15.1.1 軸對(duì)稱及其性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)梳理講義（暑假預(yù)習(xí)）-2026-2027學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

15.1.1軸對(duì)稱及其性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)梳理講義（暑假預(yù)習(xí)）2026-2027學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

暑期自主預(yù)習(xí)專用·適用對(duì)象：八年級(jí)學(xué)生·預(yù)計(jì)學(xué)習(xí)時(shí)間：60分鐘一、本節(jié)預(yù)習(xí)導(dǎo)航【與已學(xué)知識(shí)的聯(lián)系】第十四章你學(xué)會(huì)了用“全等”比較兩個(gè)圖形。第十五章從“軸對(duì)稱”切入：如果一個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠完全重合，我們就說(shuō)它和另一個(gè)圖形（或它自己）成軸對(duì)稱。軸對(duì)稱其實(shí)是一種特殊的全等——折疊重合就是“能夠完全重合”。區(qū)別在于，全等是兩個(gè)圖形任意位置的相等，軸對(duì)稱則強(qiáng)調(diào)“沿一條直線翻折后重合”。本節(jié)是軸對(duì)稱這一章的入門，掌握概念與性質(zhì)后，后面才能學(xué)習(xí)線段垂直平分線和畫軸對(duì)稱圖形。【本節(jié)核心內(nèi)容】①軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的定義、對(duì)稱軸、對(duì)稱點(diǎn)；②軸對(duì)稱的基本性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等；③常見(jiàn)的軸對(duì)稱圖形及其對(duì)稱軸條數(shù)（線段、角、等腰三角形、等邊三角形、矩形、菱形、正方形、圓等）；④兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱與一個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系；⑤用軸對(duì)稱性質(zhì)補(bǔ)全圖形、求線段長(zhǎng)度、證明線段相等。【所需圖形類型】展示軸對(duì)稱與對(duì)稱的示意圖1幅（左右兩側(cè)沿軸重合）；研究軸對(duì)稱的五步法流程圖1幅；本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)樹(shù)1幅；常見(jiàn)軸對(duì)稱圖形（等腰三角形）示例圖1幅。【術(shù)語(yǔ)銜接提示】“對(duì)稱軸”是一條直線，不是線段也不是射線，它常常畫成虛線向外延長(zhǎng)。“對(duì)稱點(diǎn)”總是成對(duì)出現(xiàn)，且每一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)都在對(duì)稱軸的兩側(cè)、到對(duì)稱軸的距離相等。書(shū)寫時(shí)常用A與A'（A撇）表示一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，撇號(hào)別漏寫。【數(shù)學(xué)思想滲透】對(duì)稱思想（用折疊看相等）、轉(zhuǎn)化思想（把“相等、垂直”關(guān)系從對(duì)稱性質(zhì)中直接讀取，免去證全等）、模型思想（記住常見(jiàn)圖形的對(duì)稱軸條數(shù)）、數(shù)形結(jié)合（在圖上標(biāo)對(duì)稱點(diǎn)再列式）。二、各小節(jié)知識(shí)清單（一）軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的概念??第一步：預(yù)習(xí)目標(biāo)?準(zhǔn)確說(shuō)出軸對(duì)稱、對(duì)稱軸、對(duì)稱點(diǎn)的定義。?