六年級(jí)上冊(cè)《工程問題（例7）探究型教案》

六年級(jí)上冊(cè)《工程問題（例7）探究型教案》一、教學(xué)內(nèi)容解析【核心概念】本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容源自人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第三單元“分?jǐn)?shù)除法”中的例7，通常被稱為“工程問題”。然而，從課程改革的視角來看，這不僅僅是一類應(yīng)用題的解題訓(xùn)練課，更是一節(jié)經(jīng)典的“數(shù)學(xué)建模”入門課。它承載著從具體的整數(shù)數(shù)量關(guān)系向抽象的分?jǐn)?shù)數(shù)量關(guān)系過渡的重任，旨在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“現(xiàn)實(shí)問題—數(shù)學(xué)抽象—建立模型—解釋應(yīng)用”的全過程。【知識(shí)定位】在此之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算，并能解決簡(jiǎn)單的歸一問題和相遇問題。例7正是在此基礎(chǔ)上，將工作總量、工作效率、工作時(shí)間這三個(gè)核心量之間的關(guān)系，由具體的整數(shù)（如一段路的具體長(zhǎng)度、一批貨物的具體總量）抽象為單位“1”，從而將具體的“整數(shù)模型”升華為更具普適性的“分?jǐn)?shù)模型”。這種抽象思維是小學(xué)數(shù)學(xué)思維發(fā)展的一次重要飛躍。【編者意圖】教材通過呈現(xiàn)“一段公路，甲隊(duì)單獨(dú)修10周完成，乙隊(duì)單獨(dú)修15周完成，兩隊(duì)合修，需要多少周？”這一經(jīng)典問題，刻意隱去了具體的路長(zhǎng)，其目的就是逼迫學(xué)生跳出“求具體數(shù)量”的思維定勢(shì)，轉(zhuǎn)向?qū)で蟆安蛔兊牧筷P(guān)系”。通過引導(dǎo)學(xué)生假設(shè)一個(gè)具體的路長(zhǎng)（如30千米、150千米等）來計(jì)算，再比較計(jì)算結(jié)果，最終發(fā)現(xiàn)無論路長(zhǎng)如何變化，兩隊(duì)合修所需的時(shí)間是唯一確定的。由此引發(fā)認(rèn)知沖突，進(jìn)而引出將工作總量看作單位“1”的最優(yōu)化方法，從而構(gòu)建起“工作總量÷工作效率和=合作時(shí)間”的數(shù)學(xué)模型。【育人價(jià)值】本節(jié)課的教學(xué)，不僅能提升學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，更重要的是在探究過程中，培養(yǎng)學(xué)生的抽象邏輯思維、模型意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。學(xué)生將體會(huì)到數(shù)學(xué)不是枯燥的數(shù)字游戲，而是能夠刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有力工具。通過對(duì)不同解題策略的比較與優(yōu)化，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和追求簡(jiǎn)潔高效的數(shù)學(xué)品質(zhì)。二、學(xué)情分析【知識(shí)起點(diǎn)】學(xué)生已經(jīng)熟練掌握了工作總量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系（工作效率×工作時(shí)間=工作總量；工作總量÷工作時(shí)間=工作效率；工作總量÷工作效率=工作時(shí)間），并能解決相關(guān)的一步計(jì)算或兩步計(jì)算的整數(shù)實(shí)際問題。這是學(xué)習(xí)本節(jié)課的知識(shí)基礎(chǔ)。【思維障礙】【難點(diǎn)】本課最大的學(xué)習(xí)難點(diǎn)在于“如何理解把工作總量看作單位‘1’”。學(xué)生的思維仍以具體形象思維為主，習(xí)慣于處理具體的、看得見的數(shù)量。面對(duì)“一段未知長(zhǎng)度的公路”，他們首先會(huì)感到困惑：“不知道路有多長(zhǎng)，怎么求時(shí)間？”這種困惑恰恰是教學(xué)的起點(diǎn)。