小學數學五年級上冊 小數乘除法 單元教學設計

小學數學五年級上冊小數乘除法單元教學設計

一、單元教學背景與設計理念

本單元隸屬于“數與代數”領域，是學生在掌握了整數四則運算、小數的意義和性質以及初步認識小數加減法的基礎上，對數概念的一次重要擴充，也是后續學習分數、百分數以及相關運算的基石。本設計基于《義務教育數學課程標準（2022年版）》的核心素養導向，以“理解算理、掌握算法、感悟聯系、發展數感”為總目標，打破傳統計算教學中“重結果、輕過程”“重技能、輕思維”的局限，強調在真實情境中激發認知沖突，在深度探究中建構數學模型，在遷移應用中培養運算能力和推理意識。本設計將單元內容進行結構化整合，以“計數單位的累加與細分”為統攝大概念，引領學生感悟整數運算與小數運算的一致性，實現知識的整體建構與思維的自然生長。

二、單元教學內容與學情分析

【基礎】本單元教學內容主要包括小數乘法（小數乘整數、小數乘小數）、積的近似數、小數除法（除數是整數的小數除法、除數是小數的除法）、商的近似數及循環小數。這些內容在邏輯上層層遞進，在算理上一脈相承。

【非常重要】學情分析：五年級學生已經具備一定的整數運算基礎和初步的抽象思維能力，但小數的引入使得運算對象從“個”擴展到“十分之一、百分之一”等更小的計數單位，這為學生認知帶來了新的挑戰。學生常見的學習障礙點包括：積或商的小數點定位不準確（特別是需要補0的情況）；對“商不變規律”在小數除法中的遷移應用理解不透徹；難以理解“除數是小數”時轉化為除數是整數的除法算理；對循環小數的概念感到抽象。因此，教學設計需注重從直觀模型（如面積模型、人民幣模型）過渡到抽象算理，提供充分的探究時空，幫助學生跨越認知障礙。

三、單元教學目標與重難點

（一）教學目標

1.【基礎】理解并掌握小數乘整數、小數乘小數的計算方法，能正確進行筆算，并能根據“四舍五入”法求積的近似數。

2.【重要】理解并掌握除數是整數和除數是小數的除法計算方法，能正確進行筆算，并能根據要求求商的近似數。認識循環小數，能根據需要取循環小數的近似值。

3.【非常重要】經歷探索小數乘、除法計算方法的過程，能運用已有知識（如整數運算、積的變化規律、商不變規律、小數的性質）解釋計算的道理，感悟運算的一致性，發展推理意識和運算能力。

4.【熱點】能運用小數乘、除法解決生活中的簡單實際問題，體會數學與生活的密切聯系，增強應用意識。

（二）教學重難點

1.教學重點：掌握小數乘、除法的計算方法，并能正確熟練地進行計算。

2.教學難點：理解小數乘、除法的算理，特別是積或商的小數點定位的原理；掌握除數是小數的除法轉化為除數是整數的除法的過程和方法。

四、單元教學整體架構與課時安排

本單元教學將內容重組為三個核心板塊，共安排12課時：

板塊一：小數乘法的意義與算理（4課時）

板塊二：小數除法的意義與算理（5課時）

板塊三：運算規律、循環小數與實際應用（3課時）

五、教學實施過程（核心環節詳案）

（一）板塊一：小數乘法的意義與算理

第1課時：小數乘整數——計數單位的累加

【教學過程】

1.創設情境，引入新知：呈現“西瓜每千克3.5元，買3千克需要多少錢？”的生活情境。引導學生列出算式：3.5×3。提問：這個算式和我們以前學的乘法有什么不同？（其中一個因數是小數）揭示課題。

2.自主探究，算法初建：

（1）學生獨立嘗試計算，教師巡視，收集典型資源。預設學生方法：A.加法：3.5+3.5+3.5=10.5；B.轉化法：將3.5元看作35角，35角×3=105角=10.5元；C.利用乘法意義：3.5×3表示3個3.5的和。

