高中數(shù)學(xué) 加練 專題2　第9練　函數(shù)的新定義問題

第9練函數(shù)的新定義問題(分值：43分)1.新定義問題“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.2.新定義問題的方法和技巧(1)可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對信息的理解；(2)可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解得較為透徹；(3)發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識的聯(lián)系，并從描述中體會新信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；(4)如果新信息是課本知識的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用課本中的概念.一、單項選擇題(每小題5分，共15分)1.對正整數(shù)n，函數(shù)φ(n)是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目.此函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，故稱歐拉函數(shù).例如φ(8)=4，則φlog354+logA.52 B.53 C.54 D.55答案C解析因為log354+log1=log354-log32=log327=3，所以φlog354+log13因為除了3的倍數(shù)外，其他數(shù)都與81互質(zhì)，所以φ(81)=81-813=542.對于函數(shù)y=f(x)，若存在x0，使得f(x0)=-f(-x0)，則稱點(x0，f(x0))與點(-x0，f(-x0))是函數(shù)f(x)的一對“隱對稱點”，若函數(shù)f(x)=x2+4x，x≤0，kx+1，A.(-∞，2] B.[2，6]C.[6，+∞) D.(-∞，2]∪[6，+∞)答案A解析設(shè)g(x)為奇函數(shù)，且當x>0時，g(x)=kx+1，則當x<0時，g(x)=kx-1，則原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程x2+4x=kx-1在(-∞，0)上有解，求k的取值范圍問題.由關(guān)于x的方程x2-(k-4)x+1=0在(-∞，0)上有解得Δ≥0，--(k-4)2<0?3.一般地，若函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，值域為[ka，kb](k>0)，則稱[a，b]為f(x)的“k倍跟隨區(qū)間”；特別地，若函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，值域也為[a，b]，則稱[a，b]為f(x)的“跟隨區(qū)間”.下列結(jié)論不正確的是()A.函數(shù)f(x)=x存在“跟隨區(qū)間”B.若[0，b]為f(x)=x2的“跟隨區(qū)間”，則b=1C.函數(shù)f(x)=1+1x存在“跟隨區(qū)間D.二次函數(shù)f(x)=-12x2+x存在“2倍跟隨區(qū)間答案C解析對于A，因為f(x)=x在R上單調(diào)遞增，所以對于x∈[a，b]，其值域為[a，b]，由“跟隨區(qū)間”的定義可知，函數(shù)f(x)=x存在無數(shù)個“跟隨區(qū)間”，故A正確；對于B，若[0，b]為f(x)=x2的“跟隨區(qū)間”，且f(x)=x2的對稱軸為直線x=0，所以b2=b，解得b=1或b=0(舍)，故B正確；對于C，假設(shè)f(x)=1+1x存在“跟隨區(qū)間”[a，b]因為f(x)=1+1x在區(qū)間(-∞，0)，(0，+∞)上均單調(diào)遞減則有f(a)=b，f(b)=a，則故f(x)=1+1x不存在“跟隨區(qū)間”，故C對于D，若函數(shù)f(x)=-12x2+x存在“2倍跟隨區(qū)間”設(shè)定義域為[a，b]，值域為[2a，2b]，當a<b≤1時，函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增，則f則a，b是方程-12x2+x=2x的兩個不相等的實數(shù)根，解得x=0或x=-2故存在定義域為[-2，0]使得值域為[-4，0]，D正確.二、多項選擇題(每小題6分，共18分)4.如果某函數(shù)的定義域與其值域的交集是[a，b]，則稱該函數(shù)為“[a，b]交匯函數(shù)”.下列函數(shù)是“[0，1]交匯函數(shù)”的是()A.y=x B.y=1-C.y=1-x2 D.y=1-答案BD解析由“[a，b]交匯函數(shù)”定義可知，“[0，1]交匯函數(shù)”表示函數(shù)的定義域與值域的交集為[0，1].y=x的定義域A=[0，+∞)，值域B=[0，+∞)，則A∩B=[0，+∞)，A錯誤；y=1-x的定義域A=(-∞，1]，值域B=[0，+∞)，則A∩B=[0，1]，By=1-x2的定義域A=R，值域B=(-∞，1]，則A∩B=(-∞，1]，C錯誤；y=1-x2的定義域A=[-1，1]，值域B=[0，1]，則A∩B=[0，1]，D5.