此外，將具體的“工作效率”（如甲隊(duì)每天修10米）抽象為“幾分之一”（如甲隊(duì)每天完成總工程的1/10），并用分?jǐn)?shù)來表示兩隊(duì)工作效率之和，也是學(xué)生認(rèn)知上的一個(gè)坎。【策略基礎(chǔ)】學(xué)生已經(jīng)具備了一定的解決問題策略，如畫圖分析數(shù)量關(guān)系、嘗試用假設(shè)法解決問題等。這些已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)為本節(jié)課的探究活動(dòng)提供了方法上的支持。教師應(yīng)充分利用這些經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生在自主探索與合作交流中，主動(dòng)建構(gòu)新知。三、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)與技能1.使學(xué)生理解工程問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，掌握把工作總量看作單位“1”，用分率表示工作效率的方法。2.使學(xué)生能正確分析工程問題中的數(shù)量關(guān)系，并能運(yùn)用“工作總量÷工作效率和=合作時(shí)間”的模型解決實(shí)際問題。（二）過程與方法1.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題、提出假設(shè)、驗(yàn)證比較、建立模型”的探究過程，體會(huì)“假設(shè)法”在解決抽象問題中的作用。2.通過對(duì)比不同假設(shè)下的計(jì)算過程，引導(dǎo)學(xué)生感悟“變中不變”的數(shù)學(xué)思想，即無論工作總量如何變化，只要兩隊(duì)單獨(dú)完成時(shí)間不變，合作時(shí)間就不變。3.培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和模型意識(shí)，能將生活中的合作問題抽象為工程問題模型。（三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀1.在解決實(shí)際問題的過程中，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美與普適性，獲得成功的體驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。2.通過小組合作探究，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)和質(zhì)疑精神，敢于提出不同的想法，并善于從不同的解法中發(fā)現(xiàn)本質(zhì)。【重點(diǎn)】掌握用單位“1”表示工作總量，用分率表示工作效率，并運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決工程問題。【難點(diǎn)】理解為什么可以把工作總量看作單位“1”，并能清晰地解釋合作時(shí)間的求法。【關(guān)鍵】經(jīng)歷假設(shè)具體數(shù)值進(jìn)行驗(yàn)證、比較、歸納的過程，感悟“變中不變”的數(shù)量關(guān)系。四、教學(xué)準(zhǔn)備1.教師準(zhǔn)備：多媒體課件（PPT），包含可動(dòng)態(tài)演示的線段圖，以及不同假設(shè)方案的計(jì)算表格。2.學(xué)生準(zhǔn)備：練習(xí)本、筆、草稿紙。五、教學(xué)過程（一）喚醒經(jīng)驗(yàn)，引入模型意識(shí)【環(huán)節(jié)意圖】通過一道結(jié)構(gòu)清晰但數(shù)據(jù)具體的相遇問題，喚醒學(xué)生對(duì)于“合作”這一生活情境的認(rèn)知，并復(fù)習(xí)鞏固基本的數(shù)量關(guān)系式，為新課的抽象建模搭建堅(jiān)實(shí)的“腳手架”。同時(shí)，通過數(shù)據(jù)設(shè)置，初步滲透合情推理。1.呈現(xiàn)問題，自主解答教師用PPT出示題目：“一條公路長(zhǎng)600米，甲工程隊(duì)單獨(dú)修需要10周，乙工程隊(duì)單獨(dú)修需要15周。如果兩隊(duì)同時(shí)從兩端合修，幾周可以修完？”教師引導(dǎo)：“同學(xué)們，請(qǐng)先認(rèn)真讀題，找出題目中的已知條件和問題，并在練習(xí)本上獨(dú)立解答。”學(xué)生獨(dú)立解答，教師巡視，了解學(xué)生解答情況。1.匯報(bào)交流，梳理關(guān)系教師組織匯報(bào)：“誰來和大家分享一下你的解題思路？”