2027屆高考數學一輪總復習4.7正弦定理和余弦定理【課件】

第7節正弦定理和余弦定理課標解讀

1.通過對三角形邊長和角度關系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題.2.會用三角形的面積公式解決與面積有關的計算問題.3.能用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形中的綜合問題.強基礎?固本增分1.正弦定理和余弦定理在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,R為△ABC外接圓的半徑,則定理正弦定理余弦定理公式a2=

,

b2=a2+c2-2accosB,c2=

b2+c2-2bccosAa2+b2-2abcosC定理正弦定理余弦定理常見變形a=

,

b=

,

c=

.

sinA=

,

sinB=

,

sinC=

.

a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC

cosA=

,

cosB=

,

cosC=

不要錯以為a=sin

A2RsinA

2RsinB2RsinC

定理正弦定理余弦定理可解決的問題(1)已知兩角和任一邊,求另一角和其他兩條邊;(2)已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊和其他兩角(該三角形具有不唯一性)(1)已知三邊,求各角;(2)已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個角;(3)已知兩邊和其中一邊的對角,求其他角和邊微思考

在△ABC中,∠A>∠B是sin

A>sin

B的什么條件?提示

在△ABC中,∠A>∠B?a>b?sin

A>sin

B,即∠A>∠B是sin

A>sin

B成立的充要條件.2.三角形解的判斷

A的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形

關系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數一解兩解一解一解

[自主診斷]1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)三角形中的三邊之比等于相應的三個內角之比.(

)(2)在三角形中,已知兩角和一邊或已知兩邊和一角都能解三角形.(

)(3)在△ABC的內角A,B,C,邊長a,b,c中,已知任意三個可求其他三個.(

)(4)在△ABC中,a2+b2<c2是△ABC為鈍角三角形的充分不必要條件.(

)×解析

三邊之比等于相應的三個內角的正弦之比.√×解析

已知三個角時,三條邊的長度不確定.√

D

C

B

研考點?精準突破考點一利用正弦、余弦定理解三角形

A

D

AD

規律方法

解三角形的常見題型及解題策略(1)知兩角和一邊:先用A+B+C=π及sin(A+B)=sin

C等求第三角,然后用正弦定理求另外兩條邊.(2)知兩邊及其夾角:先用余弦定理求第三邊,然后用正弦定理(或余弦定理)及三角形內角和定理求另外兩角.(3)知三邊:用余弦定理求角.(4)知兩邊及一邊的對角:求角首選正弦定理,求邊首選余弦定理.

C

ABC

考點二利用正弦、余弦定理判斷三角形形狀

ABD

(2)[一題多變](2025·江西撫州模擬)已知△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,2asinCcosA=csin2B,則△ABC的形狀為(

)A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形D

規律方法

判斷三角形形狀的基本方法

考點三正弦、余弦定理的綜合應用

規律方法

解三角形中求最值、范圍問題的解題策略(1)利用余弦定理,找三角形三邊之間的關系,利用基本不等式將a+b與ab相互轉化,從而求得與周長或面積等有關的最值或范圍.(2)利用正弦定理,將邊化成角的正弦,利用三角恒等變換進行化簡,利用三角函數的性質求最值、范圍.

規律方法

正弦、余弦定理解平面幾何問題的策略(1)計算問題:①從已知邊長的三角形入手,建立邊角關系方程;②注意利用圖形性質,結合整體代換處理周長等問題.(2)證明問題:①通過正弦、余弦定理將條件轉化為邊或角的等(不等)式;②結合三角形隱含條件(如A+B+C=π,邊角不等關系)及三角性質、恒等變換進行推導.

教材衍展射影定理射影定理:在△ABC中,邊a,b,c所對的角分別為A,B,C,則有a=bcos

C+ccos

B,b=ccos

A+acos

C,c=acos

B+bcos

A.該結論可由正弦或余弦定理推導得出.應用射影定理解題時,應觀察題目結構是否符合其整體形式,恰當運用可顯著簡化求解過程.典例(1)已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,則B=

.

2

規律方法

出現acos

B+bcos

A,acos

C+ccos

A,bcos

C+ccos

B這些結構,除