設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，y=[x]稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù).如[1.2]=1，[2]=2，[-1.2]=-2.設(shè)f(x)=x-[x]，則下列結(jié)論正確的有()A.f(-1.1)=0.9B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱C.f(x+1)=f(x)+1D.函數(shù)f(x)的值域為[0，1)答案AD解析對于A，因為f(x)=x-[x]，所以f(-1.1)=-1.1-[-1.1]=-1.1-(-2)=0.9，故A選項正確；對于B，因為f(0.5)=0.5-[0.5]=0.5-0=0.5，f(-0.5)=-0.5-[-0.5]=-0.5-(-1)=0.5，所以f(0.5)+f(-0.5)=1≠0，即函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于原點對稱，故B選項錯誤；對于C，因為?x∈R，?k∈Z，使得k≤x<k+1，此時有k+1≤x+1<k+2，所以f(x+1)=x+1-[x+1]=x+1-(k+1)=x-k，f(x)=x-[x]=x-k，故C選項錯誤；對于D，由C選項分析可知?x∈R，總有f(x+1)=f(x)，即f(x)是周期為1的周期函數(shù)，不妨設(shè)0≤x<1，則此時有0≤f(x)=x-[x]=x-0=x<1，因此函數(shù)f(x)的值域為[0，1)，故D選項正確.6.已知a，b∈R，定義運算“?”：a?b=a，a-b≤1，b，a-b>1，設(shè)函數(shù)f(x)=2x+1?(2-4x)，x∈R，若函數(shù)y=f(A.-1 B.14 C.2答案BC解析因為a?b=a由2x+1-2+4x=(2x)2+2·2x-2≤1，可得(2x)2+2·2x-3≤0，即(2x+3)(2x-1)≤0，因為2x+3>0，所以2x-1≤0，解得x≤0，所以當x≤0時，f(x)=2x+1，當x>0時，f(x)=2-4x.即f(x)=2因為函數(shù)y=f(x)-c的圖象與x軸恰有兩個公共點，即函數(shù)y=f(x)與直線y=c的圖象恰有兩個公共點，在同一平面直角坐標系中，作出函數(shù)y=f(x)，直線y=c的圖象，如圖所示，由圖象知，0<c<1，則實數(shù)c的取值范圍是(0，1)，B，C選項符合.三、填空題(每小題5分，共10分)7.我們用||x||表示實數(shù)x到離它最近的整數(shù)的距離，例如||-1||=0，74=14，-35=25，則||x||的最大值是；對于函數(shù)f(x)=x2，若滿足f(x)=f(23x答案12解析由定義可知||x||≤12，故||x||的最大值為設(shè)x2=n+α，n∈N，α∈[0，1)，則f(x)=||x2||=||α||，f23x=||12(n+α)||=||12α所以f(x)=f(23x)?||α||=||12α||，也就是α和12α的小數(shù)部分要么相同，要么和為1.當α和12α的小數(shù)部分相同時，則12α-α=k，可得α=k11，k∈N且k≤所以f(x)=k11=k111，k1∈{0，1，2，…，5}當α和12α的小數(shù)部分和為1時，則12α+α=l，可得α=l13，l∈N*且l≤所以f(x)=l13=l113，l1∈{1，2，…，6}，綜上所述，f(x)有12種可能的值.8.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在正實數(shù)k，使對任意的x∈D，都有x+k∈D，且f(x+k)>f(x)恒成立，則稱函數(shù)f(x)為D上的“k型增函數(shù)”.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)=|x-a|-2a，若f(x)為R上的“2026型增函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是.答案-解析由已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=|x-a|-2a，當x<0時，f(x)=-f(-x)=-|-x-a|+2a=-|x+a|+2a，則f(x)=x由f(x)為R上的“2026型增函數(shù)”，則f(x+2026)>f(x)，當x>0時，即|2026+x-a|-2a>|x-a|-2a，即|x-(a-2026)|>|x-a|，根據(jù)絕對值的幾何意義可知a+a-2026<0，解得a<1013；當x=0時，|2026-a|-2a>0，可知當a≤0時恒成立，當a>0時，可得0<a<20263，即a<當x<0時，①當x+2026<0，即x<-2026時，f(x+2026)>f(x)，即-|x+2026+a|+2a>-|x+a|+2a，化簡可得|x+2026+a|<|x+a|，即-2026-a-a>2×(-2026)，即a<1013；②當x+2026=0，即x=-2026時，0>-|-2026+a|+2a，可知當a≤0時恒成立，當a>0時，可得0<a<20263，即a<③當x+2