學(xué)生匯報(bào)預(yù)設(shè)：生1：先求甲隊(duì)每周修多少米：600÷10=60（米）；再求乙隊(duì)每周修多少米：600÷15=40（米）；然后求兩隊(duì)一周共修多少米：60+40=100（米）；最后用總長(zhǎng)除以一周共修的長(zhǎng)度：600÷100=6（周）。生2：我是列綜合算式：600÷（600÷10+600÷15）=6（周）。教師根據(jù)學(xué)生的回答板書解題步驟，并引導(dǎo)學(xué)生回顧基本數(shù)量關(guān)系：教師追問：“600÷10求的是什么？600÷15呢？它們的和又是什么？”學(xué)生回答：600÷10是甲隊(duì)的工作效率，600÷15是乙隊(duì)的工作效率，它們的和是工作效率和。最終用工作總量÷工作效率和=合作時(shí)間。教師板書核心關(guān)系式：工作總量÷工作效率和=合作時(shí)間1.巧妙設(shè)疑，引發(fā)認(rèn)知沖突教師故作疑惑狀，提出問題：“同學(xué)們，如果我把這條公路的長(zhǎng)度從600米改成1200米，其他條件不變，你們猜猜，合作時(shí)間會(huì)變成多少周？是12周嗎？”學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)兩種聲音：一部分學(xué)生會(huì)本能地認(rèn)為路變長(zhǎng)了，時(shí)間也應(yīng)該變長(zhǎng)；另一部分學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生疑惑，需要計(jì)算驗(yàn)證。教師不急于公布答案，而是順勢(shì)引導(dǎo)：“看來大家意見不一，光靠猜可不行，我們用數(shù)據(jù)來說話。請(qǐng)大家馬上動(dòng)筆，算一算如果路長(zhǎng)是1200米，合作時(shí)間是幾周？”學(xué)生快速計(jì)算，得出答案仍是6周。教師追問：“真奇怪，公路的長(zhǎng)度從600米變成了1200米，整整翻了一倍，為什么合作時(shí)間還是6周，沒有變呢？這里面藏著什么秘密？你們想不想一探究竟？今天這節(jié)課，我們就來專門研究這一類有趣的數(shù)學(xué)問題。”（板書課題：工程問題）（二）合作探究，經(jīng)歷建模過程【環(huán)節(jié)意圖】這是本課的核心環(huán)節(jié)。通過去掉具體的工作總量，制造強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，迫使學(xué)生在“山重水復(fù)疑無路”的困境中，主動(dòng)尋求新的解題策略。通過小組合作，經(jīng)歷“假設(shè)具體數(shù)值—計(jì)算比較—發(fā)現(xiàn)不變—抽象概括”的完整探究鏈條，最終揭開謎底，建立數(shù)學(xué)模型。在此過程中，【重要】的“假設(shè)法”和“單位‘1’”的抽象方法將逐一呈現(xiàn)。1.創(chuàng)設(shè)情境，揭示問題教師用PPT出示教材例7（隱去具體長(zhǎng)度）：“一條公路，甲隊(duì)單獨(dú)修10周完成，乙隊(duì)單獨(dú)修15周完成。兩隊(duì)同時(shí)從兩端合修，需要多少周？”教師引導(dǎo)：“請(qǐng)大家仔細(xì)觀察，這道題和我們剛才做的題有什么不一樣？”學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)：“這條公路有多長(zhǎng)沒有告訴我們！”教師：“對(duì)！題目中只告訴我們兩隊(duì)單獨(dú)完成的時(shí)間，卻沒有告訴我們這條公路的總長(zhǎng)度。沒有總長(zhǎng)度，我們還能求出合作時(shí)間嗎？你有什么辦法？”【基礎(chǔ)】問題一出，立刻激發(fā)學(xué)生的好奇心和探索欲。1.小組合作，探究策略教師提出合作要求：“面對(duì)這個(gè)新問題，請(qǐng)以四人小組為單位，開動(dòng)腦筋，大膽嘗試。你們可以假設(shè)這條路的一個(gè)具體長(zhǎng)度，然后按照我們剛才的方法算一算合作時(shí)間。比一比，看哪個(gè)小組最先找到答案，并能發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。”教師在學(xué)生討論前，給予關(guān)鍵提示：“為了方便計(jì)算，你們假設(shè)的路長(zhǎng)最好是什么數(shù)？為什么？”學(xué)生分組討論、計(jì)算，教師深入各小組，傾聽思路，適時(shí)點(diǎn)撥，尤其關(guān)注學(xué)困生的參與情況。