區(qū)分“兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱”與“一個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形”。?會(huì)在圖中標(biāo)出對(duì)稱軸與對(duì)稱點(diǎn)。?理解軸對(duì)稱是一種特殊的全等。??第二步：知識(shí)清單??知識(shí)點(diǎn)1：兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱。把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（對(duì)稱軸）對(duì)稱，這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)。例如左手和右手（鏡像）關(guān)于身體中軸線對(duì)稱。??知識(shí)點(diǎn)2：軸對(duì)稱圖形。如果一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸。線段、角、等腰三角形、圓都是軸對(duì)稱圖形；而平行四邊形（一般）不是。??知識(shí)點(diǎn)3：兩者的區(qū)別與聯(lián)系。區(qū)別：成軸對(duì)稱說(shuō)的是“兩個(gè)圖形”的關(guān)系；軸對(duì)稱圖形說(shuō)的是“一個(gè)圖形”自身的屬性。聯(lián)系：如果把軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸兩側(cè)的部分看成兩個(gè)圖形，它們就成軸對(duì)稱；反過(guò)來(lái)，把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，這個(gè)整體往往也是軸對(duì)稱圖形。兩者本質(zhì)相同，只是觀察角度不同。??知識(shí)點(diǎn)4：軸對(duì)稱必全等。既然折疊后能完全重合，成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形必然全等（形狀、大小完全相同）。但全等的兩個(gè)圖形不一定成軸對(duì)稱——它們可能只是平移或旋轉(zhuǎn)關(guān)系。所以“軸對(duì)稱?全等”成立，反之不成立。這是本節(jié)與第十四章的接口。??知識(shí)點(diǎn)5：對(duì)稱軸的畫法。對(duì)稱軸是直線，繪制時(shí)通常畫成點(diǎn)畫線或虛線，并向兩端延長(zhǎng)，表示無(wú)限延伸。數(shù)一個(gè)圖形有幾條對(duì)稱軸，就是數(shù)有幾條這樣的直線能使圖形對(duì)折重合。??方法點(diǎn)撥判斷軸對(duì)稱三問(wèn)：①有沒(méi)有一條直線？②沿它折疊行不行？③兩側(cè)能不能完全重合？三問(wèn)都“是”，才是軸對(duì)稱。記住對(duì)稱軸永遠(yuǎn)是直線，別畫成線段。圖1左右兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱：沿中間虛線（對(duì)稱軸）對(duì)折，兩側(cè)圖形完全重合，成對(duì)的點(diǎn)A與A'是對(duì)稱點(diǎn)。圖2本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)：概念→性質(zhì)→常見(jiàn)圖形，最終都指向“軸對(duì)稱必全等”。?第三步：特別提醒?對(duì)稱軸是一條直線，不是線段或射線，繪制要兩端延長(zhǎng)。?成軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形說(shuō)法不同，前者針對(duì)兩個(gè)圖形，后者針對(duì)一個(gè)圖形。?軸對(duì)稱一定全等，但全等不一定軸對(duì)稱（可能只是平移/旋轉(zhuǎn)）。??第四步：易錯(cuò)點(diǎn)剖析?錯(cuò)例：認(rèn)為一個(gè)平行四邊形是軸對(duì)稱圖形。錯(cuò)因：一般平行四邊形沿任意直線折疊，兩側(cè)都不能完全重合，不是軸對(duì)稱圖形。?規(guī)避：常見(jiàn)的軸對(duì)稱多邊形是線段、角、等腰/等邊三角、矩形、菱形、正方形、圓。?錯(cuò)例：把“全等”等同于“軸對(duì)稱”。錯(cuò)因：全等只要求形狀大小相同，不要求沿某直線對(duì)折重合（如平移后的圖形）。?