高中數學 加練 專題8　第87練　阿基米德三角形

第87練阿基米德三角形(分值：31分)如圖所示，AB為拋物線x2=2py(p>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別過A，B作拋物線的切線交于點P，稱△PAB為阿基米德三角形，弦AB為阿基米德三角形的底邊.(1)阿基米德三角形底邊上的中線平行(或重合)于拋物線的對稱軸.(2)若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內定點C(x0，y0)，則另一頂點P的軌跡為一條直線.(3)若直線l與拋物線沒有公共點，以l上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點.(4)底邊長為a的阿基米德三角形的面積的最大值為a3(5)若阿基米德三角形的底邊即弦AB過焦點，則頂點P的軌跡為拋物線的準線，且阿基米德三角形的面積的最小值為p2.(6)點P的坐標為x1(7)底邊AB所在的直線方程為(x1+x2)x-2py-x1x2=0.(8)△PAB的面積為S△PAB=|x(9)若點P的坐標為(x0，y0)，則底邊AB的直線方程為x0x-p(y+y0)=0.(10)若弦AB過拋物線的焦點，則PA⊥PB；當F點為焦點時，PF⊥AB.(11)拋物線和它的一條弦所圍成的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的23一、單項選擇題(每小題5分，共15分)1.過拋物線y2=4x的焦點F作拋物線的弦，與拋物線交于A，B兩點，分別過A，B兩點作拋物線的切線l1，l2相交于點P，△PAB的面積S的最小值為()A.43 B.2 C.4 D.4答案C解析由題知，弦AB過拋物線焦點，則由“阿基米德三角形”性質知，點P在拋物線的準線上，△PAB的面積的最小值為S=p2=4.2.已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，頂點為O，斜率為43的直線l過點F且與拋物線C交于M，N兩點，若△PMN為阿基米德三角形，則|OP|等于(A.11 B.23 C.13 D.14答案C解析依題意，F(2，0)，直線l：y=43(x-2)，聯立則y2-6y-16=0，解得y1=8，y2=-2.方法一不妨設M(8，8)，N12設直線PM的方程為y-8=k(x-8)，與C：y2=8x聯立得，k(x-8)+82=8x，整理得k2x2+(16k-16k2-8)x+64k2Δ=(16k-16k2-8)2-4k2(64k2-128k+64)=0，解得k=12，故直線PM的斜率k=1故直線PM：y=12x+4同理可得，直線PN的斜率k'=-2，故直線PN：y=-2x-1，聯立y=1即P(-2，3)，則|OP|=13.方法二由阿基米德三角形性質得點P的坐標為y1y22p，y1+y223.若拋物線方程為y2=2px(p>0)，且直線x=p2與拋物線圍成封閉圖形的面積為6，則p等于(A.1 B.2 C.32答案D解析由題意可知，當過焦點的弦垂直于x軸，即x=p2時，如圖，設直線x=p2與拋物線交于點A，B，以AB為底邊的阿基米德三角形為△PAB，則23S△PAB=2312·p·2p二、多項選擇題(共6分)4.已知拋物線C：x2=2py(p>0)，過其準線上的點T(t，-1)作C的兩條切線，切點分別為A，B，下列說法正確的是()A.p=2B.TA⊥TBC.當t=1時，直線AB的斜率為2D.△TAB面積的最小值為4答案ABD解析對于A，易知拋物線的準線方程為y=-1，所以p=2，C：x2=4y，故A正確；對于B，點T在準線上，根據阿基米德三角形的性質，知TA⊥TB，故B正確；對于C，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1=x124，y2=x224.由y=x24，得y'=x2，則TA：y-x124=x12(x-x1)，即y=x12x-y1.代入點(1，-1故AB：x-2y+2=0，故kAB=12，故C對于D，根據阿基米德三角形的性質，因為點T在拋物線的準線上，故△TAB面積的最小值為p2=4，故D正確.三、填空題(每小題5分，共10分)5.已知點M(2，-1)和拋物線C：x2=4y，過C的焦點F且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若∠AMB=90°，則k=.答案1解析由題意，M在拋物線C的準線上，直線AB過點F且∠AMB=90°，所以△MAB是阿基米德三角形.如圖，由阿基米德三角形性質得MF⊥AB，而kMF=-1-12-0=-1，所以直線AB的斜率為16.我們把圓錐曲線的弦AB與過弦的端點A，B處的兩條切線所圍成的△PAB(P為兩切線的交點)叫做“阿基米德三角形”.拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當線段AB經過拋物線的焦點F時，△PAB具有以下性質：①P點必在拋物線的準線上；②PA⊥PB；③PF⊥AB.已知直線l：y=k(x-1)與拋物線y2=4x交于A，B兩點，若|AB|=8，則拋物線的“阿基米德三角形”△PAB的頂點P的坐標為.答案(-1，2)或(-1，-2)解析拋物線y2=4x的焦點為F(1，0)，準線方程為x=-1，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y得k2x2-(4+2k2)x+k2=0，由Δ=(4+2k2)2-4k2·k2=16k2+16>0，所以x1+x2=4+2k2k2，x1所以|AB|=x1+x2+p=4+2k2解得k=1或k=-1，當k=1時，因為PF⊥AB，所以kPF=-1，所以直線PF的方程為y=-(x-1)，因為P點必在拋物線的準線x=-1上，所以xP=-1，所以yP=-(xP-1)=-(-1-1)=2，所以P(-1，2)，當k=-1