1.匯報(bào)展示，思維碰撞教師組織各小組匯報(bào)探究成果。小組1匯報(bào)（假設(shè)路長(zhǎng)為30千米）：“我們假設(shè)這條路長(zhǎng)30千米。那么甲隊(duì)每周修：30÷10=3（千米）；乙隊(duì)每周修：30÷15=2（千米）；兩隊(duì)每周合修：3+2=5（千米）；合作時(shí)間：30÷5=6（周）。”小組2匯報(bào)（假設(shè)路長(zhǎng)為150千米）：“我們假設(shè)這條路長(zhǎng)150千米。甲隊(duì)每周修：150÷10=15（千米）；乙隊(duì)每周修：150÷15=10（千米）；每周合修：25千米；合作時(shí)間：150÷25=6（周）。”小組3匯報(bào)（假設(shè)路長(zhǎng)為1）：“我們假設(shè)這條路長(zhǎng)是‘1’。那么甲隊(duì)每周修的就是這條路的1/10，乙隊(duì)每周修的是這條路的1/15。兩隊(duì)每周合修這條路的（1/10+1/15）=1/6。所以合作時(shí)間就是1÷1/6=6（周）。”（如果學(xué)生沒有出現(xiàn)用“1”的假設(shè)，教師可以在多種具體數(shù)值的匯報(bào)后，引導(dǎo)學(xué)生思考：“有沒有可能假設(shè)一個(gè)更簡(jiǎn)單、更特殊的數(shù)，讓計(jì)算變得更簡(jiǎn)便？”）1.質(zhì)疑思辨，感悟“變與不變”教師將不同假設(shè)的計(jì)算結(jié)果呈現(xiàn)在黑板上（可簡(jiǎn)化為一個(gè)表格形式）：假設(shè)路長(zhǎng)→甲效→乙效→工效和→合作時(shí)間600米→60米/周→40米/周→100米/周→6周1200米→120米/周→80米/周→200米/周→6周30千米→3千米/周→2千米/周→5千米/周→6周150千米→15千米/周→10千米/周→25千米/周→6周………………1→1/10→1/15→1/6→6周教師引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考：師：仔細(xì)觀察這一列數(shù)據(jù)，你們發(fā)現(xiàn)了什么？生：不管我們假設(shè)路長(zhǎng)是多少，算出來的合作時(shí)間都是6周。師：為什么工作總量在變，但合作時(shí)間卻不變呢？生1：因?yàn)槁纷冮L(zhǎng)了，兩隊(duì)每周修的長(zhǎng)度也跟著變長(zhǎng)了。生2：雖然路長(zhǎng)了，但兩隊(duì)每周修的長(zhǎng)度占總長(zhǎng)度的比例是不變的。甲隊(duì)總是修總長(zhǎng)的1/10，乙隊(duì)總是修總長(zhǎng)的1/15。師：說得好極了！掌聲送給他。看來，決定合作時(shí)間的關(guān)鍵，不是路的具體長(zhǎng)度，而是兩隊(duì)每周能修這條路的幾分之幾，也就是他們相對(duì)于總工作量的“工作效率”。當(dāng)工作總量用單位“1”表示時(shí)，工作效率就可以用分?jǐn)?shù)來表示。這樣算出來的合作時(shí)間就與具體路長(zhǎng)無關(guān)了。【高頻考點(diǎn)】教師此時(shí)重點(diǎn)板書，并引導(dǎo)學(xué)生理解：把工作總量看作單位“1”。根據(jù)“甲隊(duì)單獨(dú)修10周完成”，得出甲隊(duì)的工作效率是1/10；乙隊(duì)單獨(dú)修15周完成，乙隊(duì)的工作效率是1/15。他們的工作效率和就是1/10+1/15=1/6。合作時(shí)間=工作總量÷工作效率和=1÷1/6=6（周）。1.總結(jié)歸納，建立數(shù)學(xué)模型教師小結(jié)：“同學(xué)們，當(dāng)我們遇到一個(gè)工作總量未知時(shí)，我們可以巧妙地把它看作單位‘1’。這樣，無論具體工作量是多少，我們都可以用分?jǐn)?shù)來表示各自的工作效率，從而解決合作問題。這就是我們今天學(xué)習(xí)的‘工程問題’。”（完善板書）（三）變式訓(xùn)練，深化模型理解【環(huán)節(jié)意圖】通過不同層次的變式練習(xí)，幫助學(xué)生鞏固對(duì)工程問題模型的理解，并拓展其應(yīng)用范圍。從單純的兩人合作，拓展到三人合作、稍有變化的工作方式，讓學(xué)生在應(yīng)用中加深對(duì)“工作總量、工作效率、工作時(shí)間”三者關(guān)系的理解，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化與遷移。1.