規(guī)避：軸對(duì)稱是全等的一種特殊情形，方向上有“鏡像”關(guān)系。??第五步：典型例題【例題1】（基礎(chǔ)·★☆☆）判斷：①圓是軸對(duì)稱圖形（）；②任意平行四邊形是軸對(duì)稱圖形（）；③成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等（）。【解】①圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，是軸對(duì)稱圖形，對(duì)；②一般平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，錯(cuò)；③軸對(duì)稱能折疊重合，必全等，對(duì)。【答案】①對(duì)；②錯(cuò)；③對(duì)。旁批：圓無(wú)限對(duì)稱，平行四邊形不對(duì)稱。【例題2】（中檔·★★☆）兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，其中一個(gè)圖形向右平移5厘米后還與另一個(gè)成軸對(duì)稱嗎？說(shuō)明理由。【解】平移后兩圖形仍全等，但相對(duì)位置改變，原來(lái)的那條對(duì)稱軸不再使它們折疊重合；除非另有一條合適的對(duì)稱軸，否則一般不再關(guān)于原軸成軸對(duì)稱。軸對(duì)稱強(qiáng)調(diào)的是“鏡像翻折重合”，平移破壞這種對(duì)應(yīng)關(guān)系。【答案】一般不再成軸對(duì)稱（除非存在新的對(duì)稱軸）。旁批：平移≠翻折。??第六步：隨堂小測(cè)1.把一個(gè)圖形沿某直線折疊能與另一圖形重合，稱這兩個(gè)圖形______。2.如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，兩側(cè)能重合，這個(gè)圖形叫______圖形。3.對(duì)稱軸是一條______（直線/線段/射線）。4.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定______（填“全等”或“不全等”）。5.軸對(duì)稱圖形與成軸對(duì)稱的區(qū)別：前者針對(duì)______個(gè)圖形，后者針對(duì)______個(gè)圖形。（二）軸對(duì)稱的基本性質(zhì)??第一步：預(yù)習(xí)目標(biāo)?熟記軸對(duì)稱的三條基本性質(zhì)。?會(huì)用幾何語(yǔ)言表述“對(duì)稱點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分”。?能用性質(zhì)直接得到線段相等、角相等，避免重復(fù)證全等。?理解“垂直平分”這一關(guān)鍵關(guān)系的來(lái)源。??第二步：知識(shí)清單??知識(shí)點(diǎn)6：性質(zhì)一：對(duì)稱點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分。這是軸對(duì)稱最核心的性質(zhì)。若A與A'關(guān)于對(duì)稱軸l對(duì)稱，則線段AA'被l垂直平分，即l⊥AA'且l經(jīng)過(guò)AA'的中點(diǎn)。幾何語(yǔ)言：∵A、A'關(guān)于l對(duì)稱，∴l(xiāng)垂直平分AA'。這條性質(zhì)是后續(xù)學(xué)習(xí)“線段垂直平分線”的直接來(lái)源。??知識(shí)點(diǎn)7：性質(zhì)二：對(duì)應(yīng)線段相等。成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，互相重合的線段（對(duì)應(yīng)線段）相等。例如折后重合的兩條邊長(zhǎng)度相等。這其實(shí)是“全等?對(duì)應(yīng)邊相等”的特例，但用軸對(duì)稱性質(zhì)可以直接讀出，不必再證一次全等。??知識(shí)點(diǎn)8：性質(zhì)三：對(duì)應(yīng)角相等。互相重合的角（對(duì)應(yīng)角）相等。同樣的，這是全等對(duì)應(yīng)角相等的特例，因軸對(duì)稱而得。遇到折疊類題目，直接由對(duì)稱得角相等、線段相等，能省去大量推理。??知識(shí)點(diǎn)9：為什么垂直平分成立。