2025-2026學年寧夏吳忠市鹽池中學高二下冊期中考試數學試題 含答案

/數學總分150分答題時間120分鐘一、單選題1.已知函數，則（）A. B. C. D.2.某中學為高二學生開設校本選修課，分別為人文社科、自然科學、藝術體育三個類別，其中人文社科類有門互不相同的課程，自然科學類有門互不相同的課程，藝術體育類有門互不相同的課程.若要求每位學生選擇門課程，且門課程需來自不同的類別，則不同的選課方案種數為（）A. B. C. D.3.已知乘積展開后共有60項，則n的值為（）A.5 B.6 C.10 D.124.若，則（）A. B. C. D.5.4人同時被邀請參加一項活動，則至少有1人去參加活動的方法種數為（）A.4種 B.15種 C.16種 D.24種6.在的展開式中，常數項為（）A.15 B.40 C.60 D.807.的展開式中，系數最大的項是（）A.第6項 B.第3項 C.第3項和第6項 D.第5項和第7項8.已知函數的圖象如下，則的解析式可能為（）A. B. C. D.二、多選題9.下面導數運算正確的是（）A. B.C. D.10.已知m，且，則下列等式正確的是（）A. B.C. D.11.已知是定義域為的函數的導函數，且函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A.可能有三個極值點 B.若，則在上單調遞減C.若，則的極大值點為 D.若，則三、填空題12.曲線在點處的切線與直線平行，則__________．13.即將暑假，小明一家5人計劃開車回趟老家，車子前排有駕駛座和副駕駛座，后排有3個座位．家人中只有小明和哥哥不會開車，且小明未成年只能坐在后排，則一共有_____種不同的乘坐方式．14.________．四、解答題15.已知曲線在點處的切線方程是.（1）求，的值；（2）如果曲線的某一切線與直線：垂直，求切點坐標與切線的方程.16.（1）計算：；（2）計算：，求；（3）計算：，求.17.若的展開式中第3項與第9項的二項式系數相等，且.（1）求的系數；（2）求的值.18.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，求的單調區間；（3）若不等式恒成立，求的最大值.19.已知函數.（1）求函數的極值；（2）在坐標系中畫出函數的簡圖（要含有必要的說明和體現必要的圖象特征）；（3）討論方程的實數解的個數.

數學總分150分答題時間120分鐘一、單選題1.已知函數，則（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根據導數的定義對函數求導代入計算即可.解答過程：易知，所以.故選：A.2.某中學為高二學生開設校本選修課，分別為人文社科、自然科學、藝術體育三個類別，其中人文社科類有門互不相同的課程，自然科學類有門互不相同的課程，藝術體育類有門互不相同的課程.若要求每位學生選擇門課程，且門課程需來自不同的類別，則不同的選課方案種數為（）A. B. C. D.答案：C解析：解答過程：若選擇的門課程為人文社科、自然科學，則有種選法，若選擇的門課程為人文社科、藝術體育，則有種選法，若選擇的門課程為自然科學、藝術體育，則有種選法，由分類計數原理可知，不同的選課方案種數為.3.已知乘積展開后共有60項，則n的值為（）A.5 B.6 C.10 D.12答案：C解析：思路：根據多項式相乘時，展開式的項數等于每個括號里的項數相乘求解即可.解答過程：因為第一個括號有2項，第二個括號有3項，第三個括號有項，所以展開式共有項，所以.故選：C4.若，則（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先通過求導判斷函數的單調性，再利用單調性比較和的大小．解答過程：因為．當時，，所以，所以在上為單調遞減函數．故．故選：A.5.4人同時被邀請參加一項活動，則至少有1人去參加活動的方法種數為（）A.4種 B.15種 C.16種 D.24種答案：B解析：解答過程：4人同時被邀請參加一項活動，參加活動共有種方法，若沒人去，則只有種，故至少有1人去參加活動的方法種數為.6.在的展開式中，常數項為（）A.15 B.40 C.60 D.80答案：C解析：思路：利用二項式定理的通項公式進行求解.解答過程：由題，展開式的通項為，令，所以展開式中常數項為.故選：C.7.的展開式中，系數最大的項是（）A.第6項 B.第3項 C.第3項和第6項 D.第5項和第7項答案：D解析：思路：結合通項公式寫出展開式各項的系數，根據系數的正負性和二項式系數的性質即可得解.解答過程：因為的展開式的通項公式為，所以的展開式的各項系數分別為，第6項系數為，第5項和第7項系數分別為，且，所以系數最大的項是第5項和第7項.故選：D8.已知函數的圖象如下，則的解析式可能為（）A. B. C. D.答案：D解析：解答過程：由圖像可知函數關于原點對稱，是奇函數，對于選項C，，，故是偶函數，不符合，排除C；對于選項A，，求導得，故在上單調遞增，不符合圖像中時先增后減的趨勢，排除A；