基礎(chǔ)練習(xí)（模仿應(yīng)用）PPT出示：“一批貨物，甲車單獨(dú)運(yùn)8次運(yùn)完，乙車單獨(dú)運(yùn)10次運(yùn)完。兩車一起運(yùn)，幾次能運(yùn)完這批貨物的3/4？”教師引導(dǎo)：這個(gè)問題和我們剛才解決的有什么不同？生：這次要求的是運(yùn)完這批貨物的3/4，而不是全部。師：對(duì)，工作總量發(fā)生了變化。現(xiàn)在的工作總量是多少？生：是這批貨物的3/4。師：非常好！請(qǐng)大家獨(dú)立完成。學(xué)生獨(dú)立解答后，匯報(bào)交流：列式：3/4÷(1/8+1/10)=3/4÷9/40=3/4×40/9=10/3（次）教師強(qiáng)調(diào)：求出的合作時(shí)間是分?jǐn)?shù)，可以寫“10/3次”，也可以寫成帶分?jǐn)?shù)形式。1.變式練習(xí)（情境遷移）PPT出示：“修一條隧道，甲工程隊(duì)每月推進(jìn)全長(zhǎng)的1/12，乙工程隊(duì)每月推進(jìn)全長(zhǎng)的1/18。兩隊(duì)同時(shí)從兩端相向施工，幾個(gè)月后還剩下全長(zhǎng)的1/3沒有打通？”學(xué)生讀題，分析信息。教師組織學(xué)生小組討論：師：這道題里的工作效率是怎么告訴我們的？生：題目直接告訴我們了，甲隊(duì)每月推進(jìn)1/12，乙隊(duì)每月推進(jìn)1/18。師：現(xiàn)在要求幾個(gè)月后還剩下全長(zhǎng)的1/3沒打通，也就是說他們已經(jīng)完成了多少？生：完成了全長(zhǎng)的11/3=2/3。師：對(duì)！那么他們合作完成的工作總量是多少？生：是這條隧道的2/3。學(xué)生獨(dú)立列式解答，教師巡視。匯報(bào)：(11/3)÷(1/12+1/18)=2/3÷5/36=2/3×36/5=24/5=4.8（個(gè)月）1.拓展練習(xí)（引入變量）PPT出示：“一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成。現(xiàn)在甲隊(duì)先單獨(dú)做5天后，乙隊(duì)也加入進(jìn)來一起做，還要幾天才能完成？”【熱點(diǎn)】此題屬于工程問題中的“先分后合”類型，具有一定的綜合性，是高年級(jí)考試中的常見題型。引導(dǎo)學(xué)生分析：師：這道題的工作方式有什么特點(diǎn)？生：不是同時(shí)開始做的，甲先做了幾天。師：甲先做了5天，這5天完成了工程的幾分之幾？剩下的工程是多少？生：甲先做了5天，完成了5×1/20=1/4。剩下的工程是11/4=3/4。師：剩下的3/4由誰來做？怎么做？生：剩下的由甲和乙合作完成。師：很好！那么要求“還要幾天完成”，也就是求完成剩下的這3/4工程，需要多少合作時(shí)間。學(xué)生列式解答，匯報(bào)：(15×1/20)÷(1/20+1/30)=(11/4)÷1/12=3/4÷1/12=3/4×12=9（天）教師總結(jié)：對(duì)于這種“先做后合”的問題，關(guān)鍵是分清工作階段，先算出已經(jīng)完成的工作量，再算出剩余工作量，最后用剩余工作量除以工作效率和。（四）課堂練習(xí)，鞏固內(nèi)化【環(huán)節(jié)意圖】通過獨(dú)立完成分層練習(xí)，檢測(cè)學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的掌握情況，特別是對(duì)單位“1”的理解和運(yùn)用。同時(shí)，通過有層次的練習(xí)設(shè)計(jì)，滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，讓每一位學(xué)生都能在原有基礎(chǔ)上獲得發(fā)展。1.基礎(chǔ)鞏固題（必做）（1）一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做12天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做18天完成。兩隊(duì)合做，多少天可以完成全部工程？（2）兩地相距600千米，一輛客車從A地到B地需要10小時(shí)，一輛貨車從B地到A地需要15小時(shí)。兩車同時(shí)從兩地相對(duì)開出，幾小時(shí)后相遇？（此題設(shè)計(jì)意圖：將工程問題模型遷移到行程問題中，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值。）1.綜合應(yīng)用題（必做）（1）一個(gè)水池，單開甲進(jìn)水管6小時(shí)可將空池注滿，單開乙進(jìn)水管8小時(shí)可將空池注滿。