的自變量x與函數值y是一一對應的，故正弦函數在區間上有反函數．綜上所述，正弦函數在區間上有反函數，稱為反正弦函數，記作．反正弦函數的定義域為，值域為.

下面，我們來研究反正弦函數的圖像和性質．如圖4-41所示為反正弦函數在區間上的圖像．圖4-41由圖4-41可知，反正弦函數主要具有如下性質：（1）定義域反正弦函數的定義域為．（2）值域反正弦函數的值域為．（3），，.

如圖4-42所示為余弦函數在R上的圖像．圖4-422．反余弦函數由圖4-42可知：（1）余弦函數在R上無反函數．（2）在區間上，余弦函數的自變量x與函數值y是一一對應的，故余弦函數在區間上有反函數．綜上所述，余弦函數在區間上有反函數，稱為反余弦函數，記作．反余弦函數的定義域為，值域為．圖4-43下面，我們來研究反余弦函數的圖像和性質．如圖4-43所示為反余弦函數在區間上的圖像．由圖4-43可知，反余弦函數主要具有如下性質：（1）定義域反余弦函數的定義域為．（2）值域反余弦函數的值域為．（3），，．如圖4-44所示為正切函數在上的圖像．由圖4-44可知：（1）正切函數在R上無反函數．（2）在區間上，正切函數的自變量x與函數值y是一一對應的，故正切函數在區間上有反函數．綜上所述，正切函數在區間上有反函數，稱為反正切函數，記作．反正切函數的定義域為R，值域為．3．反正切函數圖4-42圖4-45下面，我們來研究反正切函數的圖像和性質．如圖4-45所示為反正切函數在區間R上的圖像．由圖4-45可知，反正切函數主要具有如下性質：（1）定義域反正切函數的定義域為R，即．（2）值域反正切函數的值域為．（3），，．由圖4-46可知：（1）余切函數在R上無反函數．（2）在區間上，余切函數的自變量x與函數值y是一一對應的，故余切函數在區間上有反函數．綜上所述，余切函數在區間上有反函數，稱為反余切函數，記作．反余切函數的定義域為R，值域為．4．反余切函數圖4-46如圖4-46所示為余切函數在R上的圖像．下面，我們來研究反余切函數的圖像和性質．如圖4-47所示為反余切函數