根據圖像，極大值點在左側，對于選項B，，求導得，令，得，10單調遞增

單調遞減故的極大值點為，不符合圖像，排除B.二、多選題9.下面導數運算正確的是（）A. B.C. D.答案：BC解析：思路：由導數的四則運算逐項判斷即可.解答過程：由導數的運算公式，得：，AD錯誤，BC正確．10.已知m，且，則下列等式正確的是（）A. B.C. D.答案：BC解析：思路：由排列與組合數的運算性質求解即可.解答過程：A錯，，．B對，．C對，，，所以．D錯，．故選：BC.11.已知是定義域為的函數的導函數，且函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A.可能有三個極值點 B.若，則在上單調遞減C.若，則的極大值點為 D.若，則答案：ABC解析：思路：根據導數的圖象研究函數的單調性，結合極值點的概念和單調區間，逐項判定，即可求解.解答過程：由圖可得，0，2是的零點，當時，有3個變號零點，所以可能有三個極值點，A正確．若，，由圖可得當時，，單調遞減，B正確．若，，由圖可得當時，，當時，，所以的極大值點為，C正確．若，則，由圖可得，得或，所以或，D錯誤．故選：ABC三、填空題12.曲線在點處的切線與直線平行，則__________．答案：解析：思路：求出函數的導函數，即可求出切線的斜率，再由兩直線平行斜率相等得到方程，解得即可.解答過程：因為，所以，則，直線的斜率為，依題意可得，解得.故13.即將暑假，小明一家5人計劃開車回趟老家，車子前排有駕駛座和副駕駛座，后排有3個座位．家人中只有小明和哥哥不會開車，且小明未成年只能坐在后排，則一共有_____種不同的乘坐方式．答案：54解析：思路：考慮利用分布乘法計數原理的應用，結合“特殊元素（特殊位置）優先法”解決問題.解答過程：第一步：考慮小明只能坐在后排，所以小明的坐法有：種；第二步：考慮駕駛座的坐法，只能從3人中選1人，有：種；第三步：其他3人，還有3個位置，坐法有：種.根據分步乘法計數原理，一共有：種不同的乘坐方式.故5414.________．答案：256解析：思路：由二項展開式中，奇數項的二項式系數之和等于偶數項二項式系數之和，則，可得答案.解答過程：因為,而二項展開式中，奇數項的二項式系數之和等于偶數項二項式系數之和，所以，故．四、解答題15.已知曲線在點處的切線方程是.（1）求，的值；（2）如果曲線的某一切線與直線：垂直，求切點坐標與切線的方程.答案：（1）；（2）,或.解析：解答過程：試題分析：（1）先求出函數的導數，由導數的幾何意義可得，，解方程可得的值；（2）設切點的坐標為，由兩直線垂直的條件，斜率之積為，可得切線的斜率，解方程可得切點坐標，進而可得切線方程.試題解析：（1）∵的導數，由題意可得，，解得，.（2）∵切線與直線垂直，∴切線的斜率.設切點的坐標為，則，∴.由，可得，或.則切線方程為或.即或.16.（1）計算：；（2）計算：，求；（3）計算：，求.答案：（1）0；（2）；（3）或解析：思路：（1）利用排列數性質計算即可得；（2）利用組合數與排列數性質計算即可得；（3）利用組合數計算即可得.解答過程：（1）；（2）由已知可得，所以，所以，所以，解得或，又n+1≥2n?1≥2，即，故（3）由可得或，解方程，即，解得或，解方程，即，解得或，又因為、均為整數，且0≤x2?所以或符合要求，和均不符合要求.故或；17.若的展開式中第3項與第9項的二項式系數相等，且.（1）求的系數；（2）求的值.答案：（1）180（2）解析：思路：（1）應用已知條件利用二項式系數的性質求出，結合二項式定理求出.（2）由（1）的結論，利用賦值法求出所求式子的值.（1）第3項與第9項的二項式系數相等，則，解得，所以.所以的展開式中項為：，所以.（2）由（1）知，的展開式中，當時，，由二項展開式可得：所以都是正數，都是負數，所以當時，，所以.18.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，求的單調區間；（3）若不等式恒成立，求的最大值.答案：（1）（2）單調遞增區間為，單調遞減區間為（3）解析：思路：（1）利用導數的幾何意義求出切線斜率，再由點斜式方程求解即得；（2）通過導函數的符號判斷函數的單調性即可；（3）依題將問題轉化為不等式恒成立問題，設，利用求導得出該函數的最大值為，解對數不等式即可求得參數的范圍.（1）當時，，則，得.又，故曲線在點處的切線方程為，即.（2）當時，，得，令，得或（舍去），當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，即的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（3）恒成立，即恒成立，即恒成立.令，則，當時，則，函數在上單調遞增，因為，不符合題意；當時，由，得，則函數在上單調遞增，由，得，則函數在上單調遞減，故的最大值為，由和，解得.綜上可得，的最大值為.19.已知函數.（1）求函數的極值；（2）在坐標系中畫出函數的簡圖（要含有必要的說明和體現必要的圖象特征）；（3）討論方程的實數解的個數.答案：（1）極小值為，無極大值（2）作圖見解析（3）答案見解析解析：思路：（1）求導后，根據正負可得單調區間；根據極值點定義可求得極值；（2）分析可知時，，由此可作出函數圖象