（2）組織交流，重點分析“轉化法”。提問：為什么可以把3.5元看作35角？這樣做的理由是什么？（把新知識轉化成舊知識）引導學生感悟轉化的思想。

3.聚焦算理，揭示本質：

（1）結合學生匯報，板書轉化過程：3.5元=35角，35角×3=105角，105角=10.5元。指出：35角就是35個0.1元，3個35個0.1元就是105個0.1元，也就是10.5元。

（2）呈現抽象算式：3.5×3。引導學生思考：3.5里面有幾個0.1？(35個)。35個0.1乘3得到多少個0.1？(105個)。105個0.1是多少？(10.5)。從而引出計算方法：先把小數乘整數轉化為整數乘整數，再看乘數中有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位點上小數點。【非常重要：理解乘數中有幾位小數，積就有幾位小數的表象背后的算理——實際上是計數單位的變化】。

4.鞏固練習，內化算法：完成“做一做”中類似題目，如0.72×5。重點處理積末尾有0的情況，引導學生討論：為什么計算時先不看小數點，算出整數積后，再點上小數點，最后根據小數的性質去掉末尾的0？強調計算的規范性。

5.課堂總結：回顧今天的學習過程，我們是怎樣計算小數乘整數的？最關鍵的一步是什么？（轉化）

第2課時：小數乘小數——面積模型與算理建構

【教學過程】

1.復習引入，激活經驗：快速口算小數乘整數，并說說計算要點。出示問題：給一個長2.4米、寬0.8米的長方形宣傳欄刷油漆，每平方米需要油漆0.9千克，一共需要多少千克油漆？引出第一個子問題：宣傳欄的面積有多大？列式：2.4×0.8。

2.合作探究，建構模型：

（1）【重要】引導學生思考：這個算式和上節課學的有什么不同？（兩個因數都是小數）。還能用轉化的方法嗎？學生小組合作，嘗試用不同方法計算2.4×0.8。

（2）預設學生方法：A.轉化為分米：2.4米=24分米，0.8米=8分米，24×8=192平方分米=1.92平方米；B.利用積的變化規律：把2.4乘10變成24，0.8乘10變成8，積24×8=192，擴大了100倍，要得到原積，需將192除以100，得1.92。

（3）重點剖析“積的變化規律”法。結合面積模型進行演示：將長2.4米和寬0.8米分別擴大到原來的10倍，得到長24米、寬8米的大長方形，面積擴大到原來的100倍。原長方形面積等于大長方形面積除以100。這直觀地解釋了為什么積要縮小到原來的1/100。

3.總結算法，抽象法則：

（1）引導學生觀察：兩個因數一共有幾位小數？積有幾位小數？初步建立“因數中一共有幾位小數，積就有幾位小數”的認知。

（2）嘗試計算：1.92×0.9。學生獨立完成后，討論：積的小數位數不夠怎么辦？（需要在前面用0補足，再點小數點）。如1.92×0.9，因數共有三位小數，積1728應“向左數出三位”，位數不夠，就在1728前面補一個0，點上小數點，整數部分再補一個0，得到1.728。

（3）【非常重要】完整歸納小數乘法的計算法則：先按照整數乘法算出積，再看因數中一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點；如果積的小數位數不夠，要在前面用0補足；如果積的小數部分末尾有0，要把0去掉。

4.分層練習，提升思維：設計對比練習，如2.8×1.2與2.8×0.9，引導學生發現規律：一個數（0除外）乘大于1的數，積比原數大；乘小于1的數，積比原數小。

5.拓展應用：解決“一共需要多少千克油漆？”的問題（1.92×0.9），完整經歷“問題-計算-結論”的過程。

第3課時：積的近似數——四舍五入法的應用

【教學過程】

1.情境引入：出示“人的嗅覺細胞約有0.049億個，狗的嗅覺細胞個數是人的45倍，狗約有多少億個嗅覺細胞？（得數保留一位小數）”。引導學生列式：0.049×45。

2.嘗試計算，引發思考：學生獨立計算，得出積為2.205。教師提問：題目要求“得數保留一位小數”，我們應該怎么做？激活學生對“求近似數”的已有經驗。

3.【高頻考點】方法指導：引導學生回顧求小數近似數的方法——“四舍五入”法。提問：保留一位小數，要看哪一位？（百分位）。2.205的百分位是0，小于5，所以舍去后面的數，得到2.2。強調橫式上要用“≈”連接。