設(shè)A與A'關(guān)于l對(duì)稱，折疊使A落到A'。取AA'與l的交點(diǎn)O：折疊后A與A'重合，所以AO=A'O；又l上的點(diǎn)都在折疊中保持不動(dòng)，l上任意點(diǎn)到A與A'距離相等，由“到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上”可知l垂直平分AA'。這條推理把對(duì)稱、垂直平分、距離相等三者連成一條線。??知識(shí)點(diǎn)10：性質(zhì)的應(yīng)用價(jià)值。在折疊（翻折）問(wèn)題中，線段被折到另一側(cè)后長(zhǎng)度不變、角度不變，且折痕就是對(duì)稱軸、被折線段被折痕垂直平分。抓住“折痕=對(duì)稱軸”這一點(diǎn)，很多求長(zhǎng)度、求角度的題可以秒解。??方法點(diǎn)撥用軸對(duì)稱性質(zhì)時(shí)，先找折痕（即對(duì)稱軸），再找對(duì)稱點(diǎn)，然后直接讀三條性質(zhì)：連線垂直平分、線段相等、角相等。能直接用的就別繞路去證全等——性質(zhì)本身就是全等的快捷方式。圖3研究軸對(duì)稱的五步法：識(shí)別對(duì)稱軸→定對(duì)稱點(diǎn)→驗(yàn)垂直平分→寫性質(zhì)→解題應(yīng)用。?第三步：特別提醒?性質(zhì)一強(qiáng)調(diào)“垂直平分”，既要垂直也要過(guò)中點(diǎn)，二者缺一不可。?對(duì)應(yīng)線段/角是“折疊后重合”的那一對(duì)，不是任意一對(duì)。?用性質(zhì)得相等前，先確認(rèn)兩圖形確實(shí)成軸對(duì)稱（或折疊重合）。??第四步：易錯(cuò)點(diǎn)剖析?錯(cuò)例：認(rèn)為對(duì)稱點(diǎn)連線只被對(duì)稱軸平分但不一定垂直。錯(cuò)因：軸對(duì)稱要求折疊重合，連線必被對(duì)稱軸垂直平分，垂直不可省。?規(guī)避：寫性質(zhì)時(shí)固定搭配：“垂直且平分”。?錯(cuò)例：在沒(méi)確認(rèn)成軸對(duì)稱的情況下直接挪用“對(duì)應(yīng)線段相等”。錯(cuò)因：性質(zhì)以軸對(duì)稱為前提，普通兩個(gè)圖形未必滿足。?規(guī)避：先判斷對(duì)稱關(guān)系，再使用性質(zhì)。??第五步：典型例題【例題3】（中檔·★★☆）如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線l軸對(duì)稱，AA'交l于O。若AO=4，求AA'的長(zhǎng)，并說(shuō)明l與AA'的位置關(guān)系。【解】由軸對(duì)稱性質(zhì)，l垂直平分AA'，O為中點(diǎn)，故AA'=2×AO=8，且l⊥AA'。【答案】AA'=8，l⊥AA'。旁批：對(duì)稱點(diǎn)連線被軸垂直平分。【例題4】（提升·★★★）長(zhǎng)方形紙片沿一條折痕折疊，使頂點(diǎn)A落到A'。若折痕為l，且原圖形中AB=6，求折疊后A'B'的長(zhǎng)及l(fā)與AA'的關(guān)系。【解】折疊屬于軸對(duì)稱，A與A'關(guān)于l對(duì)稱，故l垂直平分AA'；又B與B'也關(guān)于l對(duì)稱（若B在折痕另一側(cè)）。因折疊不改變長(zhǎng)度，A'B'=AB=6。【答案】A'B'=6，l垂直平分AA'。旁批：折疊即軸對(duì)稱，長(zhǎng)度守恒。??第六步：隨堂小測(cè)1.軸對(duì)稱中，對(duì)稱點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸______。2.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)線段______，對(duì)應(yīng)角______。3.若A、A'關(guān)于l對(duì)稱且AA'中點(diǎn)為O，則l______AA'（填“垂直平分”或“平行”）。4.折疊問(wèn)題中，折痕就是______。5.軸對(duì)稱性質(zhì)本質(zhì)上是______（填“全等”或“相似”）結(jié)論的快捷方式。（三）常見(jiàn)的軸對(duì)稱圖形及其對(duì)稱軸條數(shù)??第一步：預(yù)習(xí)目標(biāo)?記住線段、角、等腰三角形、等邊三角形的對(duì)稱軸條數(shù)。?