高中數學 加練 專題8　第72練　橢　圓

第72練橢圓(分值：52分)一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.過點(-3，2)且與橢圓x29+y24=1A.x210+y215=1 B.C.x220+y225=1 D.答案B解析依題意知，橢圓的焦點坐標為(±5，0).設所求橢圓的方程為x2a2+y2a2-5=1a>5，將點(-3，2)代入，得a2=15(a22.橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓C上一點，且PF2垂直于x軸，若|F1F2|，|PF2|，|PF1|成公差為2A.x225+y216=1 B.C.x281+y29=1 D.答案D解析由題意知，|F1F2|=2c，|PF2|=2c+2，|PF1|=2c+4，又PF2垂直于x軸，所以(2c)2+(2c+2)2=(2c+4)2，解得c=3(負值舍去)，又由橢圓定義可得2a=2c+2+2c+4=18，即a=9，所以b2=a2-c2=81-9=72，所以橢圓C的方程為x281+y3.已知動圓C與圓(x+1)2+y2=1外切，同時與圓(x-1)2+y2=25內切，則動圓C的圓心的軌跡方程為()A.x29+y28=1 B.xC.x225+y224=1 D.x答案A解析設圓(x+1)2+y2=1的圓心為C2且與圓C相切于點P，圓(x-1)2+y2=25的圓心為C1與圓C相切于點Q，由題意得圓C1與圓C2內含，則|C1C|=5-|CQ|，|C2C|=1+|CP|，其中|CQ|=|CP|，所以|C1C|+|C2C|=5-|CQ|+1+|CP|=6>2=|C1C2|，由橢圓定義可知，動圓圓心C的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，設橢圓方程為x2a2+y2b2=1(則2a=6，c=1，解得a=3，b2=a2-c2=9-1=8，故動圓圓心C的軌跡方程為x29+y4.已知橢圓M：x2a2+y22=1(a>2)，過焦點F的直線l與M交于A，B兩點，坐標原點O在以AF為直徑的圓上，若|AF|=2|BF|，則橢圓A.x23+y22=1 B.C.x25+y22=1 D.答案A解析由于坐標原點O在以AF為直徑的圓上，故可設A為上頂點，F為右焦點，F1為左焦點.則|AF|=|AF1|=a，|BF|=12a，|BF1|=32cos∠F1AF=cos∠F1AB，由余弦定理的推論得a2+a則a2=3c2，結合b2=2，a2=b2+c2，解得a=3，c=1.所以橢圓M的方程為x23+y5.設橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為32，P是C上一點，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面積為A.1 B.2 C.4 D.8答案C解析由題意知ca=3∴3a2=4c2，由橢圓定義得|PF1|+|PF2|=2a，由F1P⊥F2P得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2，∵△PF1F2的面積為4，∴12|PF1|·|PF2|=4，即|PF1|·|PF2|=8∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=4c2，即4a2-16=3a2，解得a2=16，即a=4.6.設橢圓M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，上頂點為A，直線AF1交M于另一點B，△ABF2的內切圓與AB相切于點C，若|BC|=|F1F2|A.34 B.14 C.1答案D解析由題意，如圖，設P，D分別是△ABF2的內切圓與BF2，AF2的切點，因為左、右焦點分別為F1，F2，上頂點為A，由橢圓的定義得|BF1|+|BF2|=2a，結合對稱性、圓的切線性質，令|CF1|=|DF2|=|PF2|=n，且|F1F2|=|BC|=|BP|=2c，所以|BF1|+|BP|+|PF2|=|BC|-|CF1|+|BP|+|PF2|=2a，所以2c-n+2c+n=2a，可得2c=a，故e=ca=1二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.已知橢圓C：x29+y25=1的左、右焦點分別為F1，F2，點PA.F1，F2的坐標分別為(-2，0)，(2，0)B.橢圓的短軸長為10C.|PF1|的最小值為1D.當P是橢圓的短軸端點時，∠F1PF2取到最大值答案ACD解析橢圓x29+y25=1，其中a2=9，∴c2=a2-b2=4.對于A，c=2，F1，F2的坐標分別為(-2，0)，(2，0)，故A正確；對于B，橢圓的短軸長為2b=25，故B錯誤；對于C，a-c≤|PF1|≤a+c，∴|PF1|的最小值為1，故C正確；對于D，當P是橢圓的長軸端點時，∠F1PF2=0；當P不是長軸端點時，0<∠F1PF2<π，利用余弦定理可知cos∠F1PF2=P=4=2b2PF=2b2當|PF1|=|PF2|，即P是橢圓的短軸端點時，cos∠F1PF2最小，此時∠F1PF2最大，故D正確.8.橢圓C：x24+y2=1的左、右焦點分別為F1，F2，O為坐標原點，則下列說法正確的是(A.過點F2的直線與橢圓C交于A，B兩點，則△ABF1的周長為8B.橢圓C上存在點P，使得PF1·C.橢圓C的離心率為1D.M為橢圓C上一點，Q為圓O：x2+y2=1上一點，則點M，Q間的最大距離為3答案ABD解析對于選項A，由橢圓定義，可得AF1+AF2=BF1+BF2=2a=4，因此△ABF1的周長為AF1+BF1+|AB|=A對于選項B，設P(m，n)，則m24+n2=1，且-2≤m≤2.又F1(-3，0)，F2(3，0)，所以PF1=(-3-m，-n)，PF2=(3-m，-n)，因此PF1·PF2=(-3-m)(3-m)+n解得m=±263∈[-2，2]，故對于選項C，因為a2=4，b2=1，所以c2=4-1=3，即c=3，所以離心率e=ca=32，故對于選項D，設M(x1，y1)，則點M到圓x2+y2=1的圓心的距離為|MO|=x12+y12=4-4y12+y12=4-3y12.因為-1≤y1≤1三、填空題(每小題5分，共10分)9.已知F1，F2分別是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點，點A(0，b)，點B在橢圓C上，AF1=2F1B，D，E分別是AF2，BF2的中點，且△答案x24+解析如圖，因為AF1=2F1B，所以A，F1，B三點共線，且|AF1|=2|F1因為D，E分別為AF2和BF2的中點，所以4a=|AB|+|AF2|+|BF2|=2(|DE|+|DF2|+|EF2|)=8，所以a=2，設B(x0，y0)，F1(-c，0)，A(0，b)，由AF1=2F可得(-c，-b)=2(x0+c，y0)，解得x0=-3c2，y0=-b2，所以因為點B在橢圓C上，所以9c216+14=1，得c2=43，所以橢圓C的方程為x24+310.已知F1，F2為橢圓C：x2m+y2=1的兩個焦點，若C上存在點M滿足MF1·MF2答案0，12∪[2，解析當焦點在x軸上時，如圖，a2=m，b2=1，m>1，當M為上、下頂點時，∠F1MF2最大，因為存在點M滿足MF1·M所以此時π2≤∠F1MF2<π，即π4≤∠F1MO<所以tan∠F1MO=cb≥tanπ4=1，即