如果兩管同時(shí)打開，多少小時(shí)可以將空池注滿？（2）一份稿件，小李單獨(dú)打需要5小時(shí)，小張單獨(dú)打需要4小時(shí)。兩人合打2小時(shí)后，還剩這份稿件的幾分之幾沒有完成？1.拓展挑戰(zhàn)題（選做）一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成，丙隊(duì)單獨(dú)做40天完成。三隊(duì)合作，中途甲隊(duì)因事休息了幾天，結(jié)果一共用了12天才完成任務(wù)。甲隊(duì)休息了幾天？（此題對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，鼓勵(lì)學(xué)有余力的學(xué)生嘗試，培養(yǎng)思維的靈活性。）（五）課堂總結(jié)，提煉升華【環(huán)節(jié)意圖】通過回顧與反思，引導(dǎo)學(xué)生將本節(jié)課所學(xué)的新知（工程問題模型）與原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)（工作總量、效率、時(shí)間的關(guān)系）建立聯(lián)系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。同時(shí)，提煉解決問題的思想方法——假設(shè)法、轉(zhuǎn)化法、模型思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。1.回顧學(xué)習(xí)過程教師引導(dǎo)學(xué)生回顧：“同學(xué)們，回想一下，我們是怎么解決這條沒有長(zhǎng)度的公路問題的？我們經(jīng)歷了怎樣的過程？”學(xué)生自由發(fā)言：生1：我們先假設(shè)了一個(gè)具體的長(zhǎng)度，然后計(jì)算，發(fā)現(xiàn)不管假設(shè)多長(zhǎng)，結(jié)果都一樣。生2：后來我們把公路的總長(zhǎng)看作了單位“1”，用分?jǐn)?shù)來表示工作效率。生3：我們發(fā)現(xiàn)了工作總量÷工作效率和=合作時(shí)間這個(gè)規(guī)律。1.提煉數(shù)學(xué)思想教師根據(jù)學(xué)生的發(fā)言，進(jìn)行提煉總結(jié)：“是啊，當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)未知的工作總量時(shí)，我們用了非常重要的數(shù)學(xué)方法——假設(shè)法（板書：假設(shè)法）。通過假設(shè)不同的數(shù)值，我們發(fā)現(xiàn)了隱藏在背后的不變規(guī)律。最后，我們巧妙地用單位‘1’來表示這個(gè)不確定的工作總量，把問題轉(zhuǎn)化成了我們熟悉的分?jǐn)?shù)問題。這就是一種重要的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化（板書：轉(zhuǎn)化）。今天學(xué)習(xí)的工程問題，不僅僅適用于修路，還適用于運(yùn)貨、注水、打稿件等等，這就是數(shù)學(xué)模型的魅力（板書：模型思想）。”1.交流學(xué)習(xí)收獲教師：“通過今天的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？或者你還有什么疑問嗎？”學(xué)生暢所欲言，分享學(xué)習(xí)心得與困惑。教師針對(duì)學(xué)生的疑問進(jìn)行解答或引導(dǎo)課后思考。六、作業(yè)設(shè)計(jì)【基礎(chǔ)作業(yè)】1.完成練習(xí)冊(cè)中與本課對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)練習(xí)題。2.編一道“工程問題”的應(yīng)用題，考考你的同桌。【實(shí)踐作業(yè)】觀察生活中還有哪些事情可以用“工程問題”的模型來解釋？例如，家庭大掃除中，媽媽單獨(dú)打掃需要2小時(shí)，你單獨(dú)打掃需要3小時(shí)，如果你們一起打掃，需要多少時(shí)間？請(qǐng)嘗試用今天所學(xué)的方法解決，并記錄下來。七、板書設(shè)計(jì)工程問題【例7】一段公路，甲隊(duì)單獨(dú)修10周完成，乙隊(duì)單獨(dú)修15周完成。兩隊(duì)合修，需要幾周？方法一（假設(shè)法）：假設(shè)路長(zhǎng)30千米→甲效：3km/周乙效：2km/周→30÷(3+2)=6（周）假設(shè)