知道矩形、菱形、正方形、圓的對(duì)稱軸情況。?能快速判斷一個(gè)圖形是否軸對(duì)稱及對(duì)稱軸條數(shù)。?理解正n邊形有n條對(duì)稱軸。??第二步：知識(shí)清單??知識(shí)點(diǎn)11：線段。線段是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸：一條是它的垂直平分線，另一條是它所在的直線（沿自身所在直線對(duì)折，兩端互換重合）。??知識(shí)點(diǎn)12：角。角是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是它的平分線所在的直線（一條）。注意是“平分線所在的直線”，不是射線本身。??知識(shí)點(diǎn)13：等腰三角形與等邊三角形。等腰三角形有1條對(duì)稱軸：底邊上的高（或中線、頂角平分線）所在直線。等邊三角形有3條對(duì)稱軸：三條高所在直線。等邊三角形是軸對(duì)稱圖形中對(duì)稱性最強(qiáng)的基本三角形。??知識(shí)點(diǎn)14：四邊形與圓。矩形有2條對(duì)稱軸（兩組對(duì)邊中點(diǎn)的連線）；菱形有2條（兩條對(duì)角線所在直線）；正方形有4條（兩條中線+兩條對(duì)角線）；一般平行四邊形0條；圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸（任意過(guò)圓心的直線）。正n邊形有n條對(duì)稱軸。??知識(shí)點(diǎn)15：快速判斷技巧。看圖形有沒(méi)有“鏡像重復(fù)”的結(jié)構(gòu)：若有明顯的一條直線能把圖形分成能互相反射的兩半，就是軸對(duì)稱。數(shù)對(duì)稱軸時(shí)，先找水平、豎直的，再找對(duì)角方向的，最后想旋轉(zhuǎn)對(duì)稱（正n邊形）。??方法點(diǎn)撥記對(duì)稱軸條數(shù)口訣：線段2、角1、等腰1、等邊3；矩形2、菱形2、正方4、圓無(wú)數(shù)；正n邊有n條。考試常考“有幾條對(duì)稱軸”，背熟這幾組就不會(huì)錯(cuò)。圖4等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，底邊上的高（中線、頂角平分線）所在直線是它的唯一對(duì)稱軸。?第三步：特別提醒?角的對(duì)稱軸是“平分線所在的直線”，不是角平分線這條射線。?圓的對(duì)稱軸有無(wú)數(shù)條，不要只想到水平豎直兩條。?一般平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形（它是中心對(duì)稱，不是軸對(duì)稱）。??第四步：易錯(cuò)點(diǎn)剖析?錯(cuò)例：把角的對(duì)稱軸說(shuō)成“角平分線”（射線）。錯(cuò)因：對(duì)稱軸是直線，應(yīng)為“角平分線所在的直線”。?規(guī)避：凡是對(duì)稱軸都說(shuō)“所在的直線”。?錯(cuò)例：認(rèn)為平行四邊形都是軸對(duì)稱圖形。錯(cuò)因：一般平行四邊形只是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱；只有矩形、菱形、正方形等特殊情形才是。?規(guī)避：區(qū)分中心對(duì)稱與軸對(duì)稱，不要混為一談。??第五步：典型例題【例題5】（基礎(chǔ)·★☆☆）填空：線段有______條對(duì)稱軸；等邊三角形有______條；圓有______條。【解】線段2條（垂直平分線+自身所在直線）；等邊三角形3條；圓有無(wú)數(shù)條（過(guò)圓心的任意直線）。【答案】2；3；無(wú)數(shù)。旁批：正n邊有n條，圓n為無(wú)窮。【例題6】（中檔·★★☆）正方形有幾條對(duì)稱軸？請(qǐng)一一列舉。【解】4條：兩條對(duì)邊中點(diǎn)連線（水平、豎直各一），以及兩條對(duì)角線所在直線。共4條。【答案】4條，見(jiàn)解析。旁批：方方正正四軸全。??第六步：隨堂小測(cè)1.線段有______條對(duì)稱軸。2.角的對(duì)稱軸是______所在的直線。3.等腰三角形有______條對(duì)稱軸。4.等邊三角形有______條對(duì)稱軸。5.一般平行四邊形______（填“是”或“不是”）軸對(duì)稱圖形。（四）軸對(duì)稱的綜合應(yīng)用與易混淆點(diǎn)??