4.鞏固深化：變換要求，如“保留兩位小數”，讓學生獨立完成，并說出看哪一位，如何取舍。討論：0.049×45=2.205，如果保留兩位小數，結果是2.21嗎？引導學生明確：要看千分位，千分位是5，向前一位進一，得到2.21。

5.【重要】總結要點：求積的近似數，先算出準確的積，再根據要求用“四舍五入”法保留相應的小數位數。注意橫式和豎式的書寫格式，以及“≈”的正確使用。解決生活中的實際問題時，要根據實際情況（如金額、人數等）確定保留幾位小數。

第4課時：小數乘法整理與練習（一）

【教學過程】

1.知識梳理：引導學生以小組合作的形式，梳理本板塊的知識點，包括小數乘整數、小數乘小數的算理、算法、積的小數點定位方法、積與因數的大小關系、積的近似數等。

2.錯例辨析：教師呈現典型錯題，如積的小數點位置點錯、補0遺漏、末尾0未化簡等，讓學生“找茬”并分析錯誤原因，強化正確算法。

3.專項訓練：針對【難點】“積的小數位數不夠補0”和【基礎】“小數乘法豎式計算”進行強化練習。

4.綜合應用：解決稍復雜的實際問題，如“分段計費”（出租車問題）、“面積問題”等，提升學生綜合運用知識的能力。

（二）板塊二：小數除法的意義與算理

第5課時：除數是整數的小數除法——整數除法意義的延伸

【教學過程】

1.情境導入：呈現“王鵬堅持晨練，他計劃4周跑步22.4千米，平均每周應跑多少千米？”列式：22.4÷4。

2.自主探索，初悟算理：

（1）學生嘗試計算，教師巡視。預設方法：A.單位換算：22.4千米=22400米，22400÷4=5600米=5.6千米；B.分解法：22.4=22+0.4，22÷4=5.5（？此處需引導學生準確分解，22÷4=5余2，2與0.4合成2.4，2.4÷4=0.6，合起來5.6）；C.直接列豎式。

（2）重點分析豎式。引導學生思考：商的小數點為什么要和被除數的小數點對齊？結合“分解法”理解：22個一除以4，商5個一，余2個一；把2個一化成20個十分之一，與4個十分之一合起來是24個十分之一，24個十分之一除以4，商6個十分之一。所以商5應該在個位，商6應該在十分位，小數點就要點在個位和十分位之間，即和被除數的小數點對齊。

3.【非常重要】建構算法：

（1）板書規范豎式，講解每一步的含義：除到被除數的哪一位，商就寫在那一位的上面；商的小數點要和被除數的小數點對齊；如果除到被除數的末尾有余數，就在余數后面添0繼續除。

（2）嘗試練習：9.6÷4，18.2÷14。重點關注商的中間有0的情況，如18.2÷14，個位商1余4，十分位是2，合起來42個十分之一除以14，商3個十分之一，十分位寫3，點上小數點，整數部分個位是1，沒問題。再如，整數部分不夠除的情況，如1.8÷12，引導學生理解：個位1比12小，不夠商1，個位商0占位，點上小數點，再繼續除。

4.鞏固深化：完成一組練習，涵蓋整數部分夠除、整數部分不夠除、除后有余數需補0等情況。

5.課堂小結：除數是整數的小數除法，可以按照整數除法的法則去除，唯一的不同是商的小數點要和被除數的小數點對齊。

第6課時：一個數除以小數——商不變規律的靈活運用

【教學過程】

1.認知沖突，揭示課題：出示“奶奶編中國結，編一個要用0.85米絲繩，現有7.65米絲繩，可以編幾個？”列式：7.65÷0.85。提問：除數是小數，我們還沒學過，怎么辦？引導學生運用轉化的思想。

