高中數學 加練 專題3　第23練　指對同構

第23練指對同構(分值：40分)指對同構的常用形式(1)積型：aea≤blnb，一般有三種同構方式：①同左構造形式：aea≤lnbelnb，構造函數f(x)=xex；②同右構造形式：ealnea≤blnb，構造函數f(x)=xlnx；③取對構造形式：a+lna≤lnb+lnlnb(b>1)，構造函數f(x)=x+lnx(2)商型：eaa≤①同左構造形式：eaa≤elnblnb，構造函數②同右構造形式：ealnea≤blnb，構造函數③取對構造形式：a-lna≤lnb-lnlnb(b>1)，構造函數f(x)=x-lnx(3)和、差型：ea±a>b±lnb，一般有兩種同構方式：①同左構造形式：ea±a>elnb±lnb，構造函數f(x)=ex±x；②同右構造形式：ea±lnea>b±lnb，構造函數f(x)=x±lnx.一、單項選擇題(每小題5分，共15分)1.若ex-ax≥-x+ln(ax)，則正實數a的取值范圍為()A.0，1e B.(0C.1e，+∞ D.(e答案B解析不等式ex-ax≥-x+ln(ax)，可化為ex+x≥eln(ax)+ln(ax)，設g(x)=ex+x，則g'(x)=ex+1>0，即g(x)在R上是增函數，而g(x)≥g(ln(ax))，因為a>0，x>0，所以x≥ln(ax)=lna+lnx，lna≤x-lnx恒成立，令f(x)=x-lnx，則f'(x)=1-1當0<x<1時，f'(x)<0，f(x)單調遞減；當x>1時，f'(x)>0，f(x)單調遞增，所以f(x)≥f(1)=1，故只需lna≤1，即a≤e.又a>0，所以a的取值范圍為(0，e].2.已知a<0，不等式xa+1ex+alnx≥0對任意的實數x>1恒成立，則實數a的最小值為()A.-12e B.-2e C.-1e D答案D解析xa+1ex+alnx≥0?xa+1ex≥-alnx?xex≥-alnxxa?xex≥1xaln1xa?xex設f(x)=xex(x∈R)，則f(x)的大致圖象如圖所示，不等式①即為f(x)≥f

ln1xa，因為x>1，所以f(x)≥f

ln1xa等價于x≥ln1xa，即x≥-alnx，即-a≤xlnx，令g(x)=xlnx(x>1)，則g'(x)=lnx-1(lnx)2，當所以g(x)min=e，所以-a≤e，故a≥-e，即實數a的最小值為-e.3.若對任意x∈(0，1)，lnxx<x+2aex+2A.-12，12 B.[C.[-1，+∞) D.-答案D解析由lnxx<x+2ae當a≥0時，x∈(0，1)，lnxelnx<0，x+2當a<0時，令f(x)=xex，則f(lnx)<f(x+2a)恒成立，f'(x當x∈(-∞，1)時，f'(x)>0，所以f(x)在(-∞，1)上單調遞增，又當x∈(0，1)時，lnx∈(-∞，0)，2a+x∈(-∞，1)，所以只需lnx<2a+x在(0，1)上恒成立，即2a>lnx-x在(0，1)上恒成立.令g(x)=lnx-x，則當x∈(0，1)時，g'(x)=1-xx即g(x)在(0，1)上單調遞增，又g(1)=ln1-1=-1，故2a≥g(1)=-1，此時有-12≤a<0綜上，a的取值范圍是-1二、多項選擇題(共6分)4.若不相等的正數a，b滿足aa=bb，則()A.a>1B.b<1C.a+b>2D.n+1nn+1n>n+2答案BCD解析由aa=bb，得alna=blnb，令f(x)=xlnx，f'(x)=lnx+1=0，解得x=1當x∈1e，+∞時，f'(當x∈0，1e時，f'(x所以f(x)在0，1e上單調遞減，在所以0<a<1，0<b<1，故A不正確，B正確；要證明a+b>2即證明b>2e-a只需證f(b)>f

2只需證f(a)>f

令g(x)=f(x)-f

2=xlnx-2e-xln2eg'(x)=lnx+1+ln2e=lnx2e所以g(x)在0，1所以g(x)>g1e=0所以a+b>2e，故由于f(x)在(1，+∞)上單調遞增，而n+1n所以f

n+1n>所以n+1nlnn+1n>所以n+1nn+1n>n+2n+1n+2n三、填空題(共5分)5.若f(x)=xex-a(x+lnx)有兩個零點，則實數a的取值范圍是.答案(e，+∞)解析f(x)=xex-a(x+lnx)=ex+lnx-a(x+lnx)，令t=x+lnx，t∈R，顯然該函數為增函數.當t=0時，f(x)=1在(0，+∞)上恒成立，無零點，故t≠0.當t≠0時，由et-at=0，得a=e可知函數y=ett(t≠0)的圖象與直線y=a有兩個交點，令g(t)=ett則g'(t)=e當t>1時，g'(t)>0，g(t)在(1，+∞)上單調遞增；當t<0或0<t<1時，g'(t)<0，g(t)在(-∞，0)，(0，1)上單調遞減，g(t)的極小值為g(1)=e，則函數g(t)=ett(t≠0)由圖可得a>e，故實數a的取值范圍為(e，+∞).四、解答題(共14分)6.(14分)已知函數f(x)=xlnx-x-lnx+1的導函數為f'(x).(1)證明：函數f(x)有且只有一個極值點；(6分)(2)若xf'(x)-f(x)≤-3-mxex恒成立，求實數m的取值范圍.(8分)(1)證明由題意知f(x)的定義域為(0，+∞)，且f'(x)=lnx+1-1-1x=lnx-令φ(x)=lnx-1x(x>0)則φ'(x)=1x+1x2=所以φ(x)即f'(x)在(0，+∞)上單調遞增，又f'(1)=-1<0，f'(e)=1-1e>0所以f'(x)在(1，e)上有唯一零點x0，當0<x<x0時，f'(x)<0，當x>x0時，f'(x)>0，所以f(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，+∞)上單調遞增，所以函數f(x)有且只有一個極值點x0.(2)解xf'(x)-f(x)≤-3-mxex恒成立，即(xlnx-1)-(xlnx-x-lnx+1)≤-3-mxex恒成立，即lnx+x+1≤-mxex恒成立，即ln(xex)+1≤-mxex恒成立.令t=xex>0，則lnt+1≤-mt，所以-