第一步：預(yù)習(xí)目標(biāo)?會(huì)用軸對(duì)稱性質(zhì)補(bǔ)全圖形、求線段長(zhǎng)。?能區(qū)分“軸對(duì)稱”與“平移、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱”。?會(huì)在折疊問(wèn)題中套用性質(zhì)快速解題。?能綜合運(yùn)用性質(zhì)與全等解決較復(fù)雜題。??第二步：知識(shí)清單??知識(shí)點(diǎn)16：折疊補(bǔ)全圖形。已知圖形的一部分和對(duì)稱軸，要畫出另一部分：先找出已知關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接。因?yàn)檎郫B重合，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分，只要把每個(gè)已知點(diǎn)“翻”到對(duì)側(cè)，圖形就補(bǔ)全了。這正是下一節(jié)“畫軸對(duì)稱圖形”的雛形。??知識(shí)點(diǎn)17：利用性質(zhì)求長(zhǎng)度。折疊后某線段被折到另一側(cè)，長(zhǎng)度不變；折痕垂直平分被折線段。若要求某段長(zhǎng)，常設(shè)未知數(shù)x，利用“垂直平分+勾股定理”或“全等”列方程。軸對(duì)稱性質(zhì)在這里相當(dāng)于免證的全等。??知識(shí)點(diǎn)18：與平移、旋轉(zhuǎn)的區(qū)別。平移：圖形平行移動(dòng)，無(wú)對(duì)稱軸，方向不變；旋轉(zhuǎn)：繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，無(wú)對(duì)稱軸（除非轉(zhuǎn)180°成中心對(duì)稱）；軸對(duì)稱：沿直線翻折，有對(duì)稱軸，方向鏡像反轉(zhuǎn)。三者都是全等變換，但對(duì)稱關(guān)系最特殊，會(huì)帶來(lái)“垂直平分”這一額外結(jié)構(gòu)。??知識(shí)點(diǎn)19：與中心對(duì)稱的對(duì)照。中心對(duì)稱是繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后重合，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱中心平分（但一般不垂直）。軸對(duì)稱是沿直線翻折重合，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分。一個(gè)“點(diǎn)”、一個(gè)“線”，一個(gè)“平分”、一個(gè)“垂直平分”，對(duì)比記憶不易混。??知識(shí)點(diǎn)20：綜合題套路。折疊類綜合題標(biāo)準(zhǔn)流程：①標(biāo)折痕=對(duì)稱軸；②找對(duì)稱點(diǎn)，寫“連線被垂直平分、對(duì)應(yīng)線段相等”；③設(shè)未知數(shù)，用勾股定理或全等列方程；④解出。掌握了這套流程，折疊題就不再是噩夢(mèng)。??方法點(diǎn)撥折疊題三步：一標(biāo)折痕當(dāng)對(duì)稱軸，二寫對(duì)稱性質(zhì)（垂直平分+相等），三設(shè)x列方程。把軸對(duì)稱性質(zhì)和勾股定理結(jié)合，絕大多數(shù)折疊求長(zhǎng)度題都能拿下。?第三步：特別提醒?折疊題中折痕=對(duì)稱軸，但很多同學(xué)忽略“垂直平分”只用了“相等”。?軸對(duì)稱（線翻折）與中心對(duì)稱（點(diǎn)轉(zhuǎn)180°）不要混淆：一個(gè)垂直平分，一個(gè)只平分。?補(bǔ)全圖形時(shí)對(duì)稱點(diǎn)要逐個(gè)找，漏點(diǎn)會(huì)導(dǎo)致圖形殘缺。??第四步：易錯(cuò)點(diǎn)剖析?錯(cuò)例：折疊題中只用了“線段相等”卻忘了“垂直平分”，導(dǎo)致無(wú)法用勾股定理。錯(cuò)因：軸對(duì)稱給了雙重信息：既相等又垂直平分，只用一半會(huì)卡住。?規(guī)避：寫性質(zhì)時(shí)把“垂直平分”和“相等”一起寫上。?錯(cuò)例：把軸對(duì)稱和中心對(duì)稱說(shuō)反。