2.【非常重要】合作探究，理解算理：

（1）小組討論：如何把除數是小數的除法轉化成除數是整數的除法？依據是什么？（商不變的規律：被除數和除數同時乘一個相同的數，商不變）。

（2）學生嘗試轉化并計算。預設：可以把0.85和7.65都乘100，轉化成765÷85=9。教師結合豎式講解轉化的過程：在豎式中，先去掉除數的小數點，使它變成整數。除數0.85變成85，小數點向右移動了兩位，相當于乘100。根據商不變的規律，被除數7.65的小數點也要向右移動兩位，變成765。

（3）重點辨析：如果被除數的小數位數不夠怎么辦？例如，12.6÷0.28。引導學生發現：除數0.28要變成整數，小數點需向右移動兩位，被除數12.6只有一位小數，位數不夠，需在末尾用0補足，即變成1260÷28。在豎式中體現為在被除數的末尾補0。

3.總結算法，歸納步驟：

（1）引導學生梳理計算一個數除以小數的步驟：一看（看清除數有幾位小數），二移（移動除數的小數點，使它變成整數；除數的小數點向右移動幾位，被除數的小數點也向右移動幾位，位數不夠的用0補足），三算（按照除數是整數的小數除法進行計算）。

（2）強調：移動小數點時，是以除數為標準，被除數跟著除數動。轉化的目的是將新知識轉化為舊知識。

4.【難點突破】分層練習：

（1）基礎練習：完成豎式，重點檢查小數點移動是否正確，特別是被除數位數不夠補0的情況。

（2）辨析練習：判斷對錯，如2.6÷0.2，被除數小數點移動后是26，對嗎？糾正：除數0.2變成2，移動了一位，被除數2.6應變成26，正確。

5.實際應用：用所學知識解決生活中的購物、分配等問題。

第7課時：商的近似數——實際需要與“四舍五入”

【教學過程】

1.情境導入：出示“爸爸給王鵬新買了1筒羽毛球，這筒羽毛球19.4元，1筒是12個，每個大約多少錢？”學生列式：19.4÷12。

2.嘗試計算，發現問題：學生計算，發現除不盡，商是一個無限小數。教師提問：在現實生活中，我們通常用“元”作單位，可以精確到“分”，也就是保留幾位小數？（兩位小數）。那我們只需要除到哪一位就可以了？（除到小數部分第三位）。

3.【高頻考點】方法探究：

（1）學生繼續計算，除到第三位。討論：19.4÷12≈1.62（元），為什么？明確：要求保留兩位小數，就要看小數部分第三位（千分位），千分位是6，大于5，向前一位進一，得到1.62。

（2）強調：求商的近似數，不需要像求積的近似數那樣先算出精確值，只需要除到需要保留的位數多一位，然后“四舍五入”。

4.對比辨析：對比“積的近似數”和“商的近似數”在求法上的異同。相同點：都是根據“四舍五入”法取近似值。不同點：積的近似數是先求精確積，再取近似；商的近似數是邊除邊取近似，除到比要求多一位即可。

5.鞏固練習：變換要求，如保留一位小數、保留整數，讓學生練習。討論：在解決實際問題時，如“每個瓶子最多可裝0.4千克油，裝2.5千克油需要幾個瓶子？”用“四舍五入”法得到6.25≈6個，但6個瓶子裝不下，需要7個。這里就要用到“進一法”。同樣，像“用絲帶包裝禮盒”，有時要用到“去尾法”。【熱點：根據實際情境選擇合理的取近似值的方法】。

第8課時：循環小數——認識無限與有限

【教學過程】

1.計算引入，激發疑問：計算兩道題：1÷3，58.6÷11。學生計算，發現除不完，余數重復出現，商也重復出現。

2.【難點】概念建構：

（1）引導學生觀察1÷3的豎式，發現每次余數都是1，商總是3，永遠除不盡。像這樣，一個數的小數部分，從某一位起，一個數字或幾個數字依次不斷重復出現，這樣的小數叫做循環小數。重復出現的數字叫做循環節。

（2）介紹循環小數的簡便記法：如1÷3=0.333…，記作0.3（在3的頭上點一個點）；58.6÷11=5.32727…，循環節是“27”，記作5.327（在2和7的頭上各點一個點）。

