高中數(shù)學(xué) 加練 專題1　第3練　柯西不等式與權(quán)方和不等式

第3練柯西不等式與權(quán)方和不等式(分值：41分)一、柯西不等式1.二維形式的柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a，b，c，d∈R，當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)，等號(hào)成立).2.二維形式的柯西不等式的變式(1)a2+b2·c2+d2≥|ac+bd|(a，b，c，d∈R，當(dāng)且僅當(dāng)(2)a2+b2·c2+d2≥|ac|+|bd|(a，b，c，d∈R，當(dāng)且僅當(dāng)(3)(a+b)(c+d)≥(ac+bd)2(a，b，c，d≥0，當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc3.二維形式的柯西不等式的向量形式|α·β|≤|α||β|(當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α=kβ時(shí)，等號(hào)成立).4.一般形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實(shí)數(shù)，則(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2當(dāng)且僅當(dāng)bi=0(i=1，2，…，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得ai=kbi(i=1，2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立.二、權(quán)方和不等式1.二維形式：已知x，y，a，b∈R+，則有ax+by≥(a+b)2x+y(當(dāng)且僅當(dāng)x∶2.一般形式：設(shè)ai，bi∈R+(i=1，2，…，n)，實(shí)數(shù)m>0，則nΣi=1aim+1bim≥(nΣi=1ai)m+1一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共25分)1.若a12+a22+…+an2=1，b12+b22+…+bn2=4，則a1b1+a2A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a12+a22+…+an2)·(b12+∴a1b1+a2b2+…+anbn≤2，當(dāng)且僅當(dāng)ai=12bi(i=1，2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立2.權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)正數(shù)a，b，x，y滿足a2x+b2y≥(a+b)2x+y，當(dāng)且僅當(dāng)ax=byA.16 B.25 C.36 D.49答案D解析因?yàn)檎龜?shù)a，b，x，y滿足a2x+b2y≥(a+又0<x<13，即1-3x>0，于是得f(x)=323x+當(dāng)且僅當(dāng)1x=41-3x，即x=1所以函數(shù)f(x)=3x+161-3x3.已知a，b，c>0，且a+b+c=1，則4a+1+4b+1+4A.13 B.4 C.21 D.5答案C解析由柯西不等式得(4a+1+4b+1+4c+1)2=(1·4a+1+1·4b+1+1·4c+1)2≤(12+12+12)(4a+1+4b+1+4c+1)=3[4(a+b+c)+3]=21，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=134.若sinx+cosy+sin(x+y)=2，則sinx的最小值是()A.0 B.2-3C.3-7 D.1答案C解析由已知得sinx+cosy+sinxcosy+cosxsiny=2，整理得2-sinx=(sinx+1)cosy+cosxsiny，由柯西不等式得(sinx+1)cosy+cosxsiny≤(1+sinx)=2+2sin當(dāng)且僅當(dāng)(sinx+1)siny=cosycosx時(shí)取等號(hào)，所以(2-sinx)2≤2+2sinx，即sin2x-6sinx+2≤0，又-1≤sinx≤1，解得3-7≤sinx≤1，所以sinx的最小值為3-7.5.已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y=1，則1x2+8y2A.10 B.15 C.24 D.27答案D解析設(shè)x=cos2α，y=sin2α，α∈0由權(quán)方和不等式，可知1x2+8y2=13(co當(dāng)且僅當(dāng)1cos2α=2sin2α，即x=13，y二、多項(xiàng)選擇題(共6分)6.已知a>0，b>0，且a+b=1，則()A.a2+b2≥12 B.2a-b>C.log2a+log2b≥-2 D.a+b≤2答案ABD解析由柯西不等式(a2+b2)(1+1)≥(a+b)2，得a2+b2≥12，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；利用分析法：要證2a-b>12，只需證明a-b>-1即可，即a>b-1.由于a>0，b>0，且a+b=1，所以a>0，-1<b-1<0，故B正確；利用基本不等式log2a+log2b=log2ab≤log2a+b22=-2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；由于a>0，b>0，且a+b=1，利用柯西不等式(a+b)(1+1)≥(a+當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)，等號(hào)成立，故D正確三、填空題(每小題5分，共10分)7.若p，q，m，r，s，t為非零實(shí)數(shù)，p2+q2+m2=4，r2+s2+t2=9，pr+qs+mt=6，則p+q+答案2解析由柯西不等式得(p2+q2+m2)(r2+s2+t2)≥(pr+qs+mt)2，當(dāng)且僅當(dāng)pr=qs=mt時(shí)令pr=k(k∈R)，則p+q將p=kr，q=ks，m=kt代入pr+qs+mt=6，解得k=23，所以p+8.對(duì)任意x>1，y>12，x2a2(2y-1)+4答案22解析因?yàn)閤2a2(2y-1)所以a2≤x22y-1+4y2x