錯(cuò)因：軸對(duì)稱對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分；中心對(duì)稱對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱中心平分（一般不垂直）。?規(guī)避：對(duì)比記憶：軸對(duì)稱—線、垂直平分；中心對(duì)稱—點(diǎn)、平分。??第五步：典型例題【例題7】（提升·★★★）長(zhǎng)方形ABCD中，AB=8，BC=4。將紙片沿過(guò)點(diǎn)B的折痕折疊，使點(diǎn)A落到CD邊上的A'。若A'恰為CD中點(diǎn)，求折痕長(zhǎng)。【解】A'為CD中點(diǎn)，CD=AB=8，故DA'=4。設(shè)折痕與AD交于E，則BE=A'E（對(duì)稱對(duì)應(yīng)線段相等），且折痕垂直平分AA'。在Rt△A'DE中，DE=AD?AE=4?AE，A'D=4，A'E=BE。由BE2=AE2+AB2與A'E2=(4?AE)2+42聯(lián)立（BE=A'E）解得AE=1.5，BE=√(1.52+82)=√66.25≈8.14。【答案】折痕BE≈8.14（也可保留√66.25）。旁批：折疊+勾股，方程求解。【例題8】（提升·★★★）判斷下列變換各屬于哪種：①把△平移3厘米；②把△沿直線l翻折；③把△繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)180°。【解】①平移（全等變換，無(wú)對(duì)稱軸）；②軸對(duì)稱（有對(duì)稱軸l）；③中心對(duì)稱（繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)180°，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被O平分）。三者都是全等變換，但只有②是軸對(duì)稱。【答案】①平移；②軸對(duì)稱；③中心對(duì)稱。旁批：同是全等等法不同。??第六步：隨堂小測(cè)1.折疊問(wèn)題中，折痕相當(dāng)于______。2.補(bǔ)全軸對(duì)稱圖形的另一半，關(guān)鍵是找已知點(diǎn)的______。3.軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)都屬于______變換（填“全等”或“相似”）。4.中心對(duì)稱對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱中心______，但一般不分______。5.折疊求長(zhǎng)度常結(jié)合______定理列方程。三、本節(jié)思維導(dǎo)圖（中心：15.1.1軸對(duì)稱及其性質(zhì)）┌─概念：沿直線折疊重合?軸對(duì)稱（兩圖形）/軸對(duì)稱圖形（一圖形）├─關(guān)系：軸對(duì)稱?全等；但全等?軸對(duì)稱（可能僅平移/旋轉(zhuǎn)）├─性質(zhì)一：對(duì)稱點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分（最核心）├─性質(zhì)二：對(duì)應(yīng)線段相等├─性質(zhì)三：對(duì)應(yīng)角相等├─常見(jiàn)圖形對(duì)稱軸：線段2、角1、等腰1、等邊3、正方4、圓無(wú)數(shù)├─折疊題：折痕=對(duì)稱軸，連線垂直平分+相等，設(shè)x用勾股└─對(duì)比：軸對(duì)稱(線·垂直平分)vs中心對(duì)稱(點(diǎn)·平分)四、本節(jié)核心概念速查卡??成軸對(duì)稱：兩圖形沿一直線折疊能重合，該直線為對(duì)稱軸。??軸對(duì)稱圖形：一圖形沿一直線折疊兩側(cè)重合，如等腰三角、圓。??對(duì)稱軸：直線！線段2條、角1條(平分線所在直線)。??對(duì)稱點(diǎn)：折疊后重合的成對(duì)點(diǎn)，連線被軸垂直平分。??性質(zhì)一：對(duì)稱點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分。??性質(zhì)二：對(duì)應(yīng)線段相等。??性質(zhì)三：對(duì)應(yīng)角相等。??等腰/等邊：等腰1條對(duì)稱軸，等邊3條。??圓：無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸（過(guò)圓心任意直線）。??