3.概念辨析：

（1）區分有限小數和無限小數。指出小數部分位數有限的是有限小數，如0.9375；位數無限的是無限小數，循環小數是無限小數的一種。

（2）讓學生判斷，哪些除法算式的結果會得到有限小數，哪些會得到循環小數？引導學生初步感知，這與除數和被除數的質因數有關，但不做深入要求。

4.【基礎】取循環小數的近似值：如保留兩位小數，0.333…≈0.33；5.32727…≈5.33。強調要看需要保留位數的后一位來決定“四舍”還是“五入”。

5.趣味拓展：介紹循環小數的故事，激發學習興趣。

第9課時：小數除法整理與練習（二）

【教學過程】

1.系統梳理：引導學生用思維導圖或知識樹的形式，梳理小數除法的知識體系：除數是整數的除法、除數是小數的除法、商的近似數、循環小數。

2.核心算法強化：重點復習“一個數除以小數”的轉化過程，特別是小數點移動的方法和被除數補0的規則。【非常重要】

3.易錯點辨析：教師收集典型錯例，如商中間漏點小數點、商末尾的0處理不當、被除數與除數小數點移動位數不一致、循環小數表示不規范等，組織學生進行辨析和糾錯。

4.對比練習：設計一組對比題，如：12.6÷0.3，12.6÷3，1.26÷0.3，126÷0.03，讓學生在計算中感悟被除數、除數變化與商的關系，深化對商不變規律的理解。

5.實踐應用：解決“歸一”“歸總”問題，如“3臺拖拉機4小時耕地6.9公頃，每臺每小時耕地多少公頃？”

（三）板塊三：運算規律、循環小數與實際應用

第10課時：小數四則混合運算——運算順序與簡便計算

【教學過程】

1.復習鋪墊：回顧整數四則混合運算的順序（先乘除后加減，有括號先算括號里面的）。

2.新知遷移：出示小數混合運算題，如4.8÷2.5×4，12.6-1.8×0.5，(3.2+4.06)÷6.05。讓學生試算，并說出運算順序。引導學生發現：小數四則混合運算的順序和整數完全相同。

3.【熱點】簡便計算：

（1）出示0.25×4.78×4，7.6×2.3+2.4×2.3，引導學生觀察數據特點，回想整數乘法運算定律（乘法交換律、結合律、分配律）對于小數乘法是否同樣適用。

（2）學生嘗試運用運算定律進行簡便計算，并闡述理由。教師總結：整數乘法的運算定律對于小數乘法同樣適用，可以使一些計算更簡便。

（3）拓展：除法有沒有類似的性質？如a÷b÷c=a÷(b×c)（b、c不為0），在小數除法中也適用，如8.4÷0.25÷4=8.4÷(0.25×4)=8.4÷1=8.4。但要注意，分配律在除法中不能隨意套用。

4.綜合練習：設計一些需要根據數據特點選擇簡便方法或按順序計算的題目，培養學生運算的靈活性和合理性。

第11課時：單元復習與拓展——構建知識網絡

【教學過程】

1.構建網絡：引導學生以“計數單位”為核心概念，串聯起小數乘法和除法的內在聯系。乘法是計數單位的累加（如0.2×3，表示3個0.2），除法是計數單位的細分（如0.8÷4，表示將0.8平均分成4份，每份是0.2）。感悟整數運算和小數運算在本質上是一致的，都是基于計數單位的操作。

2.【非常重要】核心概念再探：通過一組題組，如12×3，1.2×3，1.2×0.3，12÷3，1.2÷3，1.2÷0.3，讓學生從計數單位的角度解釋計算過程，深化對算理的理解，實現知識的融會貫通。

3.思維拓展：解決一些具有挑戰性的實際問題，如“移動小數點問題”（一個小數，小數點向左移動一位后，比原數少0.72，原數是多少？），這類問題綜合考查學生對小數意義和乘除法關系的理解。

4.錯題反思：讓學生拿出自己平時作業中的錯題，分析錯誤類型（是算理不清，還是算法不熟，或是習慣不好），并針對性地進行二次練習。

第12課時：單元綜合測評與講評

【教學過程】

1.測評：編制一份涵蓋本單元所有知