折疊=對(duì)稱：折痕即對(duì)稱軸，連線垂直平分且等長(zhǎng)守恒。??軸對(duì)稱vs中心：軸對(duì)稱-線-垂直平分；中心對(duì)稱-點(diǎn)-平分。??解題口訣：標(biāo)軸→找對(duì)稱點(diǎn)→讀垂直平分與相等→列式。記憶口訣：沿軸折疊能重合，兩形對(duì)稱一形軸；對(duì)稱軸是直線，線段二角一等腰；對(duì)稱點(diǎn)連垂平分，線段角相等隨；折疊就是軸對(duì)稱，折痕當(dāng)軸莫忘掉；圓有無(wú)數(shù)軸，正方四條齊；軸對(duì)稱必全等，全等未必對(duì)稱形；中心對(duì)稱繞點(diǎn)轉(zhuǎn)，平分不垂直要分清。五、本節(jié)易錯(cuò)點(diǎn)匯總1.【軸非線段】把對(duì)稱軸畫成線段或射線，正確應(yīng)為直線（兩端延長(zhǎng)）。2.【概念混說(shuō)】把“成軸對(duì)稱（兩圖形）”與“軸對(duì)稱圖形（一圖形）”混用。3.【全等誤等】誤以為全等就軸對(duì)稱，忽略平移/旋轉(zhuǎn)情形。4.【角軸說(shuō)錯(cuò)】把角的對(duì)稱軸說(shuō)成“角平分線射線”，應(yīng)為所在直線。5.【性質(zhì)漏垂直】用軸對(duì)稱性質(zhì)時(shí)只寫“平分”漏掉“垂直”。6.【中心對(duì)稱混】把軸對(duì)稱的“垂直平分”與中心對(duì)稱的“平分”混淆。7.【特殊四邊】誤認(rèn)一般平行四邊形是軸對(duì)稱圖形（其實(shí)不是）。六、本節(jié)分層自測(cè)卷（共10題）A層·基礎(chǔ)鞏固（5題）1.把一個(gè)圖形沿直線折疊與另一圖形重合，這兩個(gè)圖形成______。2.軸對(duì)稱圖形自身的那條使兩側(cè)重合的直線叫______。3.線段有______條對(duì)稱軸；圓有______條對(duì)稱軸。4.軸對(duì)稱的性質(zhì)：對(duì)稱點(diǎn)連線被對(duì)稱軸______。5.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定______（全等/不全等）。B層·能力提升（3題）6.判斷并說(shuō)明理由：①角有1條對(duì)稱軸；②等邊三角形有3條對(duì)稱軸；③一般平行四邊形是軸對(duì)稱圖形。7.△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線l對(duì)稱，AA'交l于O，AO=5，求AA'并說(shuō)明l與AA'關(guān)系。8.正方形有幾條對(duì)稱軸？列舉出來(lái)。C層·拓展挑戰(zhàn)（2題）9.長(zhǎng)方形ABCD，AB=8，BC=4，沿過(guò)B的折痕使A落到CD中點(diǎn)A'，求折痕長(zhǎng)（保留根號(hào)）。10.對(duì)比說(shuō)明：軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱四種變換的異同（各屬于什么，有無(wú)對(duì)稱軸/中心）。七、參考答案與解析【隨堂小測(cè)（一）】1.軸對(duì)稱；2.對(duì)稱軸；3.2，無(wú)數(shù)；4.垂直平分；5.全等。【隨堂小測(cè)（二）】1.直線；2.軸對(duì)稱；3.1；4.3；5.不是。【隨堂小測(cè)（三）】1.垂直平分；2.相等；3.全等；4.平分，垂直；5.勾股。【隨堂小測(cè)（四）】1.對(duì)稱軸；2.對(duì)稱點(diǎn)；3.全等；4.平分，垂直；5.勾股。【分層自測(cè)卷A層】1.軸對(duì)稱；2.對(duì)稱軸；3.2，無(wú)數(shù)；4.垂直平分；5.全等。【分層自測(cè)卷B層】6.①對(duì)：角平分線所在直線是對(duì)稱軸；②對(duì)：等邊三角三條高所在直線都是；③錯(cuò)：一般平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形（只是中心對(duì)稱）。7.l垂直平分AA'，O為中點(diǎn)，AA'=2AO=10，且l⊥AA'。8.4條：兩條對(duì)邊中點(diǎn)連線（水平、豎直）＋兩條對(duì)角線所在直線。【分層自測(cè)卷C層】9.A'為CD中點(diǎn)?A'D=4，設(shè)折痕BE與AD交于E，BE=A'E；由BE2=AE2